Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề thi thử ĐGTD ĐHBK HN năm 2025 - Mã đề 03 — Tư duy Toán học môn Toán học (Đánh giá Tư duy (TSA))

Câu 1

Gọi z là số phức nghịch đảo của $\frac{3}{25} - \frac{4}{25} i$ . Mô đun của z là [1].

Đáp án đúng: 5

Lời giải

Bước 1: Tính mô đun số đã cho

Áp dụng công thức mô đun cho $w = \frac{3}{25} - \frac{4}{25} i$ .

∣ w ∣ = (\frac{3}{25})^{2} + (- \frac{4}{25})^{2} = \frac{1}{5}

Bước 2: Tính mô đun nghịch đảo

Vì $z = w^{- 1}$ nên mô đun của $z$ là nghịch đảo mô đun của $w$ .

∣ z ∣ = \frac{1}{∣ w ∣} = \frac{1}{\frac{1}{5}} = 5

Đáp án:

5

— vì

∣ z ∣ = \frac{1}{∣ w ∣} = 5

.

Câu 2

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau.

Các phát biểu sau đây đúng hay sai?

Hình minh họa

A

Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng $- 1$

B

Hàm số có giá trị lớn nhất bằng $3$

C

Hàm số không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất

Câu này chưa có lời giải.

Câu 3

Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính $2, 5 m$ ; trục của nó đặt cách mặt nước $2 m$ . Khi guồng quay đều, khoảng cách $h$ (mét) từ một chiếc gàu gắn tại điểm $A$ của guồng đến mặt nước được tính theo công thức $h = ∣ y ∣$ , trong đó $y = 2 + 2, 5 sin [2 π (t - \frac{1}{4})]$ với $t$ (phút) là thời gian quay của guồng. Ta quy ước $y > 0$ khi gàu ở trên mặt nước và $y < 0$ khi gàu ở dưới nước. Sau khi guồng nước bắt đầu quay, thời điểm đầu tiên chiếc gầu ở vị trí thấp nhất là [1] phút

Hình minh họa

Đáp án đúng: 1 phút

Lời giải

Bước 1: Xác định điều kiện thấp nhất

Giá trị $y$ nhỏ nhất khi $sin [2 π (t - \frac{1}{4})] = - 1$ .

2 π (t - \frac{1}{4}) = \frac{3 π}{2} + 2 k π

Bước 2: Tìm thời điểm đầu tiên

Chọn giá trị đầu tiên phù hợp sau khi guồng bắt đầu quay: $k = 0$ .

t - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow t = 1

Đáp án:

1

phút — vì hàm số sin đạt giá trị nhỏ nhất

- 1

tại thời điểm đó.

Câu 4

Cho hai biến cố $A, B$ thỏa mãn $P (A) = 0, 4$ ; $P (B) = 0, 3$ và $P (A \cup B) = 0, 625$ . Khi đó, $P (A ∣ B)$ bằng

A

$0, 1875$

B

$0, 075$

C

$0, 4$

D

$0, 25$

Lời giải

Bước 1: Tìm xác suất giao

Dùng công thức xác suất hợp để tính $P (A \cap B)$ .

P (A \cap B) = P (A) + P (B) - P (A \cup B) = 0, 4 + 0, 3 - 0, 625 = 0, 075

Bước 2: Tính xác suất có điều kiện

Thay kết quả vừa tìm được vào công thức xác suất có điều kiện.

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} = \frac{0 , 075}{0 , 3} = 0, 25

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn D: $0, 25$ ; A, B, C sai vì lần lượt tính sai phép chia, lấy nhầm $P (A \cap B)$ hoặc nhầm với $P (A)$ .

Đáp án: D — Vì

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} = 0, 25

.

Câu 5

Số hình chữ nhật của hình dưới đây là [1].

Hình minh họa

Đáp án đúng: \boxed{306}

Lời giải

Bước 1: Đếm trên lưới đầy đủ

Lưới $5 \times 8$ có $6$ đường ngang và $9$ đường dọc.

C_{6}^{2} C_{9}^{2} = 15 \cdot 36 = 540

Bước 2: Đếm hình giao phần khuyết

Số khoảng cột giao $4$ cột khuyết là $C_{9}^{2} - C_{5}^{2} = 26$ ; số khoảng hàng giao $2$ hàng khuyết là $C_{6}^{2} - C_{4}^{2} = 9$ .

(C_{9}^{2} - C_{5}^{2}) (C_{6}^{2} - C_{4}^{2}) = 26 \cdot 9 = 234

Bước 3: Trừ phần không hợp lệ

Số hình chữ nhật nằm hoàn toàn trong hình chữ L là tổng số hình trên lưới trừ số hình giao phần khuyết.

540 - 234 = 306

Đáp án:

306

— lấy tổng

540

hình chữ nhật trừ

234

hình giao phần khuyết.

Câu 6

Một chất điểm chuyển động với quãng đường được cho bởi công thức $s (t) = \frac{1}{4} t^{4} - t^{3} + \frac{5}{2} t^{2} + 10 t$ , trong đó thời gian $t$ được tính bằng giây $(s)$ và quãng đường $s$ được tính bằng mét $(m)$ .

Tại thời điểm $t = 3$ , chất điểm chuyển động với gia tốc bằng [1] m/s².
Tại thời điểm $t = 2$ , chất điểm chuyển động với vận tốc bằng [2] m/s.
Vận tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm chất điểm có gia tốc chuyển động nhỏ nhất bằng [3] m/s.

A

16

B

15

C

13

D

14

Đáp án đúng: 16 — 13 — 14

Lời giải

Bước 1: Lập hàm vận tốc, gia tốc

Lấy đạo hàm quãng đường hai lần để được vận tốc và gia tốc.

v (t) = s^{'} (t) = t^{3} - 3 t^{2} + 5 t + 10, a (t) = v^{'} (t) = 3 t^{2} - 6 t + 5

Bước 2: Tính tại thời điểm đã cho

Thay $t = 3$ vào $a (t)$ và $t = 2$ vào $v (t)$ .

a (3) = 14 m/ s^{2}, v (2) = 16 m/s

Bước 3: Tìm vận tốc khi gia tốc nhỏ nhất

Vì $a (t) = 3 t^{2} - 6 t + 5$ có đỉnh tại $t = 1$ , vận tốc cần tìm là $v (1)$ .

t = \frac{- ( - 6 )}{2 \cdot 3} = 1, v (1) = 13 m/s

Đáp án: D —

14 m/ s^{2}

; A —

16 m/s

; C —

13 m/s

, do lần lượt tính

a (3)

,

v (2)

và

v (1)

.

Câu 7

Cho khối chóp $S . A B C$ có đáy là tam giác đều, $S A ⊥ (A B C), S C = a 3$ và $S C$ hợp với đáy một góc $3 0^{\circ}$ . Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

A

Chiều cao của khối chóp bằng $\frac{a 3}{2}$ .

B

Độ dài mỗi cạnh của tam giác $A B C$ bằng $\frac{a}{3}$ .

C

Thể tích của khối chóp là $\frac{9 a ^{3}}{32}$ .

Câu này chưa có lời giải.

Câu 8

Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc $v$ (km/h) phụ thuộc thời gian $t$ (h) có đồ thị là một phần của đường parabol như hình vẽ.
Quãng đường mà vật đi chuyển được trong 3 giờ đó là [1] km.

Hình minh họa

Đáp án đúng: 6

Lời giải

Bước $1$ : Tìm hàm vận tốc

Đặt $v (t) = a t^{2} + b t + c$ ; thay ba điểm trên đồ thị vào để lập hệ.

v (t) = a t^{2} + b t + c, ⎩ ⎨ ⎧ c = 2 a + b + c = 1 9 a + 3 b + c = 5 ⟹ a = 1, b = - 2, c = 2 ⟹ v (t) = t^{2} - 2 t + 2

Bước $2$ : Tính quãng đường

Quãng đường bằng diện tích dưới đồ thị $v (t)$ trên đoạn $[0; 3]$ .

S = \int_{0}^{3} (t^{2} - 2 t + 2) d t = [\frac{t ^{3}}{3} - t^{2} + 2 t]_{0}^{3} = 6 km

Đáp án:

6 km

— bằng diện tích dưới đồ thị vận tốc trên

[0; 3]

.

Câu 9

Hàm số nào trong các hàm số sau đây đồng biến trên $R$ ?

A

$y = x^{2024} + 1$

B

$y = x^{- 2} + 1$

C

$y = (x - 5)^{2}$

D

$y = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 42$

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Tính đạo hàm các phương án để kiểm tra dấu trên $R$ .

A : B : C : D : y^{'} = 2024 x^{2023} y^{'} = - 2 x^{- 3} (x \neq = 0) y^{'} = 2 (x - 5) y^{'} = 3 x^{2} - 30 x + 75

Bước 2: Phân tích dấu đạo hàm

Với phương án $D$ : $y^{'} = 3 (x - 5)^{2} \geq 0$ với mọi $x \in R$ ; dấu chỉ bằng $0$ tại $x = 5$ .

3 x^{2} - 30 x + 75 = 3 (x^{2} - 10 x + 25) = 3 (x - 5)^{2} \geq 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $D$ . Các phương án $A$ , $B$ , $C$ lần lượt sai vì $y^{'}$ âm khi $x < 0$ , không xác định tại $x = 0$ và đổi dấu tại $x = 5$ .

Đáp án:

D

— Vì

y^{'} = 3 (x - 5)^{2} \geq 0

với mọi

x \in R

.

Câu 10

Cho hình nón $(N)$ có đường cao $S O = 9$ và bán kính đáy bằng $R$ , gọi $M$ là điểm trên đoạn $S O$ sao cho $O M = x (0 < x < 9)$ . Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $S O$ tại $M$ giao với hình nón $(N)$ theo thiết diện là đường tròn $(C)$ . Giá trị của $x$ bằng [1] để khối nón có đỉnh là điểm $O$ và đáy là hình tròn $(C)$ có thể tích lớn nhất.

Đáp án đúng: 3

Lời giải

Bước $1$ : Tính bán kính mặt cắt

Hai tam giác đồng dạng cho bán kính đường tròn $(C)$ là $r$ .

r = R \cdot \frac{S M}{S O} = R \cdot \frac{9 - x}{9}

Bước $2$ : Lập hàm thể tích

Khối nón mới có chiều cao $O M = x$ và bán kính đáy $r$ .

V (x) = \frac{1}{3} π r^{2} x = \frac{π R ^{2}}{243} x (9 - x)^{2}

Bước $3$ : Tìm cực đại

Vì hệ số $\frac{π R ^{2}}{243} > 0$ , chỉ cần xét $f (x) = x (9 - x)^{2}$ trên $(0, 9)$ .

Hàm số tăng trên $(0, 3)$ và giảm trên $(3, 9)$ nên đạt cực đại tại $x = 3$ .

f^{'} (x) = (9 - x) (9 - 3 x); f^{'} (x) = 0 \Rightarrow x = 3 hoặc x = 9

Đáp án:

x = 3

— vì

f (x) = x (9 - x)^{2}

đạt cực đại tại

x = 3

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề thi thử ĐGTD ĐHBK HN năm 2025 - Mã đề 03 — Tư duy Toán học

Tư duy Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tính mô đun số đã cho

Bước 2: Tính mô đun nghịch đảo

Câu 2

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định điều kiện thấp nhất

Bước 2: Tìm thời điểm đầu tiên

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tìm xác suất giao

Bước 2: Tính xác suất có điều kiện

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Đếm trên lưới đầy đủ

Bước 2: Đếm hình giao phần khuyết

Bước 3: Trừ phần không hợp lệ

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Lập hàm vận tốc, gia tốc

Bước 2: Tính tại thời điểm đã cho

Bước 3: Tìm vận tốc khi gia tốc nhỏ nhất

Câu 7

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tìm hàm vận tốc

Bước 2: Tính quãng đường

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Phân tích dấu đạo hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tính bán kính mặt cắt

Bước 2: Lập hàm thể tích

Bước 3: Tìm cực đại

Bước $1$ : Tìm hàm vận tốc

Bước $2$ : Tính quãng đường

Bước $1$ : Tính bán kính mặt cắt

Bước $2$ : Lập hàm thể tích

Bước $3$ : Tìm cực đại