Đề thi tự luyện - Đề số 17 - Tư duy Toán học

Cho dãy số $\left(u_n\right)$thỏa mãn ${log}_2^2\left(5u_1\right)+{log}_2^2\left(7u_1\right)={log}_2^{2}5+{log}_2^{2}7.$Biết số hạng đầu $u_1\ne 1$ và $u_{n+1}=7u_n,\forall n\in N^{*}$. Giá trị nhỏ nhất của $n$ để $u_n>2019$

Đáp án: [[____]]

Cho hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}\frac{(x^2+10)\sqrt[5]{1+ax}-10}{x} với\hspace{1em}x\ne 0\\ a^2+1\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}với\hspace{1em}x=0\end{array}$. Với giá trị nào của $a$ thì hàm số liên tục tại $x=0$ ?

Cho $\underset{x\to +\infty }{lim}(\sqrt[x]{x}-1+\frac{1}{x-2}.\frac{C_x^2}{1+2+3+...+x})=\frac{a}{b}$, với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a+b$.

Đáp án: [[____]]

Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt $b$ chấm. Tính xác suất sao cho phương trình $x^2-bx+b-1=0$ ($x$ là ẩn số) có nghiệm lớn hơn $3$.

Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ có đồ thị $\left(C\right)$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $a$ để có hai tiếp tuyến của $\left(C\right)$ qua $A(a;2)$ với hệ số góc $k_1$, $k_2$ thỏa mãn $k_1+k_2+10k_1^2.k_2^2=0$. Tổng các phần tử của $S$ bằng

Bất phương trình ${\log }_2\left({\log }_{\frac{1}{3}}\frac{3x-7}{x+3}\right)\ge 0$có tập nghiệm là $a;b$. Tính giá trị $P=6a-b$.

Đáp án: [[____]]

Anh Hùng vay ngân hàng $800$ triệu đồng với lãi suất $0,8\%$/tháng. Anh ta muốn trả nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, anh bắt đầu trả nợ; hai lần trả nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, mỗi lần anh Hùng trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định không đổi là $15$ triệu đồng ( tháng cuối có thể trả dưới $15$ triệu đồng). Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi sau bao nhiêu tháng kể từ ngày vay anh ta trả hết nợ cho ngân hàng ?

Đáp án: [[____]]

Tìm chiều dài $L$ ngắn nhất của cái thang để có thể tựa vào tường và mặt đất, ngang qua cột đỡ có chiều cao $\frac{3\sqrt{3}}{2} m$ và cách tường $0,5 m$ kể từ gốc của cột đỡ.

Đáp án: [[____]]

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(0\hspace{0.33em};\hspace{0.33em}8\hspace{0.33em};\hspace{0.33em}2)$ và mặt cầu (S) có phương trình $\left(S\right):{(x-5)}^2+{(y+3)}^2+{(z-7)}^2=72$và điểm $B(9\hspace{0.33em};\hspace{0.33em}-7\hspace{0.33em};\hspace{0.33em}23)$. Viết phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ qua $A$ và tiếp xúc với $\left(S\right)$sao cho khoảng cách từ $B$ đến $\left(P\right)$ lớn nhất. Giả sử $\overrightarrow{n}=(1\hspace{0.33em};\hspace{0.33em}m\hspace{0.33em};\hspace{0.33em}n)$là một véc tơ pháp tuyến của $\left(P\right)$, hãy tính tích $m.n$ biết $m,n$ là các số nguyên.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(2;-3;7)$, $B(0;4;1)$, $C(3;0;5)$ và $D(3;3;3)$. Gọi $M$ là điểm nằm trên mặt phẳng $\left(Oyz\right)$ sao cho biểu thức $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}|$đạt giá trị nhỏ nhất. Các mệnh đề sau đúng hay sai ?