Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề thi tự luyện - Đề số 23 2025 (Đánh giá Tư duy (TSA))

Câu 1

Cho

p

là một số nguyên tố. Tìm

p

để tổng các ước nguyên dương của

p^{4}

là một số chính phương.

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 3

Lời giải

Bước 1: Lập tổng các ước

Các ước dương của $p^4$ là $1,p,p^2,p^3,p^4$ .

S = 1 + p + p^{2} + p^{3} + p^{4}

Bước 2: Xét trường hợp nhỏ

Với $p=2$ , $S=31$ không là số chính phương. Với $p=3$ , $S=121=11^2$ .

S (2) = 31, S (3) = 1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} = 121 = 1 1^{2}

Bước 3: Loại các số nguyên tố lớn

Với $p\ge5$ , $p$ lẻ. Khi đó $S$ nằm строго giữa hai bình phương sau:

(p^{2} + \frac{p - 1}{2})^{2} < S < (p^{2} + \frac{p + 1}{2})^{2}

Bước 4: Kết luận

Vậy $p\ge5$ không cho $S$ là số chính phương; chỉ còn $p=3$ .

p = 3

Đáp án:

3

— vì khi đó tổng các ước bằng

121=11^2

.

Câu 2

Cho tập

M = {1; 2; 4; 5; 7; 8; \dots}

gồm các số tự nhiên không chia hết cho 3. Biết có tổng của

2 n

phần tử liên tiếp của

M

bằng 300. Tổng tất cả các giá trị có thể của

n

là bao nhiêu?

A

3

B

7

C

12

D

22

Lời giải

Bước 1: Lập công thức tổng

Nếu bắt đầu tại $3k+1$ , tổng $2n$ phần tử là $3n\left(2k+n\right)$ .

Nếu bắt đầu tại $3k+2$ , tổng tương ứng là $3n\left(2k+n+1\right)$ .

S_{1} = 3 n (2 k + n), S_{2} = 3 n (2 k + n + 1)

Bước 2: Tìm các giá trị của $n$

Từ $S=300$ , xét các ước dương của $100$ : $n\mid100$ .

Hai trường hợp lần lượt cho $n\in\{2,10\}$ và $n\in\{1,4,5\}$ .

n (2 k + n) n (2 k + n + 1) = 100 \Rightarrow n \in {2, 10}, = 100 \Rightarrow n \in {1, 4, 5} .

Bước 3: Tính tổng các giá trị

Cộng các giá trị phân biệt: $1+2+4+5+10=22$ .

T = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22

Bước n: Đối chiếu phương án

Chọn $\boxed{\text{D}}$ . Các phương án $\text{A},\text{B},\text{C}$ sai vì lần lượt cho $3$ , $7$ , $12$ , đều khác $22$ .

Đáp án: D — Các giá trị có thể của

n

là

1,2,4,5,10

, có tổng bằng

22

.

Câu 3

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số

y = f (x)

tại điểm có hoành độ

x = 1,

biết

f^{2} (1 + 2 x) = x - f^{3} (1 - x)

là đường thẳng nào sau đây?

A

3x-7y+6=0.

B

x-7y-6=0.

C

x+7y+6=0.

D

3x+7y+6=0.

Lời giải

Bước 1: Tìm giá trị $f(1)$

Đặt $a=f(1)$ , thế $x=0$ vào phương trình.

Nếu $a=0$ thì phương trình đạo hàm sau đó cho $0=1$ , vô lý; vậy $a=-1$ .

a^{2} = - a^{3} \Rightarrow a^{2} (1 + a) = 0

Bước 2: Tìm hệ số góc

Lấy đạo hàm hai vế, rồi thế $x=0$ và $a=-1$ .

4 f (1 + 2 x) f^{'} (1 + 2 x) = 1 + 3 [f (1 - x)]^{2} f^{'} (1 - x) \Rightarrow 4 a a^{'} = 1 + 3 a^{2} a^{'} \Rightarrow - 4 a^{'} = 1 + 3 a^{'} \Rightarrow a^{'} = - \frac{1}{7}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tiếp tuyến qua $(1,-1)$ , có hệ số góc $-\frac{1}{7}$ nên $y+1=-\frac{1}{7}(x-1)$ , tương đương $x+7y+6=0$ .

Chọn C; A, B, D sai vì không đồng thời đi qua $(1,-1)$ và có hệ số góc $-\frac{1}{7}$ .

y + 1 = - \frac{1}{7} (x - 1) \Rightarrow x + 7 y + 6 = 0

Đáp án: C — Tiếp tuyến là

x+7y+6=0

vì đi qua

(1,-1)

và có hệ số góc

-\frac{1}{7}

.

Câu 4

Hỏi tất cả có bao nhiêu chữ số 0 tận cùng của

A_{2025}^{100}

?

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 25

Lời giải

Nội dung bổ sung

Viết A_2025^100 = 2025!/1925!. Tính số thừa số 5 và 2 trong thương hai giai thừa. Vì số thừa số 5 ít hơn nên số chữ số 0 bằng 25.

Câu 5

Cho hình lăng trụ

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

' có đáy là hình thoi cạnh

3 a, \hat{A B C} = 6 0^{\circ}

,

A A^{'} = 2 a

. Đỉnh

A^{'}

cách đều ba đỉnh

A, B, C

. Gọi

G

là trọng tâm của tam giác

A B C

. Các mệnh đề sau là đúng hay sai:

A

A'G là đường cao của hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D'.

B

Độ dài đường cao của hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' bằng a/3.

C

Diện tích hình thoi ABCD bằng 9a/2.

D

Thể tích của khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' bằng $9a^3.\sqrt3/2$ .

Câu này chưa có lời giải.

Câu 6

Có bao nhiêu giá trị thực của

a

để có

\int_{0}^{a} (2 x + 5) d x = a - 4

?

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 1

Lời giải

Bước 1: Tính tích phân

Dùng nguyên hàm $x^2+5x$ và thay cận.

\int_{0}^{a} (2 x + 5) d x = [x^{2} + 5 x]_{0}^{a} = a^{2} + 5 a

Bước 2: Giải phương trình

Đồng nhất với vế phải rồi đưa về dạng bình phương.

a^{2} + 5 a = a - 4 \Leftrightarrow a^{2} + 4 a + 4 = 0 \Leftrightarrow (a + 2)^{2} = 0 \Leftrightarrow a = - 2

Bước 3: Đếm nghiệm

Phương trình chỉ có một giá trị thực của $a$ .

N = 1

Đáp án:

1

— phương trình có đúng một nghiệm thực

a=-2

.

Câu 7

Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là 21. Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân. Khi đó các mệnh đề sau đúng hay sai:

A

Có 3 bộ số thỏa mãn

B

Có 2 bộ số thỏa mãn

C

Trong các bộ 3 số tìm được, thì số 2 là số nhỏ nhất trong đó

D

Trong các bộ 3 số tìm được, thì số 11 là số lớn nhất trong đó

Câu này chưa có lời giải.

Câu 8

Tìm hệ số của

x^{26}

trong khai triển

{(\frac{1}{x^{4}} + x^{7})}^{n}

biết

n

thỏa mãn biểu thức sau

C_{2 n + 1}^{1} + C_{2 n + 1}^{2} + . . . + C_{2 n + 1}^{n} = 2^{20} - 1 .

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 210

Lời giải

Bước $1$ : Tìm $n$

Dùng tính đối xứng của hệ số nhị thức.

k = 1 \sum n C_{2 n + 1}^{k} = 2^{2 n} - 1 = 2^{20} - 1 \Rightarrow n = 10

Bước $2$ : Lập số hạng tổng quát

Chọn $k$ thừa số $x^7$ , số mũ của $x$ là $7k-4(10-k)$ .

Bước $3$ : Tìm hệ số cần thiết

Đặt số mũ bằng $26$ rồi tính hệ số tương ứng.

7 k - 4 (10 - k) = 26 \Rightarrow k = 6 \Rightarrow C_{10}^{6} = 210

Đáp án:

210

— ứng với

k=6

trong khai triển khi

n=10

.

Câu 9

Cho hàm số

y = f (x)

thỏa mãn

\underset{x \to - \infty}{l i m} f (x) = - 1

và

\underset{x \to + \infty}{l i m} f (x) = m

. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số

m

để hàm số

y = \frac{1}{f (x) + 2}

có duy nhất một tiệm cận ngang.

A

1.

B

0.

C

2.

D

Vô số.

Lời giải

Bước 1: Tính giới hạn tại $-\infty$

Từ giới hạn của $f(x)$ , suy ra tiệm cận ngang bên trái của hàm mới.

x \to - \infty lim (\frac{1}{f ( x )} + 2) = \frac{1}{- 1} + 2 = 1

Bước 2: Xét giới hạn tại $+\infty$

Với $m\ne0$ , giới hạn bên phải là $\dfrac{1}{m}+2$ ; để trùng với $1$ , cần $m=-1$ .

Với $m=0$ , nghịch đảo không có giới hạn hữu hạn, nên chỉ còn tiệm cận ngang $y=1$ .

\frac{1}{m} + 2 = 1 ⟺ m = - 1; m = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Có hai giá trị phù hợp là $m=-1$ và $m=0$ .

N = 2

Đáp án: C — Có

2

giá trị

m

, cụ thể

m=-1

và

m=0

; các phương án A, B, D sai vì lần lượt thiếu một giá trị, đếm thiếu và cho rằng có vô số giá trị.

Câu 10

Có bao nhiêu số tự nhiên n có năm chữ số, thỏa mãn mỗi chữ số của n đều không lớn hơn 3 và

g c d (n, 15) = g c d (n, 20) = 1

?

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 256

Lời giải

Bước 1: Chọn chữ số

Chữ số đầu có $3$ cách chọn; ba chữ số giữa có $4^3$ cách.

Vì $n$ lẻ và không chia hết cho $5$ , chữ số cuối có $2$ cách chọn.

3 \cdot 4^{3} \cdot 2 = 384

Bước 2: Loại số chia hết cho $3$

Cố định bốn chữ số sau. Ba lựa chọn chữ số đầu $1,2,3$ có đủ ba số dư modulo $3$ .

Do đó đúng một lựa chọn làm tổng chữ số chia hết cho $3$ , còn hai lựa chọn hợp lệ.

4^{3} \cdot 2 \cdot 2 = 256

Đáp án:

256

— có

4^3\cdot2

cách chọn bốn chữ số sau và

2

lựa chọn chữ số đầu không làm

n

chia hết cho

3

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề thi tự luyện - Đề số 23

Tư duy Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Lập tổng các ước

Bước 2: Xét trường hợp nhỏ

Bước 3: Loại các số nguyên tố lớn

Bước 4: Kết luận

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Lập công thức tổng

Bước 2: Tìm các giá trị của n

Bước 3: Tính tổng các giá trị

Bước n: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tìm giá trị f(1)

Bước 2: Tìm hệ số góc

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Nội dung bổ sung

Câu 5

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tính tích phân

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Đếm nghiệm

Câu 7

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tìm n

Bước 2: Lập số hạng tổng quát

Bước 3: Tìm hệ số cần thiết

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tính giới hạn tại −∞

Bước 2: Xét giới hạn tại +∞

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Chọn chữ số

Bước 2: Loại số chia hết cho 3

Bước 2: Tìm các giá trị của $n$

Bước 1: Tìm giá trị $f(1)$

Bước $1$ : Tìm $n$

Bước $2$ : Lập số hạng tổng quát

Bước $3$ : Tìm hệ số cần thiết

Bước 1: Tính giới hạn tại $-\infty$

Bước 2: Xét giới hạn tại $+\infty$

Bước 2: Loại số chia hết cho $3$