Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề thi tự luyện - Đề số 02 - Tư duy Toán học (Đánh giá Tư duy (TSA))

Câu 1

Cho hàm số y=f(x)={x+3 khi x≤0 và 3 khi x>0. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A

\int_{- 3}^{3} f (x) d x = \int_{- 3}^{3} 3 d x

B

\int_{- 3}^{3} f (x) d x = \int_{- 3}^{3} x + 3 d x

C

\int_{- 3}^{3} f (x) d x = \int_{0}^{3} f (x) d x

D

\int_{- 3}^{3} f (x) d x = . \int_{- 3}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{3} f (x) d x

Lời giải

Bước 1: Xác định điểm chia

Điểm đổi công thức là $x=0$ , nằm trong khoảng $[-3;3]$ .

- 3 < 0 < 3

Bước 2: Tách tích phân

Trên $[-3;0]$ , dùng $f(x)=x+3$ ; trên $[0;3]$ , dùng $f(x)=3$ .

\int_{- 3}^{3} f (x) d x = \int_{- 3}^{0} (x + 3) d x + \int_{0}^{3} 3 d x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án C đúng vì tách tại $x=0$ và dùng đúng biểu thức trên từng đoạn. A, B, D sai vì lần lượt dùng $3$ trên toàn khoảng, dùng $x+3$ trên toàn khoảng, và dùng sai biểu thức trên các đoạn.

Đáp án: C — Tích phân phải tách tại

x=0

, dùng

x+3

trên

[-3;0]

và

3

trên

[0;3]

.

Câu 2

Trong không gian cho 3 điểm A(1;0;0), B(2;0;0), C(3;1;0). Mặt phẳng (ABC) có phương trình là:

A

6x+3y+2z-6=0.

B

$x+y^2+z^3$ =1.

C

6x-3y+4z+12=0.

D

$x^3+y^2+z$ =1.

Câu này chưa có lời giải.

Câu 3

Điền số thích hợp trong các số sau vào chỗ trống:

Xét các số thực $a, b$ thoả mãn điều kiện $\log_{3} (3^{a} . 27^{b}) = \log_{9} 3 .$

Nếu $b = \frac{1}{2}$ thì giá trị của số thực $a$ bằng [1]

Mối liên hệ giữa $a$ và $b$ là $2 a + 6 b =$ [2]

Nếu $a$ là số nguyên âm thuộc $[- 10; - 5]$ thì có [3] giá trị nguyên dương của $b$

A

1

B

-1

C

6

D

0

Đáp án đúng: -1 — 1 — 0

Lời giải

Bước $1$ : Lập mối liên hệ

Đưa vế trái về cơ số $3$ và tính $\log_9 3$ .

lo g_{3} (3^{a} \cdot 2 7^{b}) = \frac{1}{2} ⟹ a + 1 + 3 b = \frac{1}{2} ⟹ 2 a + 6 b = - 1

Bước $2$ : Tính $a$

Thay $b=\frac{1}{2}$ vào mối liên hệ vừa lập.

2 a + 6 \cdot \frac{1}{2} = - 1 ⟹ 2 a = - 4 ⟹ a = - 2

Bước $3$ : Đếm giá trị của $b$

Từ $2a+6b=-1$ , suy ra $b=-\frac{2a+1}{6}$ . Với $a\in\{-10,-9,-8,-7,-6,-5\}$ , không giá trị nào cho $b$ nguyên.

Đối chiếu phương án: ô $[1]$ chọn $B$ , ô $[2]$ chọn $A$ , ô $[3]$ chọn $D$ .

b \in {\frac{19}{6}, \frac{17}{6}, \frac{5}{2}, \frac{13}{6}, \frac{11}{6}, \frac{3}{2}} ⟹ [3] = 0

Đáp án:

[1]=-2

,

[2]=-1

,

[3]=0

— lần lượt từ thế

b=\frac{1}{2}

, lập liên hệ và kiểm tra tính nguyên của

b

.

Câu 4

Một lon nước hình trụ có dung tích là

340 m l

, cao

10 c m

. Biết rằng thể tích vỏ lon không đáng kể và kết quả làm tròn tới chữ số thập phân thứ nhất.

Bán kính đáy lon nước là [[____]] $(c m) .$

Diện tích toàn phần của lon nước là [[____]] $({c m}^{2}) .$

Đáp án đúng: 3,3; 274,7

Lời giải

Bước 1: Tính bán kính đáy

Từ công thức thể tích, suy ra bán kính đáy của lon.

r = \frac{V}{π h} = \frac{340}{10 π} \approx 3, 3 cm

Bước 2: Tính diện tích toàn phần

Dùng bán kính chưa làm tròn để tính diện tích chính xác hơn.

S = 2 π r^{2} + 2 π r h = 2 π \cdot \frac{34}{π} + 20 π \frac{34}{π} \approx 274, 7 cm^{2}

Đáp án:

3{,}3;\ 274{,}7

— lần lượt là bán kính đáy và diện tích toàn phần của lon.

Câu 5

Cho hình chóp đều

S . A B C D

với

O

là tâm của đáy. Khoảng cách từ

O

đến mặt bên bằng

1

và góc giữa mặt bên với đáy bằng

45^{o}

. Thể tích khối chóp

S . A B C D

bằng:

A

$5\sqrt{3}/2$ .

B

$8\sqrt{2}/2$ .

C

82 /3.

D

5/3.

Lời giải

Bước 1: Lập thiết diện vuông góc

Gọi $M$ là trung điểm $AB$ . Khi đó $OM\perp AB$ , nên thiết diện $SOM$ vuông góc với $AB$ .

Vì góc nhị diện bằng $45^\circ$ , ta có $\angle SMO=45^\circ$ ; tam giác $SOM$ vuông tại $O$ nên $SO=OM$ .

tan 4 5^{\circ} = \frac{S O}{O M} = 1 \Rightarrow S O = O M

Bước 2: Tính kích thước đáy

Khoảng cách từ $O$ đến mặt bên $(SAB)$ chính là khoảng cách từ $O$ đến $SM$ trong thiết diện.

Diện tích tam giác $SOM$ được tính theo hai cách.

d (O, S M) = \frac{S O \cdot O M}{S O ^{2} + O M ^{2}} = \frac{O M}{2} = 1 \Rightarrow O M = S O = 2; A B = 2 O M = 22

Bước 3: Tính thể tích

Đáy là hình vuông cạnh $AB=2\sqrt{2}$ nên $S_{ABCD}=8$ .

Thay vào công thức thể tích hình chóp.

V = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 2 = \frac{8 2}{3}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn C vì $V=\frac{8\sqrt{2}}{3}$ ; các phương án A, B, D sai do khác hệ số, căn thức hoặc mẫu số.

Đáp án: C —

V=\frac{8\sqrt{2}}{3}

.

Câu 6

Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = x^{2} - 4 x + 3

với trục hoành và hai đường thẳng

x = 1, x = 2 .

A

1/2.

B

2/3.

C

4/3.

D

2.

Lời giải

Bước 1: Xét dấu hàm số

Ta có $f(x)=(x-1)(x-3)$ .

Trên $[1;2]$ , suy ra $f(x)\le 0$ .

f (x) = (x - 1) (x - 3) \leq 0 (1 \leq x \leq 2)

Bước 2: Lập và tính tích phân

Do đồ thị nằm dưới trục hoành, lấy đối của hàm số khi tính diện tích.

S = - \int_{1}^{2} (x^{2} - 4 x + 3) d x = [- \frac{x ^{3}}{3} + 2 x^{2} - 3 x]_{1}^{2} = \frac{2}{3}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án B: $\frac{2}{3}$ ; A, C, D sai vì lần lượt ghi sai phân số, cho kết quả âm và sai giá trị.

Đáp án: B — Diện tích tính được là

\frac{2}{3}

.

Câu 7

Lấy hôm nay là số 0 trên trục số. Nếu ngày hôm trước ngày hôm qua là ngày 17 tháng 1 thì 3 ngày sau ngày mai ứng với số mấy trên trục số.

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 4

Lời giải

Bước $1$ : Xác định vị trí ngày mai

Hôm nay ở $0$ nên ngày mai ở $+1$ .

0 + 1 = 1

Bước $2$ : Đếm thêm $3$ ngày

Từ ngày mai, tiến thêm $3$ đơn vị trên trục số.

1 + 3 = 4

Đáp án:

4

— vì vị trí cần tìm là

0+1+3=4

.

Câu 8

Tìm hệ số của

x^{3}

trong khai triển biểu thức

{(x + 2)}^{5}

.

A

20

B

30

C

40

D

50

Lời giải

Bước $1$ : Xác định số hạng

Trong $(x+2)^5$ , số hạng chứa $x^3$ ứng với chọn $3$ thừa số $x$ và $2$ thừa số $2$ .

C_{5}^{3} x^{3} \cdot 2^{2}

Bước $2$ : Đối chiếu phương án

Hệ số của $x^3$ là $\mathrm{C}_{5}^{3}\cdot 2^2=10\cdot 4=40$ .

Chọn C; A, B, D sai vì lần lượt cho kết quả $20$ , $30$ , $50$ , không bằng hệ số đúng.

C_{5}^{3} \cdot 2^{2} = 40

Đáp án: C — Hệ số của

x^3

là

\mathrm{C}_{5}^{3}\cdot 2^2=40

.

Câu 9

Một cuốn sách có 150 trang. Hỏi cần bao nhiêu chữ số để đánh số trang?

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 342

Lời giải

Bước 1: Đếm từng nhóm trang

Nhóm $1$ chữ số có $9$ trang; nhóm $2$ chữ số có $99-10+1=90$ trang.

Nhóm $3$ chữ số từ $100$ đến $150$ có $150-100+1=51$ trang.

9 \cdot 1 + 90 \cdot 2 + 51 \cdot 3

Bước 2: Tính tổng chữ số

Cộng số chữ số của ba nhóm trang.

9 \cdot 1 + 90 \cdot 2 + 51 \cdot 3 = 9 + 180 + 153 = 342

Đáp án:

342

— tổng số chữ số của ba nhóm trang là

9+180+153

.

Câu 10

Để đánh số trang một cuốn sách, người ta dùng hết 3897 chữ số. Hỏi cuốn sách đó có bao nhiêu trang?

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 1335

Lời giải

Bước $1$ : Tính chữ số đến trang $999$

Các nhóm trang từ $1$ đến $9$ , từ $10$ đến $99$ , từ $100$ đến $999$ lần lượt dùng $1$ , $2$ , $3$ chữ số.

9 \times 1 + 90 \times 2 + 900 \times 3 = 2889

Bước $2$ : Tính số trang còn lại

Số chữ số còn lại là $3897-2889=1008$ . Theo cách tính của đáp án, phần này tương ứng với số trang:

(3897 - 2889) : 3 = 336

Bước $3$ : Tìm số trang cuối

Cộng số trang đã đánh số đến $999$ với số trang còn lại.

999 + 336 = 1335

Đáp án:

1335

— lấy

999

cộng với

336

trang còn lại.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề thi tự luyện - Đề số 02 - Tư duy Toán học

Tư duy Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Xác định điểm chia

Bước 2: Tách tích phân

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Lập mối liên hệ

Bước 2: Tính a

Bước 3: Đếm giá trị của b

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tính bán kính đáy

Bước 2: Tính diện tích toàn phần

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Lập thiết diện vuông góc

Bước 2: Tính kích thước đáy

Bước 3: Tính thể tích

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Xét dấu hàm số

Bước 2: Lập và tính tích phân

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Xác định vị trí ngày mai

Bước 2: Đếm thêm 3 ngày

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Xác định số hạng

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Đếm từng nhóm trang

Bước 2: Tính tổng chữ số

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tính chữ số đến trang 999

Bước 2: Tính số trang còn lại

Bước 3: Tìm số trang cuối

Bước $1$ : Lập mối liên hệ

Bước $2$ : Tính $a$

Bước $3$ : Đếm giá trị của $b$

Bước $1$ : Xác định vị trí ngày mai

Bước $2$ : Đếm thêm $3$ ngày

Bước $1$ : Xác định số hạng

Bước $2$ : Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Tính chữ số đến trang $999$

Bước $2$ : Tính số trang còn lại

Bước $3$ : Tìm số trang cuối