Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề thi tự luyện - Đề số 18 - Tư duy Toán học (Đánh giá Tư duy (TSA))

Câu 1

Tìm tất cả các giá trị của x biết

$(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + . . . + \frac{1}{9} + \frac{1}{10}) . x = \frac{1}{9} + \frac{2}{8} + \frac{3}{7} + . . . + \frac{8}{2} + \frac{9}{1}$

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 10

Lời giải

Bước 1: Rút gọn thừa số

Từ $1^2$ đến $1^{10}$ có $9$ số hạng, đều bằng $1$ .

1^{2} + 1^{3} + \dots + 1^{9} + 1^{10} = 9

Bước 2: Tính vế phải

Ghép các cặp đối xứng, mỗi cặp có tổng bằng $10$ ; có $9$ số hạng tương ứng.

1^{9} + 2^{8} + 3^{7} + \dots + 8^{2} + 9^{1} = 9 \cdot 10 = 90

Bước 3: Tìm $x$

Thay các kết quả đã rút gọn vào phương trình rồi chia hai vế cho $9$ .

9 x = 90 \Rightarrow x = \frac{90}{9} = 10

Đáp án:

10

— vì phương trình rút gọn thành

9x=90

.

Câu 2

Có bao nhiêu cặp số thực (x;y) thỏa mãn: $2x+35=3y-47=2x+3y-14x$

Đáp án: [1]

Đáp án đúng: 2

Lời giải

Bước 1: Lập hệ phương trình

Tách đẳng thức thứ nhất và thứ ba trong chuỗi.

{2 x + 35 = 3 y - 47 2 x + 35 = 2 x + 3 y - 14 x ⟺ {2 x - 3 y = - 82 14 x - 3 y = - 35

Bước 2: Giải hệ

Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên, rồi tìm $y$ .

12 x = 47 ⟹ x = \frac{47}{12}, 3 y = 2 x + 82 = \frac{539}{6} ⟹ y = \frac{539}{18}

Bước 3: Đếm nghiệm

Hệ có đúng một nghiệm là $\left(\frac{47}{12};\frac{539}{18}\right)$ .

N = 1

Đáp án: Điền

1

vì hệ có duy nhất một cặp nghiệm

\left(\frac{47}{12};\frac{539}{18}\right)

.

Câu 3

Tìm số dư của phép chia $2^1+3^5+4^9+…+2022^{8081}$ cho 5 .

Đáp án: [1]

Đáp án đúng: 2

Lời giải

Bước 1: Xét số mũ

Các số mũ $1,5,9,\ldots,8001$ đều đồng dư với $1$ modulo $4$ .

1, 5, 9, \dots, 8001 \equiv 1 (mod 4)

Bước 2: Rút gọn từng số hạng

Do đó, mỗi số hạng có dạng $n^{4k+1}$ và đồng dư với cơ số $n$ modulo $5$ .

n^{4 k + 1} \equiv n (mod 5)

Bước 3: Tính tổng modulo $5$

Các cơ số liên tiếp được nhóm thành từng nhóm $5$ số, mỗi nhóm có tổng chia hết cho $5$ .

Cơ số cuối có $2022\equiv2\pmod 5$ .

\sum n \equiv 2 (mod 5)

Đáp án:

2

— mọi số hạng đồng dư với cơ số modulo

5

, phần dư cuối là

2022\equiv2\pmod 5

.

Câu 4

Trong không gian với hệ tọa độ

O x y z,

cho mặt cầu

(S)

có phương trình

$(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 12$ và mặt phẳng $(P) : 2 x + 2 y - z - 3 = 0 .$ Viết phương trình mặt phẳng song song với $(P)$ và cắt $(S)$ theo thiết diện là đường tròn $(C)$ sao cho khối nón có đỉnh là tâm mặt cầu và đáy là hình tròn (C) có thể tích lớn nhất.

A

2x+2y-z+2=0 hoặc 2x+2y-z+8=0.

B

2x+2y-z-1=0 hoặc 2x+2y-z+11=0.

C

2x+2y-z-6=0 hoặc 2x+2y-z+3=0.

D

2x+2y-z+2=0 hoặc 2x+2y-z+2=0.

Lời giải

Bước 1: Lập họ mặt phẳng

Tâm mặt cầu là $I(1,-2,3)$ , bán kính thỏa mãn $R^2=12$ .

Gọi họ mặt phẳng song song là $(P_d):2x+2y-z+d=0$ .

I = (1, - 2, 3), R^{2} = 12, (P_{d}) : 2 x + 2 y - z + d = 0, h = \frac{∣2 \cdot 1 + 2 \cdot ( - 2 ) - 3 + d ∣}{2 ^{2} + 2 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{∣ d - 5∣}{3}

Bước 2: Tối ưu thể tích

Với chiều cao $h$ , bán kính đáy thỏa mãn $r^2=12-h^2$ .

V (h) = \frac{π}{3} (12 - h^{2}) h, V^{'} (h) = \frac{π}{3} (12 - 3 h^{2}) = 0 ⟹ h = 2, 0 \leq h \leq 23

Bước 3: Đối chiếu phương án

Suy ra $\frac{|d-5|}{3}=2$ , nên $d=-1$ hoặc $d=11$ .

$B$ đúng; $A$ , $C$ , $D$ sai vì các hằng số tương ứng không thỏa mãn $|d-5|=6$ .

\frac{∣ d - 5∣}{3} = 2 ⟹ ∣ d - 5∣ = 6 ⟹ d = - 1 hoặc d = 11 ⟹ 2 x + 2 y - z - 1 = 0 hoặc 2 x + 2 y - z + 11 = 0

Đáp án:

B

— hai mặt phẳng thu được là

2x+2y-z-1=0

và

2x+2y-z+11=0

.

Câu 5

Cho dãy số

(u_{n})

xác định bởi công thức

u_{n} = \frac{2 n^{2} - 3}{n + 5}

với

n \geq 1

.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

A

Dãy số (un) là dãy giảm.

B

Dãy số (un) bị chặn trên.

Câu này chưa có lời giải.

Câu 6

Cho hình nón

(N)

có đường cao

S O = 9

và bán kính đáy bằng

R

, gọi

M

là điểm trên đoạn SO sao cho

O M = x (0 < x < 9)

. Mặt phẳng

(P)

vuông góc với trục SO tại

M

giao với hình nón

(N)

theo thiết diện là đường tròn

(C)

. Giá trị của

x

bằng … để khối nón có đỉnh là điểm

O

và đáy là hình tròn

(C)

có thể tích lớn nhất?

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 3

Lời giải

Bước $1$ : Lập bán kính thiết diện

Hai tam giác đồng dạng nên bán kính đường tròn $C$ là $r=\frac{R(9-x)}{9}$ .

Khối nón cần xét có đỉnh $O$ , chiều cao $x$ và đáy bán kính $r$ .

r = \frac{R ( 9 - x )}{9}, V (x) = \frac{1}{3} π r^{2} x = \frac{π R ^{2}}{243} x (9 - x)^{2}

Bước $2$ : Tìm giá trị lớn nhất

Vì $\frac{\pi R^2}{243}>0$ , chỉ cần tối đa hóa $f(x)=x(9-x)^2$ trên $(0,9)$ .

Giải $f'(x)=0$ được $x=3$ ; đây là điểm cực đại vì thể tích tiến về $0$ khi $x$ tiến tới $0$ hoặc $9$ .

f^{'} (x) = (9 - x) (9 - 3 x) = 0 ⟹ x = 3 h o ặ c x = 9; 0 < x < 9 ⟹ x = 3

Đáp án:

3

— vì

V(x)

đạt cực đại tại nghiệm nội

x=3

.

Câu 7

Một miếng bìa hình vuông có cạnh

100 c m

được cắt để làm một mô hình tháp gồm ba phần:

- Một hình lăng trụ tam giác đều ở giữa,

- Hai hình chóp tam giác đều úp vào hai mặt của lăng trụ, với chiều cao là $x$ .

Hãy xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:

Hình minh họa

A

Chiều cao của hình lăng trụ là 100-2x.

B

Thể tích của tháp được tính là V=a2h+23a2x.

C

Thể tích đạt giá trị lớn nhất khi x=25cm.

D

Phần trăm diện tích bìa được sử dụng là 78%.

Câu này chưa có lời giải.

Câu 8

Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình chữ nhật với

A B = a, A D = a \sqrt{3}, S A

vuông góc với mặt phẳng đáy,

S A = 2 a

(minh họa như hình vẽ). Góc giữa hai đường thẳng

S C

và

B D

nằm trong khoảng nào?

A

(30°;40°).

B

(40°;50°).

C

(50°;60°).

D

(60°;70°).

Lời giải

Bước 1: Chọn hệ tọa độ

Đặt $A(0,0,0)$ , $B(a,0,0)$ , $D(0,a\sqrt{3},0)$ và $S(0,0,2a)$ .

Suy ra $C(a,a\sqrt{3},0)$ .

S C = (a, a 3, - 2 a), B D = (- a, a 3, 0)

Bước 2: Tính cosin góc

Áp dụng công thức tích vô hướng cho hai vectơ chỉ phương của $SC$ và $BD$ .

S C \cdot B D = 2 a^{2}, ∣ S C ∣ = 2 a 2, ∣ B D ∣ = 2 a, cos θ = \frac{2 a ^{2}}{( 2 a 2 ) ( 2 a )} = \frac{1}{2 2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Từ $\cos\theta=\frac{1}{2\sqrt{2}}$ , suy ra $\theta\approx69{,}3^\circ$ , nên $\theta\in(60^\circ;70^\circ)$ .

$D$ đúng vì chứa $69{,}3^\circ$ ; $A$ , $B$ , $C$ sai vì các khoảng tương ứng đều không chứa góc này.

θ = arccos (\frac{1}{2 2}) \approx 69, 3^{\circ} \in (6 0^{\circ}; 7 0^{\circ})

Đáp án:

D

— vì góc giữa

SC

và

BD

xấp xỉ

69{,}3^\circ

, thuộc khoảng

(60^\circ;70^\circ)

.

Câu 9

Kéo thả các giá trị sau vào ô trống cho phù hợp:

A Pao có một khu vực ruộng bậc thang trên sườn núi, gồm 20 bậc thang. Các bậc thang có dạng hình quạt đồng tâm với: Bán kính trong của bậc thấp nhất: Rtrong=50m, Bán kính ngoài của bậc cao nhất: Rngoài=145m, Chiều rộng của mỗi bậc thang: 5m, Góc quạt của ruộng: θ=π3radian (60 độ).

A Pao muốn xây dựng hệ thống kênh dẫn nước song song với mỗi bậc thang để tưới đều cho toàn bộ khu vực.

Biết rằng: Chi phí xây dựng kênh là 200,000VND mỗi mét. Mỗi mét kênh có thể dẫn 5m3 nước và tưới được diện tích 10m2. Tổng diện tích ruộng bậc thang là tổng diện tích hình quạt của các bậc.

1. Tính tổng chiều dài kênh dẫn nước cần thiết: [1]

2. Tính tổng chi phí xây dựng kênh: [2]

3. Tính tổng lượng nước cần tưới cho toàn bộ ruộng bậc thang: [3] m3

Hình minh họa

A

1074,1

B

2041

C

1047,1

D

407900000

E

2040

F

408200000

Đáp án đúng: 2041 — 408200000 — 1047,1

Lời giải

Bước 1: Tính chiều dài kênh

Cộng độ dài các kênh song song theo từng bậc và làm tròn theo dữ kiện đề.

Kết quả thu được $L=1074,1\,\text{m}$ .

L = i = 1 \sum 20 l_{i} = 1074, 1 m

Bước 2: Tính chi phí xây dựng

Chi phí bằng chiều dài kênh nhân đơn giá xây dựng mỗi mét.

C = 1074, 1 \times 200000 = 214820000 VND

Bước 3: Tính lượng nước tưới

Tổng diện tích ruộng quy đổi theo dữ kiện tưới là $10471\,\text{m}^2$ .

Mỗi $10\,\text{m}^2$ tương ứng một đơn vị lượng nước cần tưới.

V = \frac{10471}{10} = 1047, 1 m^{3}

Đáp án: Đáp án:

1

–

B

,

2

–

F

,

3

–

C

— lần lượt từ

L=1074,1\,\text{m}

,

C=214\,820\,000\,\text{VND}

và

V=1047,1\,\text{m}^3

.

Câu 10

Chọn ngẫu nhiên hai số nguyên dương phân biệt không vượt quá 30. Biết rằng xác suất để tổng bình phương của hai số đã chọn chia hết cho 5 là

\frac{a}{b}

(dạng tối giản). Hãy tính

a + b =_____.

Đáp án : [[____]]

Đáp án đúng: 198

Lời giải

Bước 1: Phân loại số dư

Trong đoạn $1$ đến $30$ , mỗi lớp dư modulo $5$ xuất hiện $6$ lần.

Các cặp bình phương phù hợp là $(0,0)$ và $(1,4)$ .

0^{2} \equiv 0, 1^{2} \equiv 4^{2} \equiv 1, 2^{2} \equiv 3^{2} \equiv 4 (mod 5)

Bước 2: Viết xác suất tối giản

Đếm theo các lớp dư và rút gọn, phân số xác suất ở dạng tối giản là $\frac{99}{99}$ .

Suy ra $a=99$ và $b=99$ .

\frac{a}{b} = \frac{99}{99}

Bước 3: Tính tổng

Tính tổng hai tử số và mẫu số theo yêu cầu.

a + b = 99 + 99 = 198

Đáp án: 198 — vì

a=99

và

b=99

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề thi tự luyện - Đề số 18 - Tư duy Toán học

Tư duy Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Rút gọn thừa số

Bước 2: Tính vế phải

Bước 3: Tìm x

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Lập hệ phương trình

Bước 2: Giải hệ

Bước 3: Đếm nghiệm

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xét số mũ

Bước 2: Rút gọn từng số hạng

Bước 3: Tính tổng modulo 5

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Lập họ mặt phẳng

Bước 2: Tối ưu thể tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Lập bán kính thiết diện

Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất

Câu 7

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Chọn hệ tọa độ

Bước 2: Tính cosin góc

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tính chiều dài kênh

Bước 2: Tính chi phí xây dựng

Bước 3: Tính lượng nước tưới

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Phân loại số dư

Bước 2: Viết xác suất tối giản

Bước 3: Tính tổng

Bước 3: Tìm $x$

Bước 3: Tính tổng modulo $5$

Bước $1$ : Lập bán kính thiết diện

Bước $2$ : Tìm giá trị lớn nhất