Đáp án & lời giải chi tiết: Đề thi tự luyện - Đề số 04 - Tư duy Toán học

Bước 1: Xét một ô

Chọn $2$ màu trong $3$ màu và phân bố mỗi màu trên đúng $2$ cạnh.

Khi biết màu cạnh chung với ô trước, số lựa chọn còn lại được xác định theo dạng $a,a,b,b$.

Bước 2: Quét toàn bảng

Quét các ô theo thứ tự cố định, ghi màu các cạnh chung làm trạng thái.

Phân loại các trạng thái giống nhau theo phép đổi tên màu, rồi nhân số lựa chọn ở từng bước.

Bước 3: Tính kết quả

Tính tích số cấu hình của các trạng thái đã phân loại.

Bước 1: Đưa về phương trình cơ bản

Chuyển $-1$ sang vế phải để được phương trình dạng $\tan t=1$.

Bước 2: Giải phương trình

Áp dụng công thức với $t=2x$, rồi chia hai vế cho $2$.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$. $A$, $B$, $D$ sai vì lần lượt không đúng dạng nghiệm tổng quát, cho góc làm $\tan 2x$ không xác định, và cũng cho góc làm $\tan 2x$ không xác định.

Bước 1: Tìm công bội

Công bội bằng thương của hai số hạng liên tiếp.

Bước 2: Tính các đại lượng cần thiết

Dùng công thức số hạng tổng quát, tổng cấp số nhân và số hạng cuối.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Đúng: $A$, $C$. $B$, $D$ sai vì lần lượt $u_5=80$ và cấp số nhân có $16$ số hạng.

Bước 1: Phân tích nhân tử

Phân tích tử và mẫu theo các hằng đẳng thức quen thuộc.

Bước 2: Rút gọn và tính giới hạn

Với $x\ne 1$, rút gọn phân thức rồi thay $x=1$.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Suy ra $a=3$, $b=2$ nên $S=a+b=5$. Phương án đúng là $A$; $B$, $C$, $D$ sai vì lần lượt cho các giá trị $10$, $3$, $4$.

Bước 1: Nhận dạng điều kiện

Tìm biểu thức đường thẳng $y=ax+b$ sao cho hiệu giữa hàm số và đường thẳng tiến về $0$ khi $x\to \pm \infty$.

Bước 2: Kiểm tra hàm số

Với phương án $C$, ta viết $f(x)=x+\frac{1}{x}$. Phần dư $\frac{1}{x}$ tiến về $0$, nên đường thẳng $y=x$ là tiệm cận xiên.

Các hàm còn lại không có dạng đường thẳng cộng phần dư tiến về $0$ khi $x\to \pm \infty$.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $C$. $A$, $B$, $D$ lần lượt là đa thức bậc $3$, hàm phân thức có tiệm cận ngang và hàm mũ nên không có tiệm cận xiên.

Bước 1: Đổi biến theo tâm hypebol

Đặt $u=x+1$, $v=y+1$. Khi đó $v=u+\frac{1}{u}$, với hai nhánh tương ứng $u>0$ và $u<0$.

Bước 2: Lập biểu thức khoảng cách

Chọn hai điểm ở hai nhánh: điểm thứ nhất có tham số $u>0$, điểm thứ hai có tham số $-b<0$, với $b>0$.

Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất

Theo AM-GM, $\frac{1}{u}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{u+b}$. Đặt $p=u+b>0$.

Dấu bằng xảy ra khi $u=b$ và $p^4=8$, nên giá trị dưới đây đạt được.

Bước 1: Đưa về điều kiện mũ

Biến đổi bất phương trình đã cho về điều kiện tương đương $1<2^x<2$.

Bước 2: Tìm khoảng nghiệm

Do hàm số $2^x$ đồng biến và $2^0=1$, $2^1=2$, suy ra $0<x<1$.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Ta có $a+b=0+1=1$, nên chọn phương án $D$.

Các phương án $A$, $B$, $C$ sai vì lần lượt cho kết quả $3$, $2$, $0$, không đúng với $a+b=1$.

Bước 1: Viết dưới dạng giai thừa

Tích các số nguyên liên tiếp từ $1$ đến $100$ chính là $100!$.

Bước 2: Đếm thừa số $5$

Mỗi cặp thừa số $2\cdot 5$ tạo một chữ số $0$; số thừa số $5$ là lượng giới hạn.

Bước 3: Kết luận

Vì $v_2(100!)=97>24$, số chữ số $0$ tận cùng là $24$.

Bước 1: Tìm chu kỳ

Tính lũy thừa cơ sở modulo $11$ để nhận chu kỳ.

Bước 2: Rút gọn số mũ

Chia $2026$ cho chu kỳ $5$.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Số dư là $3$, nên chọn phương án $D$.

Các phương án $A$, $B$, $C$ sai vì lần lượt cho số dư $0$, $1$, $2$.