Đáp án & lời giải chi tiết: Đề thi tự luyện - Đề số 22 - Tư duy Toán học

Bước 1: Xác định hai giao điểm

Hai giao điểm là $A\left(k,{\log }_{5}k\right)$ và $B\left(k,{\log }_5(k+4)\right)$.

Bước 2: Suy ra giá trị của k

Thay điều kiện khoảng cách của đề và rút gọn theo dạng phân số tối giản, được $k=\frac{1}{5}$.

Bước 3: Tính tổng

Cộng tử số và mẫu số của phân số tối giản.

Bước 1: Tách ước chung

Đặt $m=10a,n=10b$ với $(a,b)=1$.

Bước 2: Dùng điều kiện $m>1000$

Các cặp thừa số nguyên tố cùng nhau của $249$ là $(1,249),(3,83),(83,3),(249,1)$.

Vì $m=10a>1000$ nên $a>100$, chọn $a=249,b=1$.

Bước 3: Tính biểu thức

Thay $m=2490,n=10$ vào biểu thức cần tính.

Bước 1: Đếm chữ số từng số

Áp dụng công thức cho hai lũy thừa:

Bước 2: Cộng số chữ số

Khi viết liền nhau, tổng số chữ số là:

Bước 1: Lập các vectơ

Chọn gốc $A$, ta có các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$.

Bước 2: Lập điều kiện đồng phẳng

Tính vectơ pháp tuyến rồi cho tích vô hướng với $\overrightarrow{AD}$ bằng $0$.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Điều kiện thu được là $m+2n=13$. Phương án A, B, D sai vì lần lượt nêu $2m+n=13$, $2m-n=13$, $2m-3n=10$, đều không tương đương với điều kiện trên.

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Đặt $t=2^{x-1}>0$, suy ra $2^x=2t$ và $x-1={\log }_4(t^2)$.

Bước 2: Lập phương trình bậc hai

Do hàm số ${\log }_4$ đơn điệu, hai đối số bằng nhau.

Bước 3: Tính tổng nghiệm

Vì $x_i=1+{\log }_2{t}_i$, tổng hai nghiệm được tính qua tích $t_1{t}_2$.

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A. B, C, D sai vì các giá trị hoặc biểu thức tương ứng đều khác $2$.

Bước 1: Lập hai vectơ

Chọn hệ trục theo ba cạnh hình hộp, với $A^{\prime }(0,0,0)$, $C(4a,3a,6a)$ và $B(4a,0,6a)$.

Suy ra hai vectơ cần xét.

Bước 2: Tính côsin góc

Áp dụng công thức tích vô hướng cho hai vectơ trên.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tính được $\alpha =\arccos \sqrt{\frac{52}{61}}\approx 22^{\circ }35^{\prime }$.

Chọn phương án B; A, C, D sai vì không phù hợp với giá trị $\cos \alpha =\sqrt{\frac{52}{61}}$.

Bước 1: Xác định các vị trí đạt min

Điều kiện ${\min }_{[-3;3]}f(x)=2$ được xét tại đỉnh hoặc hai đầu mút của đoạn.

Bước 2: Tìm các giá trị của m

Thay các vị trí đạt giá trị nhỏ nhất vào điều kiện $f(x)=2$, rồi loại các trường hợp không phù hợp với đoạn $[-3;3]$.

Các giá trị thu được là $m_1=0$ và $m_2=-11$.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $\boxed{\text{B}}$. Các phương án A, C, D sai vì lần lượt lấy thiếu giá trị, cộng nhầm dấu và nhầm đại lượng cần tính.

Bước 1: Xác định vị trí $Q_3$

Tổng tần số là $n=40$, nên vị trí $Q_3$ là $\frac{3n}{4}=30$.

Bước 2: Xác định lớp chứa $Q_3$

Tần số tích lũy trước lớp $[120;160)$ là $27$; sau lớp này là $35$.

Vậy $Q_3$ thuộc lớp $[120;160)$, với $L=120$, $F=27$, $f=8$, $h=40$.

Bước 3: Tính $Q_3$

Áp dụng công thức tứ phân vị cho lớp chứa vị trí $30$.

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $\mathrm{C}$; các phương án $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{D}$ sai vì lần lượt cho kết quả $145$, $140$, $130$, không đúng giá trị $Q_3$.

Bước $1$: Đếm theo nhóm

Đếm lần lượt các nhóm hình vuông từ nhỏ đến lớn trên hình vẽ.

Số lượng tương ứng là $64$, $36$, $16$, $5$ và $1$.

Bước $2$: Cộng tổng

Cộng số hình vuông của tất cả các nhóm để có kết quả cuối cùng.

Bước 1: Tính đạo hàm

Dùng công thức đạo hàm phân thức bậc nhất.

Bước 2: Lập điều kiện

Hàm số xác định trên $(6;+\infty )$ và nghịch biến khi tử số đạo hàm âm.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Kết hợp điều kiện, các giá trị nguyên của $m$ là $-2,-1,0$.

Chọn $\mathrm{C}$. $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{D}$ sai vì lần lượt cho số lượng bằng $0$, $6$ và vô số.