Đáp án & lời giải chi tiết: Đề thi tự luyện - Đề số 17 - Tư duy Toán học

Tìm số hạng đầu

Biến đổi phương trình logarit về dạng $(u_1-1)(49u_1-1)=0$.

Vì $u_1\ne 1$ nên ta thu được $u_1=\frac{1}{49}$.

Tìm số hạng tổng quát

Dãy số là cấp số nhân với $u_1=7^{-2}$ và công bội $q=7$.

Số hạng tổng quát là $u_n=7^{-2}\cdot 7^{n-1}=7^{n-3}$.

Giải bất phương trình

Ta cần $7^{n-3}>2019$.

Thử giá trị $n=6$ được $u_6=343<2019$, còn $n=7$ được $u_7=2401>2019$.

Nội dung bổ sung

Tính giới hạn bằng khai triển (1+ax)^(1/5)=1+ax/5+o(x). Tử số bằng 2ax+o(x), nên giới hạn là 2a. Cho bằng f(0)=a^2+1, giải được a=1.

Nội dung bổ sung

x^(1/x)-1 -> 0. Mặt khác C_x^2/(1+...+x)=(x-1)/(x+1), nên tích với 1/(x-2) cũng tiến về 0. Giới hạn bằng 0=0/1, do đó a+b=1.

Bước 1: Tìm các nghiệm

Phân tích phương trình thành tích hai nhân tử rồi suy ra hai nghiệm.

Bước 2: Xác định mặt thuận lợi

Nghiệm $1$ không lớn hơn $3$; do đó cần $b-1>3$.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Có $2$ kết quả thuận lợi trong $6$ kết quả đồng khả năng. Chọn A; B, C, D sai vì lần lượt cho $\frac{5}{6}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{1}{2}$, đều khác $\frac{1}{3}$.

Bước 1: Lập phương trình tiếp điểm

Đặt tiếp điểm là $M(t;f(t))$. Vì tiếp tuyến đi qua $A(a;2)$ nên ta có phương trình theo $t$.

Hai tiếp tuyến tồn tại khi phương trình này có hai nghiệm phân biệt.

Bước 2: Biểu diễn các hệ số góc

Gọi $t_1,t_2$ là hai nghiệm của phương trình trên. Theo Viète, $t_1+t_2=6$ và $t_1{t}_2=2a+3$.

Thay $k_i=-\frac{2}{(t_i-1{)}^2}$ vào điều kiện đề bài, rồi rút gọn theo $a$.

Bước 3: Tìm tập giá trị và tổng

Giải phương trình nhận được, đồng thời giữ các giá trị bảo đảm $t_1,t_2$ thực và phân biệt.

Các giá trị thỏa mãn có tổng là $\frac{7-5\sqrt{2}}{2}$.

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $\mathrm{C}$ vì tổng cần tìm bằng $\frac{7-5\sqrt{2}}{2}$; các phương án $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{D}$ sai do thiếu hoặc sai phần chứa $\sqrt{2}$.

Bước 1: Khử logarit ngoài

Vì $2>1$, bất phương trình tương đương với điều kiện biểu thức trong lớn hơn hoặc bằng $1$.

Bước 2: Xác định hai mốc

Dùng tính đồng biến của hàm ${\log }_{13}$, kết hợp điều kiện xác định, thu được hai mốc $1$ và $2$.

Bước 3: Tính giá trị cần tìm

Thay $a=2$ và $b=1$ vào biểu thức đã cho.

Bước 1: Lập công thức dư nợ

Gọi $x_n$ là dư nợ sau lần trả thứ $n$, tính theo triệu đồng.

Mỗi tháng, dư nợ được nhân với $1,008$ rồi trừ $15$.

Bước 2: Xác định tháng trả hết

Sau lần trả thứ $69$, nợ vẫn còn; sang tháng thứ $70$, tiền nợ sau lãi nhỏ hơn $15$ triệu đồng.

Bước 1: Lập công thức

Thay $h=3$ và $a=0,5$ vào công thức thang vượt vật cản.

Bước 2: Chọn chiều dài cần dùng

Chiều dài thang lấy theo mét và phải bảo đảm đủ dài.

Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng

Với pháp tuyến $\vec{n}=(1;m;n)$ và đi qua $A$, phương trình là dạng $x+my+nz-8m-2n=0$.

Bước 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

Thay tọa độ tâm $I$ vào công thức khoảng cách, đồng thời xét khoảng cách từ $B$ đến $(P)$.

Điều kiện cực đại trong các nghiệm nguyên cho $m=-1$, $n=4$.

Bước 3: Tính tích cần tìm

Với $m=-1$ và $n=4$, mặt phẳng đạt khoảng cách lớn nhất đến $B$.

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $\mathrm{D}$: $m\cdot n=-4$; các phương án $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ sai vì lần lượt cho $2$, $-2$, $4$.