Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề thi tự luyện - Đề số 21 - Tư duy Toán học (Đánh giá Tư duy (TSA))

Câu 1

Giá trị của

\lim_{x \to 0} (\frac{x + s i n x}{x})

bằng:

A

2

B

+∞

C

Không tồn tại

D

0

Lời giải

Bước 1: Tách biểu thức

Chia từng hạng tử ở tử cho $x$ để đưa về giới hạn cơ bản.

\frac{x + sin x}{x} = 1 + \frac{sin x}{x}

Bước 2: Tính giới hạn

Áp dụng $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ .

x \to 0 lim \frac{x + sin x}{x} = 1 + 1 = 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A. B, C, D sai vì lần lượt cho rằng giới hạn vô hạn, không tồn tại và bằng $0$ .

Đáp án: A — giới hạn bằng

2

.

Câu 2

Cho phương trình:

x^{2} + 3 = 2 (x {+ \cos}^{2} (a x + b))

, với

a, b \in (0; \frac{π}{2}] .

Tìm

a . b

để phương trình có nghiệm. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 2,47

Lời giải

Bước 1: Biến đổi phương trình

Đưa về dạng so sánh hai biểu thức.

x^{2} - 2 x + 3 = 2 cos^{2} (a x + b)

Bước 2: Xét điều kiện có nghiệm

Vế trái không nhỏ hơn $2$ , vế phải không lớn hơn $2$ ; do đó phải đồng thời đạt $2$ .

(x - 1)^{2} + 2 \geq 2, 2 cos^{2} (a x + b) \leq 2 \Rightarrow x = 1, cos^{2} (a x + b) = 1

Bước 3: Tìm tham số

Vì $0<a+b\le\pi$ , điều kiện $\cos^2(a+b)=1$ cho $a+b=\pi$ .

Kết hợp $a,b\le\frac{\pi}{2}$ , suy ra $a=b=\frac{\pi}{2}$ .

a \cdot b = \frac{π ^{2}}{4} \approx 2.467 \Rightarrow 2.47

Đáp án:

2,47

— vì điều kiện có nghiệm buộc

a=b=\frac{\pi}{2}

, nên

a\cdot b=\frac{\pi^2}{4}\approx2,47

.

Câu 3

Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm và liên tục trên đoạn

[0; 1]

thỏa mãn

f (0) = 2

và

f^{'} (x) e^{f (x) - x^{2} - 2} = 2 x, \forall x \in [0; 1]

. Tính giá trị của tích phân

\int_{0}^{1} f (x) d x

. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 2,33

Lời giải

Bước $1$ : Đưa về đạo hàm hàm mũ

Nhân hai vế với $e^{x^2+2}$ để khử phần mũ ở mẫu số.

f^{'} (x) e^{f (x)} = 2 x e^{x^{2} + 2} = (e^{x^{2} + 2})^{'}

Bước $2$ : Tìm hàm số

Lấy nguyên hàm và dùng $f(0)=2$ để xác định hằng số.

(e^{f (x)})^{'} = 2 x e^{x^{2} + 2} \Rightarrow e^{f (x)} = e^{x^{2} + 2} + C; e^{f (0)} = e^{2} \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f (x) = x^{2} + 2

Bước $3$ : Tính tích phân

Tính tích phân của hàm số vừa tìm được rồi làm tròn.

\int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} (x^{2} + 2) d x = (\frac{x ^{3}}{3} + 2 x)_{0}^{1} = \frac{7}{3} \approx 2, 33

Đáp án:

2,33

— vì

f(x)=x^2+2

nên

\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx=\frac{7}{3}\approx2,33

.

Câu 4

Ba con tàu cập bến theo lịch như sau: Tàu I cứ 15 ngày cập bến, tàu II cứ 20 ngày thì cập bến, tàu III thì cứ 12 ngày thì cập bến. Lần đầu cả ba tàu cùng cập bến vào ngày thứ sáu. Hỏi sau đó ít nhất bao lâu, cả ba tàu lại cùng cập bến vào ngày thứ sáu?

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 420

Lời giải

Bước $1$ : Tìm chu kỳ trùng nhau

Chu kỳ để cả ba tàu cùng cập bến là bội chung nhỏ nhất của các chu kỳ.

BCNN (15, 20, 12) = 60

Bước $2$ : Khớp lại ngày thứ sáu

Gọi số chu kỳ trùng nhau tiếp theo là $k$ ; cần tổng thời gian chia hết cho $7$ .

60 \equiv 4 (mod 7), 4 k \equiv 0 (mod 7) \Rightarrow k = 7

Bước $3$ : Tính thời gian ngắn nhất

Khoảng thời gian cần tìm là $7$ chu kỳ trùng nhau.

60 \times 7 = 420 ng \overset{a}{ˋ} y

Đáp án:

420

— vì chu kỳ trùng nhau là

60

ngày và cần

7

chu kỳ để trở lại thứ sáu.

Câu 5

Kéo biểu thức ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:

Cho hình chóp $S . A B C$ có tam giác $A B C$ cân đỉnh $A$ , $\hat{B A C} = 120 °$ và $A B = 2 a$ . Biết $S A = S B = S C = \frac{a \sqrt{39}}{3}$ . Đặt khoảng cách từ điểm $S$ đến mặt phẳng $(A B C)$ là $h$ và $α = [S, B C, A]$ . Khi đó $\frac{90 h^{2}}{a^{2}} =$ [1] và $α =$ [2] độ.

A

60

B

90

C

120

D

30

E

150

Đáp án đúng: 30 — 150

Lời giải

Bước 1: Tính bán kính ngoại tiếp

Từ định lý cosin, $BC=2a\sqrt{3}$ ; do đó bán kính ngoại tiếp đáy là $R=2a$ .

R = \frac{B C}{2 sin 12 0 ^{\circ}} = \frac{2 a 3}{3} = 2 a

Bước 2: Tính độ cao

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Vì $SA=SB=SC$ , hình chiếu của $S$ xuống đáy là $O$ .

h^{2} = S O^{2} = S A^{2} - R^{2} = (\frac{a 39}{3})^{2} - (2 a)^{2} = \frac{a ^{2}}{3}

Bước 3: Tính giá trị thứ nhất

Suy ra giá trị cần điền ở ô thứ nhất là $30$ .

\frac{90 h ^{2}}{a ^{2}} = \frac{90}{a ^{2}} \cdot \frac{a ^{2}}{3} = 30

Bước 4: Tính góc nhị diện

Gọi $M$ là trung điểm $BC$ . Vì $AB=AC$ , ta có $AM\perp BC$ và $AM=a$ ; đồng thời $OM=a$ .

Trong thiết diện vuông góc $BC$ , $\tan\alpha=\frac{h}{OM}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ , nên $\alpha=30^\circ$ . Đối chiếu các ô: ô thứ nhất chọn $D$ , ô thứ hai chọn $E$ .

tan α = \frac{h}{O M} = \frac{a / 3}{a} = \frac{1}{3} \Rightarrow α = 3 0^{\circ}

Đáp án:

[1]=D

,

[2]=E

— vì

\frac{90h^2}{a^2}=30

và

\alpha=30^\circ

.

Câu 6

Cho tứ diện đều

A B C D

có cạnh bằng

1

. Trên các cạnh

A B

và

C D

lần lượt lấy các điểm

M

và

N

sao cho

\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{0}

và

\vec{N C} = - 2 \vec{N D}

. Mặt phẳng

(P)

chứa

M N

và song song với

A C

chia khối tứ diện

A B C D

thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh

A

có thể tích là

V

. Tính

V

.

A

V=2/18.

B

V= $7\sqrt{2}/216$ .

C

V= $2/108$ .

D

V= $11\sqrt{2}/216$ .

Lời giải

Bước 1: Xác định tọa độ $M,N$

Chọn tọa độ barycentric theo thứ tự $A,B,C,D$ .

M A + M B = 0 \Rightarrow M = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0, 0); N C = - 2 N D \Rightarrow N = (0, 0, \frac{1}{3}, \frac{2}{3})

Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng

Đặt $x=x_A$ , $y=x_B$ , $z=x_C$ , $t=x_D$ ; vì $(P)\parallel AC$ nên phương trình chứa $M,N$ là $3x-y+3z=1$ .

Miền chứa $A$ thỏa mãn $3x-y+3z\ge 1$ .

x + y + z + t = 1 \Rightarrow 4 (x + z) + t \geq 2

Bước 3: Tính thể tích

Đặt $s=x+z$ . Tỉ số thể tích miền chứa $A$ là $\dfrac{11}{18}$ .

\frac{\int _{1/3}^{1/2} s ( 3 s - 1 ) d s + \int _{1/2}^{1} s ( 1 - s ) d s}{\int _{0}^{1} s ( 1 - s ) d s} = \frac{11}{18}; V = \frac{11}{18} \cdot \frac{2}{12} = \frac{11 2}{216}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn $D$ . Các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt không đúng hệ số thể tích, thiếu căn $\sqrt{2}$ hoặc sai mẫu số.

Đáp án: D — Vì phần thể tích chứa

A

bằng

\dfrac{11}{18}

thể tích tứ diện đều nên

V=\dfrac{11\sqrt{2}}{216}

.

Câu 7

Gọi

x_{1}

và

x_{2}

là hai nghiệm của phương trình

x^{2} - 4 x + a = 0

,

x_{3}

và

x_{4}

là hai nghiệm của phương trình

x^{2} - x + b = 0

. Biết rằng

x_{1}

,

x_{2}

,

x_{3}

,

x_{4}

theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân có công bội dương. Các phát biểu sau đây đúng hay sai:

A

x_{1} = 8/3

B

Gọi q,(q>0) là công bội của cấp số nhân khi đó q=1/3

C

Giá trị biểu thức Q=a+b=35/9.

D

Giá trị biểu thức P=ab=64/81.

Câu này chưa có lời giải.

Câu 8

Với

n

là số nguyên dương, gọi

a_{k}

là hệ số của

x^{k}

trong khai triển thành đa thức của

{(x^{2} + 3)}^{n} {(2 x + 1)}^{2 n}

. Biết rằng

a_{4 n - 1} = 256 n

, tìm

a_{2}

.

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 9180

Lời giải

Bước 1: Tìm $n$

Đa thức có bậc $4n$ ; hệ số của $x^{4n-1}$ là $\mathrm{C}_{2n}^{1}2^{2n-1}=n2^{2n}$ .

n 2^{2 n} = 256 n \Rightarrow 2^{2 n} = 256 = 2^{8} \Rightarrow n = 4

Bước 2: Tính các hệ số cần thiết

Với $n=4$ , lấy hệ số bậc $0$ và $2$ của $(x^2+3)^4$ , cùng hệ số bậc $0$ và $2$ của $(2x+1)^8$ .

[x^{0}] (x^{2} + 3)^{4} = 3^{4} = 81, [x^{2}] (x^{2} + 3)^{4} = C_{4}^{1} 3^{3} = 108

Bước 3: Tính $a_2$

Hệ số $x^2$ nhận từ hai trường hợp: bậc $0$ nhân bậc $2$ , hoặc bậc $2$ nhân bậc $0$ .

a_{2} = 81 C_{8}^{2} 2^{2} + 108 \cdot 1 = 81 \cdot 112 + 108 = 9180

Đáp án:

9180

— vì

n=4

và hệ số

x^2

bằng

81\cdot112+108

.

Câu 9

Gọi

(C)

là đồ thị của hàm số

y = \frac{4 x + 1}{3 - x}

. Các phát biểu sau đây là đúng hay sai?

A

Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó.

B

y=3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

C

Tích các khoảng cách từ một điểm M tùy ý trên (C) đến hai đường tiệm cận của nó bằng 14.

D

Có 2 điểm thuộc (C) sao cho tổng các khoảng cách từ điểm đó đến hai đường tiệm cận của (C) nhỏ nhất.

Câu này chưa có lời giải.

Câu 10

Ba số tự nhiên

a, b, c

thỏa mãn

B C N N (3^{a} 7^{b}; c) = 1269! .

Tìm giá trị lớn nhất của

a + b .

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 841

Lời giải

Bước 1: Giới hạn số mũ

Từ điều kiện, $a\le v_3(1269!)$ và $b\le v_7(1269!)$ .

Do đó, $a+b\le v_3(1269!)+v_7(1269!)$ .

a + b \leq v_{3} (1269!) + v_{7} (1269!)

Bước 2: Tính số mũ của $3$

Áp dụng công thức Legendre cho $p=3$ .

v_{3} (1269!) = ⌊ \frac{1269}{3} ⌋ + ⌊ \frac{1269}{9} ⌋ + ⌊ \frac{1269}{27} ⌋ + ⌊ \frac{1269}{81} ⌋ + ⌊ \frac{1269}{243} ⌋ + ⌊ \frac{1269}{729} ⌋ = 423 + 141 + 47 + 15 + 5 + 1 = 632

Bước 3: Tính số mũ của $7$

Áp dụng công thức Legendre cho $p=7$ .

v_{7} (1269!) = ⌊ \frac{1269}{7} ⌋ + ⌊ \frac{1269}{49} ⌋ + ⌊ \frac{1269}{343} ⌋ = 181 + 25 + 3 = 209

Bước 4: Kết luận

Chọn $a=632$ , $b=209$ thì điều kiện vẫn thực hiện được, chẳng hạn lấy $c=1269!$ .

Vậy giá trị lớn nhất là $632+209=841$ .

a + b = 632 + 209 = 841

Đáp án:

841

— vì

a+b

đạt cực đại bằng

v_3(1269!)+v_7(1269!)=632+209

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề thi tự luyện - Đề số 21 - Tư duy Toán học

Tư duy Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tách biểu thức

Bước 2: Tính giới hạn

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Biến đổi phương trình

Bước 2: Xét điều kiện có nghiệm

Bước 3: Tìm tham số

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Đưa về đạo hàm hàm mũ

Bước 2: Tìm hàm số

Bước 3: Tính tích phân

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tìm chu kỳ trùng nhau

Bước 2: Khớp lại ngày thứ sáu

Bước 3: Tính thời gian ngắn nhất

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Tính bán kính ngoại tiếp

Bước 2: Tính độ cao

Bước 3: Tính giá trị thứ nhất

Bước 4: Tính góc nhị diện

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Xác định tọa độ M,N

Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng

Bước 3: Tính thể tích

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 7

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tìm n

Bước 2: Tính các hệ số cần thiết

Bước 3: Tính a2​

Câu 9

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Giới hạn số mũ

Bước 2: Tính số mũ của 3

Bước 3: Tính số mũ của 7

Bước 4: Kết luận

Bước $1$ : Đưa về đạo hàm hàm mũ

Bước $2$ : Tìm hàm số

Bước $3$ : Tính tích phân

Bước $1$ : Tìm chu kỳ trùng nhau

Bước $2$ : Khớp lại ngày thứ sáu

Bước $3$ : Tính thời gian ngắn nhất

Bước 1: Xác định tọa độ $M,N$

Bước 1: Tìm $n$

Bước 3: Tính $a_2$

Bước 2: Tính số mũ của $3$

Bước 3: Tính số mũ của $7$