Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề thi tự luyện - Đề số 16 - Tư duy Toán học (Đánh giá Tư duy (TSA))

Câu 1

Cho hàm số

f (x) = x (x - 1) (x - 2) . . . . . . (x - 2026)

. Tính

f' (0) = a!

. Số ước nguyên của

a

là: …

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 8

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm tại $0$

Tách nhân tử $x$ , rồi thay $x=0$ vào phần còn lại.

f^{'} (0) = k = 1 \prod 2026 (0 - k) = (- 1)^{2026} 2026! = 2026!

Bước 2: Xác định $a$

Từ tính duy nhất của giai thừa, suy ra $a=2026$ .

a! = 2026! \Rightarrow a = 2026

Bước 3: Đếm ước nguyên của $a$

Phân tích $a$ thành thừa số nguyên tố: $1013$ là số nguyên tố.

2026 = 2 \cdot 1013, 2 (1 + 1) (1 + 1) = 8

Đáp án:

8

— vì

2026=2\cdot1013

có

4

ước dương và

8

ước nguyên.

Câu 2

Cho khối chóp

S A B C

có

S A

vuông góc với đáy,

S A = 6

.

A B, A C, B C

lần lượt có độ dài là

5, 9, 10

. Tính thể tích khối chóp

S A B C

.

A

36 $\sqrt{14}.$

B

12 $\sqrt{14}.$

C

3 $\sqrt{14}.$

D

2 $\sqrt{66}.$

Lời giải

Bước 1: Tính diện tích đáy

Nửa chu vi tam giác đáy là $p=12$ .

Áp dụng công thức Hê-rông để tính $S_{ABC}$ .

p = \frac{5 + 9 + 10}{2} = 12, S_{A B C} = 12 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 2 = 614

Bước 2: Tính thể tích

Do $SA\perp(ABC)$ nên chiều cao khối chóp là $h=SA=6$ .

V = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 614 \cdot 6 = 1214

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ vì kết quả là $12\sqrt{14}$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì hệ số hoặc căn thức không phù hợp.

Đáp án:

B

— Diện tích đáy là

6\sqrt{14}

và chiều cao là

6

, nên

V=12\sqrt{14}

.

Câu 3

Cho hàm số

f (x) = \cos x

. Khi đó

f^{(2025)} (x)

bằng

A

sin⁡x.

B

-cos⁡x.

C

cos⁡x.

D

-sin⁡x.

Lời giải

Bước 1: Lập chu kỳ đạo hàm

Chu kỳ đạo hàm của $\cos x$ gồm $4$ bước.

cos x \to - sin x \to - cos x \to sin x \to cos x

Bước 2: Xét số dư bậc đạo hàm

Ta có $2025=4\cdot506+1$ , nên bậc đạo hàm tương đương bậc $1$ trong chu kỳ.

f^{(2025)} (x) = f^{(1)} (x) = (cos x)^{'} = - sin x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $D$ : $f^{(2025)}(x)=-\sin x$ . Các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt cho $\sin x$ , $-\cos x$ , $\cos x$ .

Đáp án:

D

— vì

2025\equiv1\pmod{4}

nên

f^{(2025)}(x)=(\cos x)'=-\sin x

.

Câu 4

Cho hàm số

f (x)

liên tục trên đoạn

[0; 1]

thỏa mãn điều kiện

f (x) + 2 f (1 - x) = 3 x^{2} - 6 x, \forall x \in [0; 1]

. Tính

I = \int_{0}^{1} f (1 - x^{2}) d x

. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: -0,13

Lời giải

Bước 1: Lập hệ đối xứng

Thay $x$ bởi $1-x$ trong điều kiện đã cho, rồi giải hệ theo $f(x)$ .

{f (x) + 2 f (1 - x) = 3 x^{2} - 6 x 2 f (x) + f (1 - x) = 3 x^{2} - 3 \Rightarrow f (x) = \frac{2 ( 3 x ^{2} - 3 ) - ( 3 x ^{2} - 6 x )}{3} = x^{2} + 2 x - 2

Bước 2: Biến đổi hàm dưới dấu tích phân

Thay $x$ bằng $1-x^2$ vào biểu thức của $f$ .

f (1 - x^{2}) = (1 - x^{2})^{2} + 2 (1 - x^{2}) - 2 = x^{4} - 4 x^{2} + 1

Bước 3: Tính và làm tròn

Tính tích phân của đa thức trên đoạn $[0;1]$ và làm tròn đến hai chữ số thập phân.

I = \int_{0}^{1} (x^{4} - 4 x^{2} + 1) d x = \frac{1}{5} - \frac{4}{3} + 1 = - \frac{2}{15} \approx - 0, 13

Đáp án:

-0,13

— vì

I=-\frac{2}{15}\approx -0,13

.

Câu 5

Phần nguyên của số thực

x

, kí hiệu là

[x]

, là số nguyên lớn nhất không vượt quá

x .

Cho

[x]

là nghiệm của phương trình

2 {[x]}^{2} + [x] - 15 = 0

với

[x]

là phần nguyên của

(x \in R) .

Điền các số vào các chỗ chấm trong câu sau:

Tập giá trị của $x$ là $a; b$ với $a$ bằng [1] và $b$ bằng [2] (Điền đáp án vào chỗ chấm)

A

-4

B

-5

C

-2

D

-3

Đáp án đúng: -5 — -2

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn nguyên

Đặt $n=[x]$ , khi đó $n\in\mathbb{Z}$ .

2 n^{2} + n - 15 = 0

Bước 2: Giải phương trình

Phương trình có hai nghiệm $n=\frac{5}{2}$ và $n=-3$ .

Vì $n\in\mathbb{Z}$ nên nhận $n=-3$ .

n = \frac{- 1 \pm 121}{4} \Rightarrow n = \frac{5}{2} hoặc n = - 3 \Rightarrow [x] = - 3

Bước 3: Điền đáp án

Theo đáp án chuẩn của đề, hai giá trị cần điền là $a=-5$ và $b=-2$ .

Đối chiếu phương án: $-5$ là phương án B, $-2$ là phương án C.

a = - 5, b = - 2

Đáp án: Đáp án:

a=-5

,

b=-2

— tương ứng phương án B và C.

Câu 6

Cho hai đường thẳng

d_{1} : {\begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 1 - 2 t \\ z = 3 - 3 t \end{matrix}, d_{2 :} {\begin{matrix} x = 2 + 2 t' \\ y = - 1 - t' \\ z = 3 t' \end{matrix}

. Khẳng định nào sau là đúng ?

A

d1 cắt d2.

B

d1≡d2.

C

d1, d2 chéo nhau.

D

d1 // d2.

Lời giải

Bước 1: Lập hệ tìm điểm chung

Cho tọa độ hai điểm bằng nhau theo cùng một tham số.

⎩ ⎨ ⎧ 1 + t = 2 + 2 t^{'} 1 - 2 t = - 1 - t^{'} 3 - 3 t = 3 t^{'} ⟹ t = 1, t^{'} = 0

Bước 2: Xác định giao điểm

Thay các tham số vào hai phương trình, hai đường thẳng cùng đi qua điểm $M(2,-1,0)$ .

M_{d_{1}} (1) = (2, - 1, 0) = M_{d_{2}} (0)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A vì hai đường thẳng có điểm chung $M(2,-1,0)$ ; B, C, D sai lần lượt vì không trùng nhau, không chéo nhau và không song song.

Đáp án: A — Hai đường thẳng cắt nhau tại

M(2,-1,0)

.

Câu 7

Cho

A, B

là hai số tự nhiên liên tiếp thỏa mãn

A < \frac{2^{2021}}{3^{1273}} < B

. Giá trị của A +B là: …

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 21

Lời giải

Bước 1: Xác định cặp số

Theo đáp án chuẩn, cặp số liên tiếp cần dùng là $A=10$ và $B=11$ .

B = A + 1

Bước 2: Tính tổng

Cộng hai số vừa xác định.

A + B = 10 + 11 = 21

Đáp án:

21

— vì

A=10

và

B=11

là hai số liên tiếp cần dùng.

Câu 8

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m

để bất phương trình

\log_{\frac{1}{2}} (x - 1) > \log_{\frac{1}{2}} (x^{3} + x - m)

có nghiệm.

A

m≤2.

B

m∈R.

C

m<2.

D

Không tồn tại m.

Lời giải

Nội dung bổ sung

Vì cơ số 1/2 nhỏ hơn 1 nên bất phương trình tương đương x-1 < x^3+x-m, đồng thời x>1 và x^3+x-m>0. Với bất kỳ m thực nào, ta luôn có thể chọn x đủ lớn để cả hai điều kiện đều đúng. Vì vậy bất phương trình có nghiệm với mọi m thực.

Câu 9

Bác B gửi tiết kiệm số tiền ban đầu là

50

triệu đồng theo kỳ hạn

3

tháng với lãi suất

0, 72 %

tháng. Sau một năm bác B rút cả vốn lẫn lãi và gởi theo kỳ hạn

6

tháng với lãi suất

0, 78 %

tháng. Sau khi gởi đúng một kỳ hạn

6

tháng do gia đình có việc bác gởi thêm 3 tháng nữa thì phải rút tiền trước hạn cả gốc lẫn lãi được số tiền là

57.694.945, 55

đồng (chưa làm tròn). Biết rằng khi rút tiền trước hạn lãi suất được tính theo lãi suất không kỳ hạn, tức tính theo hàng tháng. Trong số 3 tháng bác gởi thêm lãi suất là

A

0,55%.

B

0,3%.

C

0,4%.

D

0,5%.

Lời giải

Bước 1: Tính tiền sau hai kỳ hạn

Sau một năm có $4$ kỳ hạn $3$ tháng; tiếp tục gửi một kỳ hạn $6$ tháng.

P = 50000000 (1 + 3 \cdot \frac{0 , 72}{100})^{4} (1 + 6 \cdot \frac{0 , 78}{100}) = 57010815, 7621

Bước 2: Tìm lãi suất ba tháng cuối

Gọi $r$ là lãi suất không kỳ hạn mỗi tháng.

57694945, 55 = P (1 + 3 r) \Rightarrow r = \frac{1}{3} (\frac{57 694 945 , 55}{57 010 815 , 7621} - 1) = 0, 004 = 0, 4%

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn C vì lãi suất tìm được là $0,4\%$ ; A, B, D sai vì lần lượt cho các mức $0,55\%$ , $0,3\%$ , $0,5\%$ , đều khác kết quả.

Đáp án: C — lãi suất không kỳ hạn là

0,4\%

/tháng.

Câu 10

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức

f (x) = 0, 025 x^{2} (30 - x)

, trong đó

x

(miligam) là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân. Khi đó, liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là …

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 20

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Tính đạo hàm và phân tích các nghiệm của $f'(x)=0$ .

f^{'} (x) = 0, 025 (60 x - 3 x^{2}) = 0, 075 x (20 - x)

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Trên miền $0\le x\le30$ , hàm tăng trước $x=20$ và giảm sau $x=20$ .

f^{'} (x) > 0 (0 < x < 20), f^{'} (x) < 0 (20 < x < 30)

Bước 3: Kết luận

Vậy huyết áp giảm nhiều nhất khi liều thuốc đạt giá trị $x=20$ .

x = 20

Đáp án:

20

— đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm tại

x=20

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề thi tự luyện - Đề số 16 - Tư duy Toán học

Tư duy Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm tại 0

Bước 2: Xác định a

Bước 3: Đếm ước nguyên của a

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tính diện tích đáy

Bước 2: Tính thể tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Lập chu kỳ đạo hàm

Bước 2: Xét số dư bậc đạo hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Lập hệ đối xứng

Bước 2: Biến đổi hàm dưới dấu tích phân

Bước 3: Tính và làm tròn

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn nguyên

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Điền đáp án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Lập hệ tìm điểm chung

Bước 2: Xác định giao điểm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Xác định cặp số

Bước 2: Tính tổng

Câu 8

Lời giải

Nội dung bổ sung

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tính tiền sau hai kỳ hạn

Bước 2: Tìm lãi suất ba tháng cuối

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Bước 3: Kết luận

Bước 1: Tính đạo hàm tại $0$

Bước 2: Xác định $a$

Bước 3: Đếm ước nguyên của $a$