Đáp án & lời giải chi tiết: Đề thi tự luyện - Đề số 05 - Tư duy Toán học

Bước $1$: Nhận diện định lý

Định lý kết luận hai mặt phẳng song song khi một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.

Bước $2$: Điền đáp án

Vị trí $[1]$ chọn C vì cần điền “song song”.

Vị trí $[2]$ chọn E vì cần điền “hai đường thẳng cắt nhau”.

Bước 1: Xét tính chẵn

Với $f,g$, xuất hiện $sinx$ nên không chẵn; với $h$, $si{n}^2(-x)={\sin }^{2}x$ nên chẵn.

Bước 2: Đếm hàm chẵn

Chỉ có $h$ là hàm chẵn.

Bước 3: Xét tính tuần hoàn

$f,g$ có chu kỳ $2\pi$; $h$ có chu kỳ $pi$ vì $si{n}^{2}x$ tuần hoàn với chu kỳ $pi$.

Bước 4: Điền đáp án

Số hàm tuần hoàn là $3$, tương ứng phương án $C$.

Bước $1$: Xác định cách đếm

Mỗi ô trống trong hình tương ứng với một khối vuông đơn vị cần gắn lại.

Đếm lần lượt theo từng hàng hoặc từng lớp để tránh bỏ sót.

Bước $2$: Đếm số vị trí khuyết

Quan sát hình và cộng số khối bị lấy mất ở các hàng, các lớp.

Tổng số vị trí khuyết là $14$.

Bước $3$: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$. Các phương án $A$, $B$, $D$ sai vì lần lượt cho $15$, $54$, $79$, đều khác $14$.

Bước 1: Đổi cơ số và rút gọn

Dùng công thức tích logarit và quy về cùng cơ số $2$.

Bước 2: Gộp và suy ra tích

Gộp các logarit cùng cơ số, rồi dùng tính đơn ánh của hàm logarit.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án khẳng định đúng kết quả vừa tìm được.

B, C, D sai vì lần lượt cho quan hệ khác với $ab=8000$.

Bước 1: Tính thể tích phần góc

Mỗi tứ diện nhỏ đồng dạng với tứ diện ban đầu, có tỉ số cạnh $\frac{1}{2}$.

Bước 2: Tính thể tích khối trung tâm

Có $4$ tứ diện nhỏ ở các đỉnh; phần còn lại là khối đa diện cần tìm.

Bước 3: Tính tỉ số

Chia hai vế cho $V$ để thu được tỉ số cần điền.

Bước 1: Gán tọa độ các đỉnh

Đặt $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C\left(\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2},0\right)$.

Vì lăng trụ đứng và cạnh bên bằng $a$, suy ra $B^{\prime }(a,0,a)$, $C^{\prime }\left(\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2},a\right)$.

Bước 2: Tính tích vô hướng

Lấy các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng rồi áp dụng công thức cosin.

Bước 3: Kết luận

Thay vào công thức tích vô hướng, được kết quả cần điền.

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Các biểu thức trong logarit phải dương.

Bước 2: Gộp các logarit

Trên điều kiện $x>\frac{3}{4}$, bất phương trình được gộp thành một logarit.

Bước 3: Giải bất phương trình

Vì $3>1$, so sánh các biểu thức trong logarit.

Bước 4: Đối chiếu phương án

Vì $\Delta =3^2-4\cdot 2\cdot 8=-55<0$ và hệ số $x^2$ dương, bất phương trình đúng với mọi $x$; kết hợp điều kiện được $S=\left(\frac{3}{4},+\infty \right)$.

Chọn $B$; $A$, $C$, $D$ sai vì lần lượt lấy thiếu nghiệm, thêm điều kiện không có, và bỏ qua điều kiện xác định.

Bước 1: Tìm độ cao lớn nhất

Do $\sin \left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{6}\right)\le 1$, độ cao cực đại bằng tổng mực trung bình và biên độ.

Bước 2: Đếm số lần cực đại

Phao đạt cực đại khi đối số của sin bằng $\frac{\pi }{2}+2k\pi$.

Bước 3: Lọc thời điểm và đối chiếu

Trong $0\le t\le 40$, các thời điểm là $\frac{4}{3},\frac{28}{3},\frac{52}{3},\frac{76}{3},\frac{100}{3}$, có $5$ lần.

Vì vậy, câu $1$ chọn ô D; câu $2$ chọn ô F.

Bước 1: Gán số cách ban đầu

Tại điểm xuất phát, có đúng một cách bắt đầu.

Bước 2: Tính dồn theo các nhánh

Với mỗi đỉnh, lấy số cách đến trước đó nhân nhãn mũi tên rồi cộng các nhánh cùng đi vào.

Bước 3: Cộng các nhánh vào V

Theo sơ đồ, ba nhánh cuối đưa đến $V$ lần lượt tạo ra $20$, $30$ và $35$ cách.

Bước 1: Đặt miền giá trị cơ bản

Đặt $t=x+1$, nên $-1\le \sin t\le 1$.

Bước 2: Biến đổi miền giá trị

Nhân cả ba vế với $2$, rồi trừ $1$.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tập giá trị là $[-3;1]$, nên chọn $\mathrm{B}$. Các phương án $\mathrm{A}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$ sai vì lần lượt cho sai cận dưới và cận trên.