Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề thi tự luyện - Đề số 09 - Tư duy Toán học (Đánh giá Tư duy (TSA))

Câu 1

Tính giá trị biểu thức:

T= $sin^2⁡1^o$ + $sin^2⁡2^o+sin^2⁡3^o+…+sin^2⁡90^0$

Đáp án: [1]

Đáp án đúng: 45,5

Lời giải

Bước 1: Ghép cặp đối xứng

Ghép $k^\circ$ với $(90-k)^\circ$ trong các góc từ $1^\circ$ đến $89^\circ$ .

Mỗi cặp có tổng bằng $1$ .

sin^{2} k^{\circ} + sin^{2} (9 0^{\circ} - k^{\circ}) = sin^{2} k^{\circ} + cos^{2} k^{\circ} = 1

Bước 2: Cộng các phần còn lại

Có $44$ cặp; còn góc $45^\circ$ và $90^\circ$ .

T = 44 \cdot 1 + sin^{2} 4 5^{\circ} + sin^{2} 9 0^{\circ} = 44 + \frac{1}{2} + 1 = 45, 5

Đáp án: Kết quả là

45{,}5

— nhờ

44

cặp đối xứng, cùng

\sin^2 45^\circ=\frac{1}{2}

và

\sin^2 90^\circ=1

.

Câu 2

Cho hàm số

y = \frac{a x^{2} + b x + c}{d x + e} (a, b, c, d, e \in R)

có đồ thị như hình vẽ dưới.

Nhận định nào sau đây là đúng:

Hình minh họa

A

ad>0.

B

de<0.

C

ac>0.

D

bd>0.

Lời giải

Bước 1: Đọc dấu hệ số

Từ đồ thị, xác định được $a$ và $c$ cùng dấu; $d$ trái dấu với $a$ ; $e$ cùng dấu với $d$ ; $b$ cùng dấu với $a$ .

sgn (a) = sgn (c), sgn (a) = - sgn (d), sgn (d) = sgn (e), sgn (b) = sgn (a)

Bước 2: Xét các tích

Suy ra các dấu của tích hệ số là:

a c > 0, a d < 0, d e > 0, b d < 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $C$ . Các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt có $ad<0$ , $de>0$ và $bd<0$ .

Đáp án:

C

— vì

ac>0

, tức

a

và

c

cùng dấu.

Câu 3

Cho tam giác ABC có các góc

α, β, γ,

mệnh đề nào sau đây đúng?

A

sin⁡((α-β-γ)/2)=cos⁡α

B

sin⁡((α-β-γ)/2)=-cos⁡α

C

sin⁡((α-β-γ)/2)=sin⁡2γ

D

cos⁡((α-β-γ)/2)=cos⁡2γ

Lời giải

Bước 1: Biến đổi góc

Từ tổng ba góc, có $\beta+\gamma=\pi-\alpha$ .

\frac{α - β - γ}{2} = \frac{α - ( β + γ )}{2} = \frac{α - ( π - α )}{2} = α - \frac{π}{2}

Bước 2: Tính giá trị

Áp dụng công thức hiệu với $\frac{\pi}{2}$ , thu được kết quả cần xét.

sin (α - \frac{π}{2}) = - cos α

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt đổi sai dấu, trong khi $\sin\left(\frac{\alpha+\beta-\gamma}{2}\right)=\cos\gamma$ và $\cos\left(\frac{\alpha+\beta-\gamma}{2}\right)=\sin\gamma$ .

sin (\frac{α - β - γ}{2}) = - cos α

Đáp án:

B

— vì

\sin\left(\frac{\alpha-\beta-\gamma}{2}\right)=-\cos\alpha

.

Câu 4

Cho

a

và

b

là hai số thực dương thỏa mãn:

$\frac{{l o g}_{2} 7 . {l o g}_{7} a}{2 + {l o g}_{2} 5} + {l o g}_{20} b = 3$

Nhận định nào sau đây là đúng:

A

a⋅b=8000

B

a=8000b

C

a⋅b=400

D

b=400a

Lời giải

Bước 1: Đổi cơ số và rút gọn

Dùng công thức tích logarit và quy về cùng cơ số $2$ .

lo g_{2} 7 \cdot lo g_{7} (a^{2}) + lo g_{2} 5 + lo g_{2} b = lo g_{2} (ab) + lo g_{2} 8000

Bước 2: Gộp và suy ra tích

Gộp các logarit cùng cơ số, rồi dùng tính đơn ánh của hàm logarit.

lo g_{2} (ab) = lo g_{2} 8000 \Rightarrow ab = 8000

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án khẳng định đúng kết quả vừa tìm được.

B, C, D sai vì lần lượt cho quan hệ khác với $ab=8000$ .

Đáp án: A — Vì rút gọn phương trình thu được

ab=8000

.

Câu 5

Trong bộ bài 52 lá, xác suất để rút được 1 lá là lá cơ hoặc hình người là: ___________

A

4/13

B

11/26

C

25/52

D

17/52

Lời giải

Bước $1$ : Xác định các biến cố

Gọi $A$ là biến cố rút lá cơ, $B$ là biến cố rút lá hình người.

Có $n(A)=13$ , $n(B)=12$ và $n(A\cap B)=3$ .

A = {l \overset{a}{ˊ} c ơ}, B = {l \overset{a}{ˊ} h \overset{ı}{ˋ} nh ng ư ời}

Bước $2$ : Đếm số lá thuận lợi

Ba lá vừa là lá cơ vừa là hình người bị đếm hai lần nên phải trừ đi.

n (A \cup B) = 13 + 12 - 3 = 22

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Xác suất cần tìm là $P(A\cup B)=\frac{22}{52}=\frac{11}{26}$ .

Chọn B; A, C, D sai vì lần lượt tương ứng với $16$ , $25$ , $17$ lá thuận lợi, không phải $22$ .

Đáp án: B — vì xác suất đúng là

\frac{22}{52}=\frac{11}{26}

.

Câu 6

Kéo biểu thức ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:

Gia đình bạn Hùng gồm ông bà nội, bố mẹ, chị gái và Hùng cùng đi tham quan một buổi biểu diễn nghệ thuật. Khi vào trong, cả gia đình ngồi trên một hàng ghế dài vừa đủ cho 6 người.

Kéo số thích hợp vào các ô trống dưới đây.

1. Số cách sắp xếp để Hùng ngồi giữa bố và ông nội là: [1]

2. Số cách sắp xếp để chị gái và mẹ ngồi cạnh nhau, trong khi ông nội ngồi ở một đầu và bà nội ngồi ở đầu còn lại là: [2]

A

12

B

48

C

36

D

24

Đáp án đúng: 48 — 24

Lời giải

Bước $1$ : Xếp Hùng ở giữa

Gộp bố, Hùng, ông nội thành một khối với Hùng ở giữa.

Khối có $4$ vị trí bắt đầu, hai cách đổi vị trí bố và ông nội; $3$ người còn lại xếp được $3!$ cách.

4 \cdot 2 \cdot 3! = 48

Bước $2$ : Xếp hai người ở hai đầu

Ông nội và bà nội đổi chỗ ở hai đầu theo $2$ cách.

Trong $4$ ghế giữa, cặp chị gái–mẹ có $3$ vị trí, $2$ thứ tự; hai người còn lại xếp $2!$ cách.

2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2! = 24

Bước $3$ : Đối chiếu đáp án

Số thứ nhất là $48$ , ứng với phương án $B$ ; số thứ hai là $24$ , ứng với phương án $D$ .

Đáp án: Đáp án: câu

1

chọn

B

, câu

2

chọn

D

, vì số cách tương ứng là

48

và

24

.

Câu 7

Điền kết quả phù hợp vào chỗ trống

Cho một sơ đồ các lối đi một chiều giữa các địa điểm từ U đến V, với số lượng đường đi được ghi trên mỗi mũi tên trong hình dưới đây:

Dựa vào sơ đồ này, hãy tính số cách đi từ U đến V.

(Hiểu rằng chỉ được đi tiến sang phải chứ ko được đi lùi hoặc đi ngang)

Đáp án: [[____]]

Hình minh họa

Đáp án đúng: 85

Lời giải

Bước 1: Gán số cách ban đầu

Tại điểm xuất phát, có đúng một cách bắt đầu.

f (U) = 1

Bước 2: Tính dồn theo các nhánh

Với mỗi đỉnh, lấy số cách đến trước đó nhân nhãn mũi tên rồi cộng các nhánh cùng đi vào.

f (X) = Y \to X \sum f (Y) k_{Y X}

Bước 3: Cộng các nhánh vào V

Theo sơ đồ, ba nhánh cuối đưa đến $V$ lần lượt tạo ra $20$ , $30$ và $35$ cách.

f (V) = 20 + 30 + 35 = 85

Đáp án:

85

— cộng ba số cách của các nhánh cuối vào

V

.

Câu 8

Điền kết quả phù hợp vào chỗ trống (để kết quả dưới dạng số thập phân)

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng $a$ . Cosin góc giữa hai đường thẳng AB’ và BC’ bằng bao nhiêu?

Cosin góc giữa hai đường thẳng AB’ và BC’ bằng: _______

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 0,25

Lời giải

Bước 1: Gán tọa độ các đỉnh

Đặt $A(0,0,0)$ , $B(a,0,0)$ , $C\left(\frac a2,\frac{\sqrt3a}{2},0\right)$ .

Vì lăng trụ đứng và cạnh bên bằng $a$ , suy ra $B'(a,0,a)$ , $C'\left(\frac a2,\frac{\sqrt3a}{2},a\right)$ .

A (0, 0, 0), B (a, 0, 0), C (\frac{a}{2}, \frac{3 a}{2}, 0), B^{'} (a, 0, a), C^{'} (\frac{a}{2}, \frac{3 a}{2}, a)

Bước 2: Tính tích vô hướng

Lấy các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng rồi áp dụng công thức cosin.

A B^{'} = (a, 0, a), B C^{'} = (- \frac{a}{2}, \frac{3 a}{2}, a), A B^{'} \cdot B C^{'} = \frac{a ^{2}}{2}, ∣ A B^{'} ∣ = ∣ B C^{'} ∣ = a 2

Bước 3: Kết luận

Thay vào công thức tích vô hướng, được kết quả cần điền.

cos θ = \frac{\frac{a ^{2}}{2}}{a 2 \cdot a 2} = \frac{1}{4} = 0, 25

Đáp án:

0,25

— vì tích vô hướng cho

\cos\theta=\frac14

.

Câu 9

Kéo biểu thức ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:

Một phao trôi nổi trên mặt biển dao động lên xuống do tác động của sóng. Độ cao h (tính bằng cm) của phao so với mực nước trung bình tại thời điểm t (tính bằng giây) được mô tả bởi công thức: $h = 20 s i n (\frac{π}{4} t + \frac{π}{6}) + 50$

Dựa trên thông tin này, hãy trả lời các câu hỏi sau:

1. Tính độ cao lớn nhất mà phao đạt được so với mực nước trung bình [1] cm.

2. Trong khoảng thời gian 40 giây đầu tiên, phao đạt độ cao lớn nhất [2] lần.

Hình minh họa

A

40

B

50

C

10

D

70

E

6

F

5

Đáp án đúng: 70 — 5

Lời giải

Bước 1: Tìm độ cao lớn nhất

Do $\sin\left(\frac{\pi}{4}t+\frac{\pi}{6}\right)\le1$ , độ cao cực đại bằng tổng mực trung bình và biên độ.

max h = 50 + 20 = 70 cm

Bước 2: Đếm số lần cực đại

Phao đạt cực đại khi đối số của sin bằng $\frac{\pi}{2}+2k\pi$ .

\frac{π}{4} t + \frac{π}{6} = \frac{π}{2} + 2 k π \Rightarrow t = \frac{4}{3} + 8 k

Bước 3: Lọc thời điểm và đối chiếu

Trong $0\le t\le40$ , các thời điểm là $\frac{4}{3},\frac{28}{3},\frac{52}{3},\frac{76}{3},\frac{100}{3}$ , có $5$ lần.

Vì vậy, câu $1$ chọn ô D; câu $2$ chọn ô F.

\frac{4}{3} + 8 k \in [0, 40] \Rightarrow k \in {0, 1, 2, 3, 4} \Rightarrow 5 l \overset{ˋ}{\overset{a}{ˆ}} n

Đáp án: Câu

1

: D; câu

2

: F — phao cao nhất

70\,\text{cm}

và đạt mức này

5

lần.

Câu 10

Điền số thích hợp vào chỗ trống

Cho khối tứ diện có thể tích $V$ . Gọi $V^{'}$ là thể tích khối đa diện có các đỉnh là trung điểm các cạnh của khối tứ diện đã cho. Tỉ số $\frac{V^{'}}{V}$ bằng [[____]]

Đáp án đúng: 0,5

Lời giải

Bước 1: Tính thể tích phần góc

Mỗi tứ diện nhỏ đồng dạng với tứ diện ban đầu, có tỉ số cạnh $\frac{1}{2}$ .

V_{nhỏ} = (\frac{1}{2})^{3} V = \frac{1}{8} V

Bước 2: Tính thể tích khối trung tâm

Có $4$ tứ diện nhỏ ở các đỉnh; phần còn lại là khối đa diện cần tìm.

V^{'} = V - 4 \cdot \frac{1}{8} V = \frac{1}{2} V

Bước 3: Tính tỉ số

Chia hai vế cho $V$ để thu được tỉ số cần điền.

\frac{V ^{'}}{V} = \frac{1}{2} = 0, 5

Đáp án:

0,5

— vì

\frac{V'}{V}=\frac{1}{2}

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề thi tự luyện - Đề số 09 - Tư duy Toán học

Tư duy Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Ghép cặp đối xứng

Bước 2: Cộng các phần còn lại

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Đọc dấu hệ số

Bước 2: Xét các tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Biến đổi góc

Bước 2: Tính giá trị

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Đổi cơ số và rút gọn

Bước 2: Gộp và suy ra tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Xác định các biến cố

Bước 2: Đếm số lá thuận lợi

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Xếp Hùng ở giữa

Bước 2: Xếp hai người ở hai đầu

Bước 3: Đối chiếu đáp án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Gán số cách ban đầu

Bước 2: Tính dồn theo các nhánh

Bước 3: Cộng các nhánh vào V

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Gán tọa độ các đỉnh

Bước 2: Tính tích vô hướng

Bước 3: Kết luận

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tìm độ cao lớn nhất

Bước 2: Đếm số lần cực đại

Bước 3: Lọc thời điểm và đối chiếu

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tính thể tích phần góc

Bước 2: Tính thể tích khối trung tâm

Bước 3: Tính tỉ số

Bước $1$ : Xác định các biến cố

Bước $2$ : Đếm số lá thuận lợi

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Xếp Hùng ở giữa

Bước $2$ : Xếp hai người ở hai đầu

Bước $3$ : Đối chiếu đáp án