Đáp án & lời giải chi tiết: Đề thi tự luyện - Đề số 11 - Tư duy Toán học

Bước $1$: Tính khoảng cách từ tâm đến điểm ngoài

Tâm mặt cầu là $I(1;0;4)$, bán kính $R=3$.

Bước $2$: Tính bán kính đường tròn tiếp điểm

Với $M$ là tiếp điểm, tam giác $AIM$ vuông tại $M$.

Bước $3$: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$, ứng với $\frac{3\sqrt{2}}{2}$; $A$, $C$, $D$ sai vì lần lượt thiếu $\sqrt{2}$, thay nhầm $\sqrt{3}$ và tính sai bán kính.

Bước 1: Lập hệ tìm $b,c$

Do $BE\perp AC$ và $CF\perp AB$, ta lập hai tích vô hướng bằng $0$.

Bước 2: Tìm hoành độ điểm chiếu

Gọi $A=(x_A;y_A;0)$. Vì $A\in CE$ và $A\in BF$, tọa độ $A$ là giao điểm của hai đường thẳng đó.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Hình chiếu cần tìm là $H\left(\frac{8}{3};0;0\right)$, tương ứng phương án $A$.

B, C, D sai vì lần lượt cho các tọa độ $(53;0;0)$, $(72;0;0)$ và $(2;0;0)$, khác $\frac{8}{3}$.

Bước 1: Đọc các mức cực trị

Từ đồ thị, hàm $f(x)$ có giá trị cực đại $1$ và cực tiểu $-3$.

Bước 2: Lập điều kiện theo đồ thị

Đặt $g(x)=f(x)+m$. Để $|g(x)|$ có ba cực trị, mức $-m$ phải nằm ngoài hoặc trùng hai mức cực trị của $f$.

Bước 3: Giải bất phương trình

Đổi dấu khi nhân cả hai vế với $-1$, rồi hợp hai miền nghiệm.

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn A: $m\le -1$ hoặc $m\ge 3$. B, C, D sai vì lần lượt nhầm mốc thành $-3,1$, chỉ lấy trường hợp biên, và chọn khoảng trong thay vì hai miền ngoài.

Bước 1: Xác định đáy và chiều cao

Bốn tâm mặt bên tạo thành hình vuông cạnh $d=\frac{a}{\sqrt{2}}$; chiều cao mỗi chóp là $h=\frac{a}{2}$.

Bước 2: Tính thể tích

Khối tám mặt gồm hai chóp có chung đáy là hình vuông.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B: $V=\frac{a^3}{6}$; A, C, D sai vì lần lượt cho các hệ số $\frac{1}{8}$, $\frac{1}{4}$ và $\frac{1}{12}$, không bằng $\frac{1}{6}$.

Bước 1: Lập tỉ lệ độ hạ

Vì $AD\perp AB$ và $BC\perp AB$, độ hạ tăng từ $B$ đến $C$ tương ứng với độ hạ từ $A$ đến $D$.

Bước 2: Tính giá trị

Đổi ra đơn vị xentimét để kết luận.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án B vì kết quả là $17,2\text{cm}$; các phương án A, C, D sai vì lần lượt không bằng giá trị tính được.

Bước 1: Xét từng cặp tổ

Với tổ I và II, số cách là $3\cdot 5+7\cdot 5=50$.

Với tổ I và III, số cách là $3\cdot 4+7\cdot 6=54$; với tổ II và III là $5\cdot 4+5\cdot 6=50$.

Bước 2: Cộng các trường hợp

Ba cặp tổ trên loại trừ nhau nên cộng số cách lại.

Bước 1: Đưa về phương trình bậc hai

Với $\cos x\ne 0$, chia phương trình theo công thức lượng giác của $\sin 2x,\cos 2x$ và đặt $t=\tan x$.

Bước 2: Xét điều kiện nghiệm

Biệt thức của phương trình theo $t$ là bình phương hoàn chỉnh; kết hợp các điểm đặc biệt $x=\pm \frac{\pi }{2}$, điều kiện để có đúng hai nghiệm thuộc $(-\pi ;\pi )$ quy về khoảng giá trị nguyên tương ứng.

Bước 3: Đếm giá trị nguyên

Các giá trị nguyên thỏa mãn là $m\in \{-1,0,1,2\}$.

Bước 1: Nhận dạng bậc

Tử và mẫu đều là đa thức bậc $1$, nên dùng tỉ số hệ số cao nhất.

Bước 2: Xác định tiệm cận

Giới hạn của hàm số khi $x\to \pm \infty$ bằng $1$.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B vì tiệm cận ngang là $y=1$; A, C, D sai vì lần lượt có tung độ sai, là tiệm cận đứng, và không phải tiệm cận của đồ thị.