Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề thi tự luyện - Đề số 27 - Tư duy Toán học (Đánh giá Tư duy (TSA))

Câu 1

Cho hàm số

f (x) = \int_{0}^{x} (t^{2} + t + 1) d t + 4 x^{3} - 12 x^{2} + 9 x

. Hỏi hàm số có các điểm cực trị tại:

A

x=1 là điểm cực đại, x=10/13 là điểm cực tiểu.

B

x=0 là điểm cực đại, x=9/2 là điểm cực tiểu.

C

x=2 là điểm cực đại, x=9/2 là điểm cực tiểu.

D

x=1 là điểm cực tiểu, x=10/13 là điểm cực đại.

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Áp dụng định lý cơ bản của giải tích và quy tắc đạo hàm.

f^{'} (x) = x^{2} + x + 1 + 12 x^{2} - 24 x + 9 = 13 x^{2} - 23 x + 10 = 13 (x - 1) (x - \frac{10}{13})

Bước 2: Xét dấu và kết luận

Vì hệ số đầu dương, dấu của $f'(x)$ lần lượt là $+,-,+$ qua hai nghiệm $\frac{10}{13}<1$ .

Do đó, $x=\frac{10}{13}$ là điểm cực đại và $x=1$ là điểm cực tiểu.

x < \frac{10}{13} : f^{'} (x) > 0; \frac{10}{13} < x < 1 : f^{'} (x) < 0; x > 1 : f^{'} (x) > 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $D$ : $x=1$ là điểm cực tiểu, $x=\frac{10}{13}$ là điểm cực đại.

A sai vì đổi ngược loại cực trị; B và C sai vì các giá trị $0$ , $2$ , $\frac{9}{2}$ không phải nghiệm của $f'(x)$ .

Đáp án: D — vì

f'(x)

đổi dấu

-\to+

tại

x=1

và

+\to-

tại

x=\frac{10}{13}

.

Câu 2

Cho hàm số

f (x)

được định nghĩa như sau:

f (x) = {\begin{matrix} - 2 (x e^{x} + 1) & k h i x \leq 0, \\ m (e^{- x} - x^{2}) & k h i x > 0 . \end{matrix}

Biết rằng: $\int_{- 1}^{1} f (x) d x = 10$ , tính giá trị của $m$ .

A

\frac{1 + e ^{- 1}}{1 - e ^{- 1}}

B

\frac{1 + 1 e ^{- 1}}{2 - 3 e ^{- 1}}

C

\frac{1 + 12 e ^{- 1}}{2 - 3 e ^{- 1}}

D

\frac{30 + 12 e ^{- 1}}{2 - 3 e ^{- 1}}

Lời giải

Bước 1: Tách tích phân

Điểm đổi công thức là $x=0$ , nên tách tích phân thành hai phần.

\int_{- 1}^{1} f (x) d x = \int_{- 1}^{0} - 2 (x e^{x} + 1) d x + m \int_{0}^{1} (e^{- x} - x^{2}) d x

Bước 2: Tính hai tích phân

Tính từng phần bằng nguyên hàm tương ứng.

\int_{- 1}^{0} - 2 (x e^{x} + 1) d x = [- 2 (e^{x} (x - 1) + x)]_{- 1}^{0} = - 4 e^{- 1}; \int_{0}^{1} (e^{- x} - x^{2}) d x = [- e^{- x} - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - e^{- 1}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Thay vào điều kiện tích phân rồi giải $m$ .

Giá trị thu được đúng với phương án $D$ ; $A$ , $B$ , $C$ sai vì không đồng thời có đúng tử số $30+12e^{-1}$ và mẫu số $2-3e^{-1}$ .

10 = - 4 e^{- 1} + m (\frac{2}{3} - e^{- 1}) \Rightarrow m = \frac{10 + 4 e ^{- 1}}{\frac{2}{3} - e ^{- 1}} = \frac{30 + 12 e ^{- 1}}{2 - 3 e ^{- 1}}

Đáp án: D — Vì

m=\frac{30+12e^{-1}}{2-3e^{-1}}

.

Câu 3

Giả sử ba số

6 x - 3 y

,

4 x + 2 y

, và

2 x + y

lập thành một cấp số cộng, và ba số

{(y + 2)}^{2}

,

x y + 3

, và

{(x - 2)}^{2}

lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm giá trị của

x

và

y

.

A

x=0,y=72

B

x=-72,y=-1

C

x=-72,y=1

D

(x, y) = (\frac{1}{2}, 0) hoặc (x, y) = (\frac{7}{2}, 0); c \overset{a}{ˊ} c ph ươ ng \overset{a}{ˊ} n c \overset{o}{ˋ} n lại kh \overset{o}{ˆ} ng đ \overset{ˋ}{\overset{a}{ˆ}} y đ ủ

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện cấp số cộng

Áp dụng $2b=a+c$ cho ba số đã cho.

2 (4 x + 2 y) = (6 x - 3 y) + (2 x + y) ⟹ 8 x + 4 y = 8 x - 2 y ⟹ y = 0

Bước 2: Lập điều kiện cấp số nhân

Áp dụng $b^2=ac$ , rồi thay $y=0$ .

(x y + 3)^{2} = (y + 2)^{2} (x - 2)^{2} y = 0 9 = 4 (x - 2)^{2} ⟹ x - 2 = \pm \frac{3}{2} ⟹ x = \frac{1}{2} hoặc x = \frac{7}{2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Kết quả là $(x,y)=\left(\frac{1}{2},0\right)$ hoặc $(x,y)=\left(\frac{7}{2},0\right)$ .

Đáp án: D

Câu 4

Cho khối chóp

S . A B C D

có đáy là hình vuông cạnh

c

,

S A

vuông góc với đáy và khoảng cách từ

A

đến mặt phẳng

(S B C)

bằng

\frac{c \sqrt{5}}{4}

. Tính thể tích

V

của khối chóp đã cho.

A

V= $c^3/39$

B

V= $c^3/11$

C

V= $c^3\sqrt{55}/33$

D

V= $c^3\sqrt{55}/22$

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng

Chọn $A(0,0,0)$ , $B(c,0,0)$ , $C(c,c,0)$ , $S(0,0,h)$ với $h=SA$ .

Mặt phẳng $(SBC)$ có phương trình $hx+cz-hc=0$ .

d (A, (S B C)) = \frac{h c}{h ^{2} + c ^{2}}

Bước 2: Tìm chiều cao

Thay khoảng cách đã cho vào công thức, suy ra $h^2=\dfrac{5c^2}{11}$ , nên $h=c\sqrt{\dfrac{5}{11}}$ .

Diện tích đáy là $c^2$ .

\frac{h c}{h ^{2} + c ^{2}} = \frac{c 5}{4} \Rightarrow h^{2} = \frac{5 c ^{2}}{11}

Bước 3: Tính thể tích

Áp dụng công thức thể tích khối chóp với chiều cao $h=SA$ .

V = \frac{1}{3} c^{2} h = \frac{1}{3} c^{2} \cdot c \frac{5}{11} = \frac{c ^{3} 55}{33}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ : $V=\dfrac{c^3\sqrt{55}}{33}$ . Các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt thiếu căn thức, sai hệ số và sai mẫu số.

Đáp án:

C

— vì

V=\dfrac{c^3\sqrt{55}}{33}

.

Câu 5

Một công ty sản xuất pin cho các thiết bị di động. Theo thống kê, thời gian sử dụng của pin (tính bằng giờ) là một biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất:

$f (t) = {\begin{matrix} \frac{1}{10000} t (10 - t) & 0 \leq t \leq 10, \\ 0 & k h á c . \end{matrix}$

Câu hỏi:

1, Xác định thời gian trung bình sử dụng của pin. [[____]]

2, Tính xác suất để một pin bất kỳ có thời gian sử dụng từ 2 đến 8 giờ. [[____]]

(Làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba)

Đáp án đúng: 0,083; 0,013

Lời giải

Bước 1: Tính thời gian trung bình

Áp dụng công thức kỳ vọng trên $[0;10]$ .

E (T) = \int_{0}^{10} t \cdot \frac{t ( 10 - t )}{10000} d t = \frac{1}{10000} \int_{0}^{10} (10 t^{2} - t^{3}) d t = \frac{2500}{30000} = 0, 0833 \dots \approx 0, 083

Bước 2: Tính xác suất từ $2$ đến $8$ giờ

Tích phân mật độ trên khoảng cần tìm.

P (2 \leq T \leq 8) = \int_{2}^{8} \frac{t ( 10 - t )}{10000} d t = \frac{1}{10000} [5 t^{2} - \frac{t ^{3}}{3}]_{2}^{8} = 0, 0132 \dots \approx 0, 013

Đáp án:

0,083; 0,013

— lần lượt là kết quả của tích phân kỳ vọng và tích phân mật độ trên

[2;8]

.

Câu 6

Một công ty sản xuất robot di động với chi phí

C (x)

(tỷ VNĐ) để sản xuất

x

robot được cho bởi phương trình:

C (x) = 300 + 12 x^{0.7}

. Doanh thu từ việc bán

x

robot được cho bởi phương trình:

R (x) = 25 x^{0.85}

. Hãy trả lời các câu hỏi sau:

1, Công ty có kế hoạch tăng sản lượng mỗi năm với tốc độ 9%, bắt đầu từ 500 robot trong năm đầu tiên. Tính số lượng robot mà công ty sẽ sản xuất sau 4 năm. [[____]]

2, Tính tổng lợi nhuận của công ty sau khi sản xuất và bán từ 200 đến 1,000 robot. [[____]]

(Làm tròn đến chữ số hàng đơn vị)

Đáp án đúng: 706; 5591

Lời giải

Bước $1$ : Tính sản lượng

Với $n=4$ và $r=0.09$ , áp dụng công thức tăng trưởng kép.

x_{4} = 500 (1 + 0.09)^{3} \approx 705.79 \approx 706

Bước $2$ : Lập lợi nhuận

Dùng $P(x)=R(x)-C(x)$ , rồi lấy chênh lệch lợi nhuận tại hai đầu mút.

P (1, 000) - P (200) = [25 (1, 000)^{0.85} - 300 - 12 (1, 000)^{0.7}] - [25 (200)^{0.85} - 300 - 12 (200)^{0.7}] \approx 5591

Đáp án:

706; 5591

— sản lượng dùng tăng trưởng kép, còn lợi nhuận là chênh lệch

P(1{,}000)-P(200)

.

Câu 7

Một công ty sản xuất máy lọc không khí xác định rằng để bán

x

máy lọc không khí mới, giá bán mỗi chiếc máy (tính bằng triệu đồng) sẽ là:

p (x) = 20 - 0, 05 x

. Tổng chi phí sản xuất

x

máy lọc không khí được xác định bởi công thức:

C (x) = 50 + 2 x

. Hãy trả lời câu hỏi:

1, Hỏi doanh thu tổng $R (x)$ nếu giá bán là 15 triệu đồng? [[____]] (triệu đồng)

2, Công ty cần sản xuất và bán bao nhiêu máy lọc không khí để tối đa hóa lợi nhuận? [[____]]

3, Giá bán mỗi máy cần phải là bao nhiêu để đạt được lợi nhuận tối đa? [[____]]

Đáp án đúng: 1500; 180; 11

Lời giải

Bước 1: Tính doanh thu

Giá mỗi máy là $15$ triệu đồng nên số máy bán được được xác định từ $p(x)=15$ .

Doanh thu bằng giá bán nhân số lượng bán.

20 - 0, 05 x = 15 \Rightarrow x = 100, R = 15 \cdot 100 = 1500

Bước 2: Tối đa hóa lợi nhuận

Lập hàm lợi nhuận và tìm hoành độ đỉnh của parabol quay xuống.

Sản lượng tối ưu là $180$ máy.

R (x) = x (20 - 0, 05 x) = 20 x - 0, 05 x^{2}; P (x) = R (x) - C (x) = - 0, 05 x^{2} + 18 x - 50; x = - \frac{18}{2 ( - 0 , 05 )} = 180

Bước 3: Tìm giá tối ưu

Thay sản lượng tối ưu vào hàm giá để xác định giá bán mỗi máy.

p (180) = 20 - 0, 05 \cdot 180 = 11

Đáp án: Đáp án:

1500; 180; 11

— doanh thu là

1500

, lợi nhuận đạt cực đại tại

x=180

, ứng với giá

11

triệu đồng.

Câu 8

Cho

I = \int_{1}^{3} f (x) d x = 4

. Giá trị của

J = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{c o s x . f (\sqrt{8 s i n x + 1})}{\sqrt{8 s i n x + 1}} d x

bằng:

A

4.

B

-83.

C

1.

D

-4.

Lời giải

Bước 1: Đổi biến

Đặt $u=8\sin x+1$ , suy ra $du=8\cos x\,dx$ .

Sau đổi biến, tích phân được quy về dạng đã cho với hệ số $\frac{1}{4}$ .

u = 8 sin x + 1, d u = 8 cos x d x

Bước 2: Tính giá trị

Thay giá trị $I=4$ vào biểu thức thu được.

J = \frac{1}{4} I = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án C: $J=1$ ; các phương án A, B, D sai vì lần lượt cho kết quả $4$ , $-\frac{8}{3}$ và $-4$ .

Đáp án: C — Vì

J=\frac{1}{4}I=1

.

Câu 9

Cho các hàm số sau:

f (x) = 3 x^{3} - x^{2} + 2 x

;

g (x) = \int_{0}^{x} (4 t + 5) d t + f' (x)

;

h (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x + 2}) .

Hãy tính giá trị của

h (g (3))

.

A

8.1 0^{- 6}

B

- 50.1 0^{- 6}

C

15.1 0^{- 6}

D

- 79, 7.1 0^{- 6}

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm và tích phân

Tính riêng $f'(x)$ và phần tích phân trong $g(x)$ .

f^{'} (x) = 9 x^{2} - 2 x + 2, \int_{0}^{x} (4 t + 5) d t = 2 x^{2} + 5 x

Bước 2: Tính $g(3)$

Thay $x=3$ vào biểu thức của $g(x)$ .

g (3) = 2 \cdot 3^{2} + 5 \cdot 3 + 9 \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3 + 2 = 18 + 15 + 81 - 6 + 2 = 110

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tính $h(110)$ rồi đối chiếu kết quả với các phương án.

Chọn $\mathrm{D}$ ; $\mathrm{A}$ và $\mathrm{C}$ sai dấu, còn $\mathrm{B}$ sai độ lớn.

h (110) = - \frac{1}{( 110 + 2 ) ^{2}} = - \frac{1}{12544} \approx - 79, 7 \cdot 1 0^{- 6}

Đáp án: D — vì

h(g(3))=h(110)\approx-79{,}7\cdot10^{-6}

.

Câu 10

Hình chữ nhật được hiển thị ở đây có một cạnh nằm trên trục y dương, một cạnh nằm trên trục x dương, và đỉnh trên bên phải của nó nằm trên đường cong $y = \frac{4 - x}{x + 3}$

1, Giá trị nào của x gần đúng để hình chữ nhật cho diện tích lớn nhất? [1]

2, Diện tích lớn nhất gần đúng của hình chữ nhật là bao nhiêu? [2]

Các giá trị kéo thả:

Hình minh họa

A

1,63

B

0,78

C

1,58

D

1,51

E

0,86

F

0,83

Đáp án đúng: 1,58 — 0,83

Lời giải

Bước 1: Lập hàm diện tích

Với đỉnh trên bên phải có tọa độ $\left(x,\frac{4-x}{x+3}\right)$ , ta được diện tích $S(x)$ .

S (x) = x \cdot \frac{4 - x}{x + 3} = \frac{4 x - x ^{2}}{x + 3}

Bước 2: Tìm hoành độ cực đại

Giải $S'(x)=0$ trong miền $0\le x\le 3$ .

S^{'} (x) = \frac{- x ^{2} - 6 x + 12}{( x + 3 ) ^{2}} = 0 \Rightarrow x^{2} + 6 x - 12 = 0 \Rightarrow x = - 3 + 21 \approx 1, 58

Bước 3: Tính diện tích lớn nhất

Thay $x\approx1{,}58$ vào hàm diện tích, được $S_{\max}\approx0{,}83$ .

S_{m a x} = \frac{4 ( - 3 + 21 ) - ( - 3 + 21 ) ^{2}}{( - 3 + 21 ) + 3} \approx 0, 83

Đáp án: Đáp án:

1

chọn C,

2

chọn F — vì

x=-3+\sqrt{21}\approx1{,}58

cho

S_{\max}\approx0{,}83

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề thi tự luyện - Đề số 27 - Tư duy Toán học

Tư duy Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Xét dấu và kết luận

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tách tích phân

Bước 2: Tính hai tích phân

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện cấp số cộng

Bước 2: Lập điều kiện cấp số nhân

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng

Bước 2: Tìm chiều cao

Bước 3: Tính thể tích

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Tính thời gian trung bình

Bước 2: Tính xác suất từ 2 đến 8 giờ

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tính sản lượng

Bước 2: Lập lợi nhuận

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tính doanh thu

Bước 2: Tối đa hóa lợi nhuận

Bước 3: Tìm giá tối ưu

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Đổi biến

Bước 2: Tính giá trị

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm và tích phân

Bước 2: Tính g(3)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Lập hàm diện tích

Bước 2: Tìm hoành độ cực đại

Bước 3: Tính diện tích lớn nhất

Bước 2: Tính xác suất từ $2$ đến $8$ giờ

Bước $1$ : Tính sản lượng

Bước $2$ : Lập lợi nhuận

Bước 2: Tính $g(3)$