Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề thi thử ĐGTD ĐHBK HN năm 2025 - Mã đề 05 — Tư duy Toán học môn Toán học (Đánh giá Tư duy (TSA))

Câu 1

Chữ số tận cùng của $7^{1001}$ là [1]

Đáp án đúng: 7

Lời giải

Bước 1: Lập chu kỳ

Các chữ số tận cùng của lũy thừa cơ số $7$ lần lượt tạo thành chu kỳ $4$ .

7^{1} \equiv 7, 7^{2} \equiv 9, 7^{3} \equiv 3, 7^{4} \equiv 1 (mod 10)

Bước 2: Xét số mũ

Số dư của $1001$ khi chia cho $4$ là $1$ , nên chọn phần tử đầu chu kỳ.

1001 = 4 \cdot 250 + 1 \Rightarrow 7^{1001} \equiv 7^{1} \equiv 7 (mod 10)

Đáp án:

7

— vì

1001

chia

4

dư

1

.

Câu 2

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình bên dưới. Tập hợp các giá trị của tham số $m$ để hàm số $g (x) = ∣ f (x) + 2 m ∣$ có 5 điểm cực trị là tập con của các tập hợp nào sau đây?

Hình minh họa

A

$(- 3; 1)$

B

$[0; 4)$

C

$[- 2; 1] .$

D

$(- 1; 3] .$

Lời giải

Bước 1: Đặt tham số phụ

Đặt $k = - 2 m$ để đưa biểu thức về dạng trị tuyệt đối quen thuộc.

Khi đó $g (x) = ∣ f (x) - k ∣$ .

k = - 2 m, g (x) = ∣ f (x) - k ∣

Bước 2: Đọc điều kiện trên đồ thị

Dựa vào đồ thị, $∣ f (x) - k ∣$ có $5$ điểm cực trị khi đường thẳng $y = k$ thỏa mãn $- 6 \leq k < 2$ .

- 6 \leq k < 2

Bước 3: Đổi sang tham số $m$

Thay $k = - 2 m$ và chia cho $- 2$ , đổi chiều các dấu bất đẳng thức.

- 6 \leq - 2 m < 2 ⟺ - 1 < m \leq 3

Bước 4: Đối chiếu phương án

Tập giá trị cần xét là $(- 1; 3]$ , nên được chứa trong phương án $D$ .

Các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt thiếu một phần khoảng cần xét, chứa giá trị không phù hợp, hoặc không chứa toàn bộ tập $(- 1; 3]$ .

(- 1; 3] \subseteq (- 1; 3]

Đáp án:

D

— vì điều kiện thu được là

- 1 < m \leq 3

, đúng với tập

(- 1; 3]

.

Câu 3

Người ta muốn trang trí Tết bằng cách xếp xen kẽ 3 cây quất và 2 cây đào sao cho không có cây nào cùng loại xếp cạnh nhau. Số cách xếp là [1].

Đáp án đúng: 12

Lời giải

Bước $1$ : Xác định dạng xếp

Vì số cây quất nhiều hơn số cây đào, dạng xếp là quất–đào–quất–đào–quất.

Q D Q D Q

Bước $2$ : Đếm cách sắp xếp

Sắp xếp $3$ cây quất vào các vị trí quất và $2$ cây đào vào các vị trí đào.

3! \cdot 2! = 6 \cdot 2 = 12

Đáp án:

12

— có

3!

cách xếp cây quất và

2!

cách xếp cây đào.

Câu 4

Tính mô đun của số phức $z$ thỏa $z - 2 i \overline{z} = 1 - 5 i$ .

A

$∣ z ∣ = 10$

B

$∣ z ∣ = 4$

C

$∣ z ∣ = \frac{170}{3}$

D

$∣ z ∣ = 10$

Lời giải

Bước 1: Đặt dạng đại số

Đặt $z = x + i y$ với $x, y \in R$ .

z = x + i y, \overline{z} = x - i y

Bước 2: Lập hệ phương trình

Thay vào phương trình và so sánh phần thực, phần ảo.

z - 2 i \overline{z} = (x + i y) - 2 i (x - i y) = (x - 2 y) + (y - 2 x) i = 1 - 5 i

Bước 3: Đối chiếu phương án

Giải hệ thu được $x = 3$ , $y = 1$ , nên chọn phương án $A$ ; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho $4$ , $\frac{170}{3}$ , $10$ , đều khác $10$ .

{x - 2 y = 1 y - 2 x = - 5 \Rightarrow (x, y) = (3, 1) \Rightarrow ∣ z ∣ = 3^{2} + 1^{2} = 10

Đáp án: Đáp án

A

— vì

∣ z ∣ = 10

.

Câu 5

Phát biểu nào sau đây là sai?

A

$lim u_{n} = c (u_{n} = c l \overset{a}{ˋ} h \overset{ˋ}{\overset{a}{˘}} ng s \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}})$

B

$lim q^{n} = 0 (∣ q ∣ > 1)$

C

$lim \frac{1}{n} = 0$

D

$lim \frac{1}{n ^{k}} = 0 (k > 1)$

Lời giải

Bước 1: Nhớ các giới hạn cơ bản

Dãy hằng có giới hạn bằng chính hằng số; các dãy nghịch đảo của lũy thừa $n$ tiến về $0$ .

lim u_{n} = c, lim \frac{1}{n ^{k}} = 0 (k > 0)

Bước 2: Kiểm tra dãy lũy thừa

Điều kiện để $q^{n}$ tiến về $0$ là $∣ q ∣ < 1$ . Với $∣ q ∣ > 1$ , độ lớn $∣ q^{n} ∣$ tăng theo $n$ .

lim q^{n} = 0 ⟺ ∣ q ∣ < 1; ∣ q ∣ > 1 \Rightarrow ∣ q^{n} ∣ \to \infty

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $B$ vì phát biểu $lim q^{n} = 0$ với $∣ q ∣ > 1$ là sai; $A$ , $C$ , $D$ đúng lần lượt theo giới hạn dãy hằng và giới hạn $\frac{1}{n ^{k}}$ với $k > 0$ .

Đáp án:

B

— với

∣ q ∣ > 1

, dãy

q^{n}

không tiến về

0

.

Câu 6

Số $A = 1078000$ có [1] ước.

Đáp án đúng: 120

Lời giải

Bước 1: Phân tích thừa số nguyên tố

Phân tích $A$ thành tích các lũy thừa của số nguyên tố.

A = 1078000 = 2^{4} \cdot 5^{3} \cdot 7^{2} \cdot 11

Bước 2: Tính số ước

Áp dụng công thức số ước cho các số mũ $4, 3, 2, 1$ .

d (A) = (4 + 1) (3 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 120

Đáp án:

120

— vì

A = 2^{4} \cdot 5^{3} \cdot 7^{2} \cdot 11

nên số ước là

(4 + 1) (3 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 120

.

Câu 7

Biết hàm số $f (x)$ nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty)$ . Các khẳng định sau là đúng hay sai?

A

$f (2) < f (3)$

B

Với mọi $x_{1}, x_{2} \in (0; + \infty), x_{1} < x_{2}$ ta có $\frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{2} )}{x _{1} - x _{2}} < 0$

C

$f (\frac{3}{4}) > f (\frac{2}{3})$

Câu này chưa có lời giải.

Câu 8

Một bộ ba số Pythagoras (còn gọi là bộ ba số Pytago hay bộ ba số Pythagore) gồm ba số nguyên dương a, b và c, sao cho $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . Khi đó ta viết bộ ba đó là (a; b; c). Một bộ ba số Pythagoras được gọi là bộ ba số Pythagoras nguyên tố nếu a, b và c là các số nguyên tố cùng nhau. Khẳng định nào sau đây đúng hay sai?

A

Bộ ba số (3, 4, 5) là bộ ba số Pytago nguyên tố.

B

Hai số 153 và 185 có cùng thuộc 1 bộ ba số Pytago.

C

Nếu (a, b, c) là bộ ba số Pytago, thì cả bộ ba (ka, kb, kc) với số nguyên k bất kỳ cũng là Pytago.

Câu này chưa có lời giải.

Câu 9

Cho hình lập phương $A B C A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cạnh $a$ .

Lấy hai điểm $M$ và $N$ theo thứ tự di động trên $A C$ và $A^{'} B$ sao cho $A M = A^{'} N = t (0 \leq t \leq a 2)$ . Giá trị nhỏ nhất của $M N$ bằng [1], khi đó góc $(M N, A C)$ bằng [2].

A

$\frac{a}{2}$

B

$4 5^{\circ}$

C

$6 0^{\circ}$

D

$\frac{a}{4}$

Đáp án đúng: \frac{a}{\sqrt{2}} — 60^{\circ}

Lời giải

Bước 1: Chọn tọa độ

Đặt hệ trục tọa độ với gốc tại $A$ .

A = (0, 0, 0), B = (a, 0, 0), C = (a, a, 0), A^{'} = (0, 0, a) M = (\frac{t}{2}, \frac{t}{2}, 0), N = (\frac{t}{2}, 0, a - \frac{t}{2})

Bước 2: Tối ưu độ dài

Tính bình phương khoảng cách rồi đưa về dạng bình phương hoàn chỉnh.

M N^{2} = \frac{t ^{2}}{2} + (a - \frac{t}{2})^{2} = (t - \frac{a}{2})^{2} + \frac{a ^{2}}{2} \geq \frac{a ^{2}}{2}

Bước 3: Tính góc và đối chiếu

Dấu bằng xảy ra khi $t = \frac{a}{2}$ . Khi đó dùng tích vô hướng để tính góc.

M N_{m i n} = \frac{a}{2}, M N = (0, - \frac{a}{2}, \frac{a}{2}), A C = (a, a, 0) cos θ = \frac{∣ M N \cdot A C ∣}{∣ M N ∣ ∣ A C ∣} = \frac{1}{2} \Rightarrow θ = 6 0^{\circ}

Đáp án: A và C —

M N_{m i n} = \frac{a}{2}

và góc

(M N, A C) = 6 0^{\circ}

.

Câu 10

Cho số phức $z$ . Gọi $A, B$ lần lượt là các điểm trong mặt phẳng $(O x y)$ biểu diễn các số phức $z$ và $(1 + i) z$ . Tính $∣ z ∣$ biết diện tích tam giác $O A B$ bằng $8$ .

A

$∣ z ∣ = 4.$

B

$∣ z ∣ = 42 .$

C

$∣ z ∣ = 2.$

D

$∣ z ∣ = 22 .$

Lời giải

Bước 1: Xác định độ dài và góc

Hai vectơ $O A$ và $O B$ tạo góc $\frac{π}{4}$ .

Độ dài $O B$ là $2 ∣ z ∣$ .

∣ (1 + i) z ∣ = ∣1 + i ∣∣ z ∣ = 2 ∣ z ∣

Bước 2: Lập phương trình diện tích

Thay vào công thức diện tích rồi giải $∣ z ∣$ .

S_{O A B} = \frac{1}{2} ∣ z ∣ ∣ (1 + i) z ∣ sin \frac{π}{4} = \frac{1}{2} ∣ z ∣ (2 ∣ z ∣) \frac{2}{2} = \frac{∣ z ∣ ^{2}}{2} = 8 ⟹ ∣ z ∣ = 4

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì các giá trị tương ứng đều không thỏa mãn $\frac{∣ z ∣ ^{2}}{2} = 8$ .

Đáp án:

A

— vì

\frac{∣ z ∣ ^{2}}{2} = 8

nên

∣ z ∣ = 4

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề thi thử ĐGTD ĐHBK HN năm 2025 - Mã đề 05 — Tư duy Toán học

Tư duy Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Lập chu kỳ

Bước 2: Xét số mũ

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Đặt tham số phụ

Bước 2: Đọc điều kiện trên đồ thị

Bước 3: Đổi sang tham số m

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định dạng xếp

Bước 2: Đếm cách sắp xếp

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Đặt dạng đại số

Bước 2: Lập hệ phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Nhớ các giới hạn cơ bản

Bước 2: Kiểm tra dãy lũy thừa

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Phân tích thừa số nguyên tố

Bước 2: Tính số ước

Câu 7

Câu 8

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Chọn tọa độ

Bước 2: Tối ưu độ dài

Bước 3: Tính góc và đối chiếu

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xác định độ dài và góc

Bước 2: Lập phương trình diện tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 3: Đổi sang tham số $m$

Bước $1$ : Xác định dạng xếp

Bước $2$ : Đếm cách sắp xếp