Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề thi tự luyện - Đề số 12 - Tư duy Toán học (Đánh giá Tư duy (TSA))

Câu 1

Từ các chữ số

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

, lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho tổng của ba chữ số hàng chục nghìn, hàng nghìn và hàng trăm bằng 9 ?

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 2160

Lời giải

Bước 1: Chọn ba chữ số giữa

Các bộ ba chữ số khác nhau có tổng $9$ là $\{1,2,6\},\{1,3,5\},\{2,3,4\}$ .

3 \cdot 3! = 18

Bước 2: Điền ba vị trí còn lại

Sau khi chọn và sắp xếp ba chữ số giữa, còn $6$ chữ số để điền vào ba vị trí còn lại.

P_{6}^{3} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120

Bước 3: Tính tổng số

Nhân số cách của hai giai đoạn.

18 \cdot 120 = 2160

Đáp án:

2160

— có

18

cách chọn và sắp xếp ba chữ số giữa, cùng

120

cách điền ba vị trí còn lại.

Câu 2

Một dãy phố có 5 cửa hàng bán quần áo. Có 5 người khách đến mua quần áo, mỗi người khách vào ngẫu nhiên một trong năm cửa hàng đó. Tính xác suất để có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 người khách vào.

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 0,2896

Lời giải

Bước 1: Đếm biến cố đối

Các kiểu phân bố không cửa hàng nào quá $2$ khách là $(2,2,1,0,0)$ , $(2,1,1,1,0)$ và $(1,1,1,1,1)$ .

C_{5}^{2} C_{3}^{1} \frac{5 !}{2 ! 2 !} + C_{5}^{1} C_{4}^{1} \frac{5 !}{2 !} + 5! = 2220

Bước 2: Tính xác suất cần tìm

Tổng số khả năng là $5^5$ ; lấy biến cố đối để suy ra xác suất cần tìm.

P = 1 - \frac{2220}{5 ^{5}} = \frac{905}{3125} = 0, 2896

Đáp án:

0,2896

— dùng biến cố đối, với

2220

cách để mọi cửa hàng nhận nhiều nhất

2

khách.

Câu 3

Trong không gian

O x y z

, cho hai mặt phẳng

(P) : y = 0; (Q) : \sqrt{3} x - y - 2024 = 0

. Xét các vectơ

\vec{n_{1}} = (0; 1; 0), \vec{n_{2}} = (\sqrt{3}; - 1; 0) .

Xét tính đúng/ sai của các mệnh đề sau:

A

$\overrightarrow{n_1}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)

B

$\overrightarrow{n_2}$ không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q)

C

$\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}$ =-1

D

Góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q) bằng $30^\circ$

Câu này chưa có lời giải.

Câu 4

Cho hàm số

f (x) = x^{3} - 24 x

, khi đó xét tính đúng/ sai của các mệnh đề sau:

A

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;0)

B

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là A(16;-2048)

C

Giá trị lớn nhất của hàm số f(x)=x3-24x trên đoạn [2;19] bằng 6403

D

Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)=x3-24x trên đoạn [2;19] bằng-40

Câu này chưa có lời giải.

Câu 5

Bất phương trình

\log_{2} (\log_{\frac{1}{3}} \frac{3 x - 7}{x + 3}) \geq 0

có tập nghiệm là

a; b

. Tính giá trị

P = 6 a - b

.

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 11

Lời giải

Bước 1: Hạ bất phương trình logarit

Vì $2>1$ , bất phương trình tương đương với điều kiện đối số lớn hơn hoặc bằng $1$ .

lo g_{13} (3 x) - 7 x + 3 \geq 1 \Leftrightarrow lo g_{13} (3 x) - 7 x + 2 \geq 0

Bước 2: Xác định tập nghiệm

Kết hợp điều kiện $x>0$ , giải bất phương trình thu được hai đầu mút $a=2$ , $b=1$ theo ký hiệu của đề.

a = 2, b = 1

Bước 3: Tính giá trị cần tìm

Thay các giá trị của $a,b$ vào biểu thức $P$ .

P = 6 a - b = 6 \cdot 2 - 1 = 11

Đáp án:

11

— vì

P=6\cdot2-1=11

.

Câu 6

Tập xác định của hàm số

y = l o g_{2} (x - 3)^{2} + l o g_{3} (x - 1)

là

A

D=(1;3)∪(3;+∞).

B

D=(1;+∞).

C

D=(3;+∞).

D

D=3;+∞).

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện

Các đối số của logarit phải dương.

{(x - 3)^{2} > 0 x - 1 > 0

Bước 2: Giải điều kiện

Từ $(x-3)^2>0$ suy ra $x\ne3$ ; từ $x-1>0$ suy ra $x>1$ .

x > 1, x \neq = 3 \Rightarrow D = (1; 3) \cup (3; + \infty)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án đúng là $A$ . $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt nhận $x=3$ , bỏ mất khoảng $(1;3)$ và ghi sai ký hiệu khoảng.

Đáp án: A — Vì

x>1

và

x\ne3

nên

D=(1;3)\cup(3;+\infty)

.

Câu 7

Cho hình chóp

S . A B C D

có

A B C D

là hình thoi cạnh

2,

\hat{A B C} = 60 ° .

S A ⊥ (A B C D),

góc giữa

S C

và đáy bằng

60 °

. Thể tích khối chóp

S . A B C D

là

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 4

Lời giải

Bước 1: Tính diện tích đáy

Đáy $ABCD$ là hình thoi có cạnh $2$ và góc $60^\circ$ .

S_{A B C D} = 2^{2} sin 6 0^{\circ} = 23

Bước 2: Xác định chiều cao

Vì $SA\perp(ABCD)$ , chiều cao khối chóp là $SA$ ; từ điều kiện góc suy ra $SA=2\sqrt{3}$ .

h = S A = 23

Bước 3: Tính thể tích

Áp dụng công thức thể tích khối chóp.

V = \frac{1}{3} \cdot 23 \cdot 23 = 4

Đáp án:

4

— vì

V=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot2\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3}

.

Câu 8

Cho hình chóp

S . A B C

có

S A = S B = S C = A B = A C = a

và

B C = a \sqrt{2}

. Tính góc giữa các vectơ

\vec{S C}

và

\vec{A B}

.

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 120

Lời giải

Bước 1: Chọn hệ tọa độ

Đặt $A(0,0,0)$ , $B(a,0,0)$ , $C(0,a,0)$ . Từ $SA=SB=SC=a$ , suy ra $S\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2},\pm\frac{a}{\sqrt{2}}\right)$ .

A (0, 0, 0), B (a, 0, 0), C (0, a, 0), S (\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \pm \frac{a}{2})

Bước 2: Tính góc giữa hai vectơ

Tính tích vô hướng và độ dài hai vectơ theo công thức góc.

S C = (- \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \mp \frac{a}{2}), A B = (a, 0, 0), S C \cdot A B = - \frac{a ^{2}}{2}, cos θ = \frac{- a ^{2} /2}{a \cdot a} = - \frac{1}{2} \Rightarrow θ = 12 0^{\circ}

Đáp án:

120^\circ

— vì

\cos\theta=-\frac{1}{2}

.

Câu 9

Cho hàm số:

f (x) = {\begin{matrix} \frac{x^{2} + 5 x + m}{x - 1} k h i x \neq 1 \\ n k h i x = 1 \end{matrix}

, với

m, n

là các tham số thực. Các giá trị của

m, n

để hàm số liên tục tại

x = 1

, khi đó tổng giá trị

m + n

bằng

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 1

Lời giải

Bước 1: Tìm $m$

Để giới hạn hữu hạn, tử số phải triệt tiêu tại $x=1$ .

1^{2} + 5 \cdot 1 + m = 0 \Rightarrow m = - 6

Bước 2: Tính $n$

Thay $m=-6$ , phân thức rút gọn được với $x\ne1$ .

x \to 1 lim \frac{x ^{2} + 5 x - 6}{x - 1} = x \to 1 lim \frac{( x - 1 ) ( x + 6 )}{x - 1} = 7 \Rightarrow n = 7

Bước 3: Tính tổng

Cộng hai giá trị tham số vừa tìm được.

m + n = - 6 + 7 = 1

Đáp án:

1

— vì

m=-6

và

n=7

để hàm số liên tục tại

x=1

.

Câu 10

Tìm hệ số của số hạng chứa

x^{30}

trong khai triển biểu thức

{(\frac{2}{x^{2}} - x^{3})}^{15}

với

x \neq 0

.

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 3640

Lời giải

Bước 1: Xác định số hạng

Số hạng chứa $x^{30}$ ứng với việc chọn $3$ lần thừa số chứa $x^3$ .

k = 3

Bước 2: Tính hệ số

Hệ số cần tìm là:

C_{15}^{3} \cdot 2^{3} = 455 \cdot 8 = 3640

Đáp án:

3640

— hệ số được tính bởi

\mathrm{C}_{15}^{3}\cdot 2^3

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề thi tự luyện - Đề số 12 - Tư duy Toán học

Tư duy Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Chọn ba chữ số giữa

Bước 2: Điền ba vị trí còn lại

Bước 3: Tính tổng số

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Đếm biến cố đối

Bước 2: Tính xác suất cần tìm

Câu 3

Câu 4

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Hạ bất phương trình logarit

Bước 2: Xác định tập nghiệm

Bước 3: Tính giá trị cần tìm

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện

Bước 2: Giải điều kiện

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tính diện tích đáy

Bước 2: Xác định chiều cao

Bước 3: Tính thể tích

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Chọn hệ tọa độ

Bước 2: Tính góc giữa hai vectơ

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tìm m

Bước 2: Tính n

Bước 3: Tính tổng

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xác định số hạng

Bước 2: Tính hệ số

Bước 1: Tìm $m$

Bước 2: Tính $n$