Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề thi tự luyện - Đề số 13 - Tư duy Toán học (Đánh giá Tư duy (TSA))

Câu 1

Một bảng vuông gồm

100 \times 100

ô vuông đơn vị. Chọn ngẫu nhiên một hình chữ nhật trong bảng. Tính xác suất để hình được chọn là hình vuông kích thước

20 \times 20

, tính theo đơn vị phần nghìn (

‰

).

Hình minh họa

A

0.26‰

B

0.30‰

C

0.25‰

D

0.20‰

Lời giải

Bước 1: Đếm tổng số hình chữ nhật

Bảng có $101$ đường ngang và $101$ đường dọc; chọn $2$ đường mỗi loại.

\mathrm{C}_{101}^{2}^2=5050^2=25502500

Bước 2: Đếm hình vuông cần chọn

Cạnh hình vuông dài $20$ ô nên mỗi chiều có $100-20+1=81$ vị trí.

N = 8 1^{2} = 6561

Bước 3: Tính xác suất và đối chiếu phương án

Xác suất theo phần nghìn là $\frac{6561}{25502500}\times1000\approx0.25725\,\text{‰}\approx0.26\,\text{‰}$ .

$A$ đúng; $B$ , $C$ , $D$ sai vì các giá trị lần lượt không bằng kết quả tính được.

\frac{6561}{25502500} \times 1000 \approx 0.26 ‰

Đáp án:

A

— xác suất chọn được hình vuông

20\times20

xấp xỉ

0.26\,\text{‰}

.

Câu 2

Cho hàm số

g (x) = e^{x} - 2 x

và biểu thức

$Q = x g^{'} (x) - g (x) - g^{'} (0)$ . Xét các phát biểu sau và xác định đúng hay sai:

A

Giá trị của biểu thức Q tại x=0 là -1.

B

Số nghiệm nguyên thuộc đoạn [-2;3] của Q>0 là 3.

C

Số nghiệm thực của phương trình Q=1 là 2.

Câu này chưa có lời giải.

Câu 3

Con mèo leo cầu thang với các bước leo lên 1 bậc hoặc 2 bậc mỗi lần. Hãy trả lời các câu hỏi dưới đây bằng cách kéo thả đáp án đúng vào các vị trí phù hợp.

Có bao nhiêu cách để con mèo leo hết 10 bậc cầu thang là: [1]

Xác suất để mèo leo từ bậc 9 lên bậc 10 là: [2]

Xác suất để mèo leo từ 8 lên 10 là: [3]

A

64/98

B

45/98

C

55/89

D

34/89

E

89

F

98

Đáp án đúng: 89 — 55/89 — 34/89

Lời giải

Bước 1: Tính số cách leo

Gọi $a_n$ là số cách leo hết $n$ bậc; bước cuối cho truy hồi $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ .

a_{0} = 1, a_{1} = 1, a_{10} = 89

Bước 2: Tính xác suất lên bậc $10$ từ $9$

Muốn đi từ bậc $9$ lên bậc $10$ , bước cuối dài $1$ bậc; số cách tương ứng là $a_9$ .

P_{1} = \frac{a _{9}}{a _{10}} = \frac{55}{89}

Bước 3: Tính xác suất từ $8$ lên $10$

Muốn đi từ bậc $8$ lên bậc $10$ , bước cuối dài $2$ bậc; số cách tương ứng là $a_8$ .

P_{2} = \frac{a _{8}}{a _{10}} = \frac{34}{89}

Đối chiếu đáp án

Ba kết quả lần lượt là $89$ , $\frac{55}{89}$ , $\frac{34}{89}$ , tương ứng các vị trí E, C, D.

Đáp án: E, C, D — lần lượt là

89

,

\frac{55}{89}

và

\frac{34}{89}

theo truy hồi số cách.

Câu 4

Tìm số nguyên dương

n

nhỏ nhất sao cho biểu thức:

n^{3} + 2 n^{2} + 3 n + 4

, chia hết cho 7.

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 4

Lời giải

Bước 1: Lập biểu thức cần xét

Đặt $P(n)=n^3+2n^2+3n+4$ và xét phần dư khi chia cho $7$ .

P (n) = n^{3} + 2 n^{2} + 3 n + 4

Bước 2: Kiểm tra lần lượt

Tính phần dư của các giá trị dương đầu tiên.

n P (n) mod 7 13253240

Bước 3: Chọn giá trị nhỏ nhất

Các giá trị trước $4$ đều cho phần dư khác $0$ ; tại $n=4$ , biểu thức chia hết cho $7$ .

P (4) = 4^{3} + 2 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 4 = 112 = 7 \cdot 16

Đáp án:

4

— đây là giá trị dương nhỏ nhất làm biểu thức có phần dư

0

khi chia cho

7

.

Câu 5

Cho hàm số:

f (x) = e^{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}}}

. Biết rằng:

$M = \prod_{k = 1}^{2025} f (k) = e^{\frac{a}{b}}$

với $a, b$ là các số tự nhiên và $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính giá trị của $\frac{a + 1}{b^{2}}$ .

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 1

Lời giải

Bước 1: Đưa tích về tổng số mũ

Số mũ của $M$ là tổng các số mũ trong từng thừa số.

ln M = k = 1 \sum 2025 (\frac{1}{k ^{2}} - \frac{1}{( k + 1 ) ^{2}})

Bước 2: Triệt tiêu tổng

Các hạng tử ở giữa triệt tiêu từng đôi.

ln M = 1 - \frac{1}{202 6 ^{2}} = \frac{202 6 ^{2} - 1}{202 6 ^{2}}

Bước 3: Tính biểu thức cần tìm

Suy ra $a=2026^2-1$ , $b=2026$ ; phân số đã tối giản.

\frac{a + 1}{b ^{2}} = \frac{202 6 ^{2}}{202 6 ^{2}} = 1

Đáp án:

1

— vì

\frac{a+1}{b^2}=\frac{2026^2}{2026^2}=1

.

Câu 6

Cho tập hợp

S = {1, 2, 3, \dots, 100}

. Hỏi có bao nhiêu bộ số

(x, y, z)

thỏa mãn

x < y < z

và

x + y + z = 150

.

A

1225

B

1786

C

1882

D

1834

Lời giải

Nội dung bổ sung

Cần đếm các bộ x<y<z, x+y+z=150 với x,y,z thuộc từ 1 đến 100. Đếm trực tiếp theo x,y và z=150-x-y cho tổng cộng 1225 bộ. Không phương án nào bằng 1225 nên đáp án A=1813 không thể đúng.

Câu 7

Một nạn nhân được phát hiện đã chết tại hiện trường. Bác sĩ pháp y đến lúc 3:00 chiều và đo nhiệt độ cơ thể nạn nhân là $33.6^\circ C$ . Sau đó, bác sĩ đo lại nhiệt độ vào lúc 4:00 chiều và thấy nhiệt độ là $32.8^∘C$ . Nhiệt độ phòng đo được là $21.1^∘C$ . Giả sử nhiệt độ cơ thể bình thường lúc xảy ra vụ án là 37∘C.

Sử dụng phương trình: T(t)= $a.e^{-kt}$ +C

trong đó: T(t): Nhiệt độ cơ thể tại thời điểm t (giờ).

C= $21.1^∘C$ : Nhiệt độ môi trường xung quanh.

a: Hằng số được xác định khi t=0.

k: Hằng số làm lạnh.

t: Số giờ từ khi vụ án xảy ra.

Hỏi vụ án xảy ra gần thời điểm nào?

A

10:00

B

11:15

C

13:30

D

7:45

Lời giải

Bước 1: Tính hằng số làm lạnh

Độ lệch nhiệt độ ở hai lần đo là $12.5^\circ\text{C}$ và $11.7^\circ\text{C}$ .

e^{- k} = \frac{32.8 - 21.1}{33.6 - 21.1} = \frac{11.7}{12.5} \Rightarrow k = ln \frac{12.5}{11.7} \approx 0.066

Bước 2: Tính thời gian từ khi xảy ra vụ án

Lấy mốc $t=0$ là lúc vụ án xảy ra, lần đo đầu tiên cách thời điểm đó một khoảng $t$ .

t = \frac{1}{k} ln \frac{37 - 21.1}{33.6 - 21.1} = \frac{1}{0.066} ln \frac{15.9}{12.5} \approx 3.75 giờ

Bước 3: Đổi ra thời điểm

Lần đo đầu tiên lúc $15{:}00$ , lùi khoảng $3$ giờ $45$ phút.

15 : 00 - 3 giờ 45 ph \overset{u}{ˊ} t = 11 : 15

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn $\text{B. }11{:}15$ . Các phương án A, C, D sai vì lần lượt không phù hợp với thời gian làm lạnh tính từ hai số đo nhiệt độ.

Đáp án: B — Vụ án xảy ra khoảng

3

giờ

45

phút trước

15{:}00

, tức

11{:}15

.

Câu 8

Một công ty bảo hiểm sử dụng hai cách kiểm tra để xác định xem một người có đủ điều kiện nhận bồi thường hay không. Xác suất một người bất kỳ trong danh sách khách hàng thuộc đối tượng đủ điều kiện nhận bồi thường là 20%. Hai kiểm tra độc lập được thực hiện với kết quả như sau:

Nếu một người thuộc đối tượng đủ điều kiện, xác suất cả hai kiểm tra đều cho kết quả dương tính là 90%.

Nếu một người không thuộc đối tượng đủ điều kiện, xác suất cả hai kiểm tra đều cho kết quả dương tính là 5%.

Một người được kiểm tra và cả hai lần đều cho kết quả dương tính. Tính xác suất để người đó thực sự đủ điều kiện nhận bồi thường.

A

0,15

B

0,45

C

0,818

D

0,95

Lời giải

Bước 1: Đặt biến cố

Gọi $E$ là biến cố người đó đủ điều kiện và $D$ là biến cố cả hai kiểm tra dương tính.

Khi đó $P(\overline{E})=1-0,2=0,8$ .

P (\overline{E}) = 1 - P (E) = 1 - 0, 2 = 0, 8

Bước 2: Áp dụng Bayes

Thay các dữ kiện vào công thức Bayes để tính xác suất người đó thực sự đủ điều kiện.

P (E ∣ D) = \frac{0 , 2 \cdot 0 , 9}{0 , 2 \cdot 0 , 9 + 0 , 8 \cdot 0 , 05} = \frac{0 , 18}{0 , 22} \approx 0, 818

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $\text{C}.\ 0,818$ .

A, B, D sai vì lần lượt không áp dụng đúng công thức Bayes, tính sai tỉ số hậu nghiệm và nhầm xác suất điều kiện.

Đáp án: C — Vì

P(E|D)=\frac{0,18}{0,22}\approx 0,818

.

Câu 9

Câu hỏi:

Tổng số cách chọn 4 điểm từ 36 điểm là bao nhiêu? [[____]]

Số hình chữ nhật có các cạnh song song với cạnh của lưới là bao nhiêu? [[____]]

Hình minh họa

Đáp án đúng: 58905; 225

Lời giải

Bước thứ nhất: Chọn điểm

Chọn $4$ điểm trong $36$ điểm, không xét thứ tự.

C_{36}^{4} = \frac{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 58905

Bước thứ hai: Đếm hình chữ nhật

Lưới có $6$ đường dọc và $6$ đường ngang qua các điểm.

Mỗi hình chữ nhật được xác định bởi $2$ đường dọc và $2$ đường ngang.

C_{6}^{2} C_{6}^{2} = 15 \cdot 15 = 225

Đáp án:

58905; 225

— lần lượt là số cách chọn điểm và số hình chữ nhật.

Câu 10

Một người đàn ông đi bộ dọc theo một con đường thẳng với tốc độ 1.2 m/s. Một đèn pha được đặt trên mặt đất cách con đường 15 m và luôn chiếu sáng theo người đàn ông.

Tốc độ quay của đèn pha là bao nhiêu khi người đàn ông cách điểm trên con đường gần nhất với đèn pha 4.5 m?

Hình minh họa

A

0.052rad/s

B

0.066rad/s

C

0.073rad/s

D

0.082rad/s

Lời giải

Bước 1: Lập hệ thức góc

Gọi $x$ là khoảng cách người đàn ông đến điểm gần đèn nhất, $\theta$ là góc quay của đèn.

tan θ = \frac{x}{15}

Bước 2: Lấy đạo hàm

Đạo hàm hai vế theo thời gian, với $\frac{dx}{dt}=1.2$ .

sec^{2} θ \frac{d θ}{d t} = \frac{1}{15} \frac{d x}{d t}, \frac{d θ}{d t} = \frac{15}{1 5 ^{2} + x ^{2}} \frac{d x}{d t}

Bước 3: Thay số

Tại $x=4.5\,\text{m}$ , tốc độ quay là:

\frac{d θ}{d t} = \frac{15 \cdot 1.2}{1 5 ^{2} + 4. 5 ^{2}} = \frac{18}{245.25} \approx 0.073 rad/s

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án C: $0.073\,\text{rad/s}$ . A, B, D sai vì lần lượt cho các giá trị số không đúng với công thức tốc độ góc.

Đáp án: C — Tốc độ quay của đèn pha là

0.073\,\text{rad/s}

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề thi tự luyện - Đề số 13 - Tư duy Toán học

Tư duy Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Đếm tổng số hình chữ nhật

Bước 2: Đếm hình vuông cần chọn

Bước 3: Tính xác suất và đối chiếu phương án

Câu 2

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tính số cách leo

Bước 2: Tính xác suất lên bậc 10 từ 9

Bước 3: Tính xác suất từ 8 lên 10

Đối chiếu đáp án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Lập biểu thức cần xét

Bước 2: Kiểm tra lần lượt

Bước 3: Chọn giá trị nhỏ nhất

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Đưa tích về tổng số mũ

Bước 2: Triệt tiêu tổng

Bước 3: Tính biểu thức cần tìm

Câu 6

Lời giải

Nội dung bổ sung

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tính hằng số làm lạnh

Bước 2: Tính thời gian từ khi xảy ra vụ án

Bước 3: Đổi ra thời điểm

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Đặt biến cố

Bước 2: Áp dụng Bayes

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước thứ nhất: Chọn điểm

Bước thứ hai: Đếm hình chữ nhật

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Lập hệ thức góc

Bước 2: Lấy đạo hàm

Bước 3: Thay số

Bước 4: Đối chiếu phương án

Bước 2: Tính xác suất lên bậc $10$ từ $9$

Bước 3: Tính xác suất từ $8$ lên $10$