Đáp án & lời giải chi tiết: Đề thi tự luyện - Đề số 15 - Tư duy Toán học

Bước 1: Xét các giá trị nhỏ của $b$

Với $b=1$ hoặc $b=2$, bất phương trình không cho đủ $3$ giá trị nguyên dương của $a$.

Với $b=3$, kiểm tra trực tiếp được $a=1,2,3$ thỏa mãn.

Bước 2: Loại các giá trị $b$ còn lại

Khi $b\ge 4$, điều kiện tăng theo $b$ làm xuất hiện thêm hoặc mất số nghiệm, không còn đúng đúng $3$ giá trị $a$.

Do đó chỉ có một giá trị $b$ thỏa mãn yêu cầu.

Bước 1: Dùng chu vi

Gọi ba cạnh lần lượt là $a$, $a+d$, $a+2d$.

Bước 2: Dùng định lý Pythagore

Cạnh huyền là $a+2d$, nên áp dụng định lý Pythagore.

Bước 3: Tính diện tích

Hai cạnh góc vuông là $3$ và $4$.

Bước $1$: Tìm độ lệch năm

Đặt $k$ là số năm sau $1010$. Đánh số từ $0$: Bính, Tuất lần lượt ở vị trí $2,10$; Nhâm, Ngọ ở vị trí $8,6$.

Bước $2$: Đếm các năm

Năm Nhâm Ngọ đầu tiên là $1066$; các năm tiếp theo cách nhau $60$ năm.

Bước 1: Xét các phân thức

Phương án $B$ có bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu nên giới hạn bằng $0$.

Ở phương án $C$, bậc tử là $1$, bậc mẫu là $2$.

Bước 2: Xét biểu thức lượng giác

Dùng $|\sin n|\le 1$; mẫu của phương án $D$ tăng vô hạn khi $n\to +\infty$.

Theo định lý kẹp, giới hạn của phương án $D$ bằng $0$.

Bước n: Đối chiếu phương án

Các phương án có giới hạn bằng $0$ là $B$, $C$, $D$.

Phương án $A$ sai vì bậc tử lớn hơn bậc mẫu nên giới hạn không bằng $0$.

Bước 1: Viết số hạng tổng quát

Chọn $k$ thừa số $3yx$ trong khai triển.

Bước 2: Thay chỉ số cần xét

Theo điều kiện, lấy $k=7$; hệ số cần tìm là tích của ${\mathrm{C}}_{14}^7$ và $3^7$.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$. Các phương án $A$, $C$, $D$ sai vì lần lượt thiếu hệ số $3^7$, dùng sai lũy thừa của $3$, và dùng sai số mũ $14$.

Bước 1: Tính giá trị tại điểm ghép

Vì $-2\le -2$, dùng nhánh $3x-5$ để tính $f(-2)$.

Bước 2: Tính giới hạn phải

Khi $x>-2$, dùng nhánh $ax-1$.

Bước 3: Áp dụng điều kiện liên tục

Điều kiện liên tục tại $x=-2$ là giới hạn phải bằng $f(-2)$.

Bước 1: Tìm chữ số $b$

Hai chữ số cuối là $1b$, nên $10+b$ chia hết cho $4$.

Bước 2: Tìm chữ số $a$

Tổng chữ số là $6+a+b$, phải chia hết cho $3$; đồng thời $a>3$ và $a\ne b$.

Bước 3: Liệt kê và đếm cặp

Các số thỏa mãn là $5412$, $5712$, $5916$. Chọn hai số cho Hoàng và Anh, số lớn gán cho Hoàng.

Bước 4: Tính tổng cần tìm

Số nhỏ nhất là $5412$, số lớn nhất là $5916$.

Bước 1: Đếm số cách xếp

Tổng số cách xếp $12$ học sinh là $12!$.

Xếp nữ trước, chọn $4$ trong $9$ khe cho nam.

Bước 2: Tính và làm tròn

Lập tỉ số số cách thuận lợi trên tổng số cách rồi làm tròn đến hàng phần trăm.

Bước $1$: Chia các kiểu hành trình

Xét lượt đi và lượt về đều có hai kiểu: trực tiếp hoặc qua $B$.

Đếm riêng bốn trường hợp để tránh bỏ sót.

Bước $2$: Tính từng trường hợp

Trực tiếp–trực tiếp có $2\cdot 1$ cách; trực tiếp–qua $B$ và qua $B$–trực tiếp đều có $2\cdot 2\cdot 2$ cách.

Qua $B$ cả hai lượt có $(2\cdot 2)\cdot (1\cdot 1)$ cách vì mỗi đường đã dùng không được lặp lại.

Bước $3$: Đối chiếu phương án

Kết quả là $22$ cách.

Chọn phương án tương ứng.