Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề thi test chất lượng đầu vào 2K9 — Tư duy Toán học (Đánh giá Tư duy (TSA))

Câu 1

Kéo các số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:

Cho ba hàm số sau: $f (x) = s i n x + c o s x, g (x) = 2 s i n x + 1, h (x) = {s i n}^{2} x + 2$ .

Số các hàm chă̂n trong ba hàm kể trên là : [1] .

Số các hàm tuần hoàn trong ba hàm kể trên là [2].

A

3

B

2

C

1

Đáp án đúng: 1 — 3

Lời giải

Bước 1: Xét tính chẵn

Hai hàm $f,g$ không chẵn, còn $h$ chẵn.

f (- x) = - sin x + cos x \neq = f (x), g (- x) = - 2 sin x + 1 \neq = g (x), h (- x) = sin^{2} x + 2 = h (x)

Bước 2: Xét tính tuần hoàn

$f,g$ tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$ ; $h$ tuần hoàn với chu kỳ $\pi$ .

T_{f} = T_{g} = 2 π, T_{h} = π

Bước 3: Đếm và điền ô

Có $1$ hàm chẵn và $3$ hàm tuần hoàn. Theo các ô đáp án: ô $[1]$ chọn C, ô $[2]$ chọn A.

N_{ch \tilde{\overset{a}{˘}} n} = 1, N_{tu \overset{ˋ}{\overset{a}{ˆ}} n ho \overset{a}{ˋ} n} = 3

Đáp án: Ô

[1]

: C; ô

[2]

: A — có

1

hàm chẵn và cả

3

hàm đều tuần hoàn.

Câu 2

Điền số tự nhiên thích hơp vào chỗ trống để được khẳng định đúng.
Cho hình hộp chữ nhật

A B C D \cdot A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có đáy

A B C D

là hình vuông cạnh bằng

a

, chiều cao bằng

a \sqrt{2}

. Góc giừa đường thẳng

A C^{'}

và mặt phẳng

(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

có số đo bằng

____

(1) (độ).

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 45

Lời giải

Bước 1: Xác định hình chiếu

Hình chiếu của $AC'$ lên $(A'B'C'D')$ là $A'C'$ .

Vì $A'B'C'D'$ là hình vuông nên $A'C'$ là đường chéo.

A^{'} C^{'} = a^{2} + a^{2} = a 2

Bước 2: Lập tỉ số lượng giác

Gọi góc cần tìm là $\alpha$ . Tam giác $AA'C'$ vuông tại $A'$ .

tan α = \frac{A A ^{'}}{A ^{'} C ^{'}} = \frac{a 2}{a 2} = 1

Bước 3: Tính góc

Vì $\alpha$ là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên $0^\circ<\alpha<90^\circ$ .

tan α = 1 \Rightarrow α = 4 5^{\circ}

Đáp án:

45

— vì hình chiếu

A'C'

và chiều cao

AA'

đều bằng

a\sqrt{2}

.

Câu 3

Điền một số nguyên dương thích hợp vào chỗ trống:
Số điểm biểu diễn các nghiệm cúa phương trình

s i n 2 x = \frac{1}{2}

trên đường tròn lượng giác là

____

(1)

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 4

Lời giải

Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát

Áp dụng công thức lượng giác với $t=2x$ .

sin 2 x = \frac{1}{2} \Rightarrow 2 x = \frac{π}{6} + 2 k π hoặc 2 x = \frac{5 π}{6} + 2 k π

Bước 2: Suy ra các góc biểu diễn

Suy ra hai họ nghiệm của $x$ ; xét trong một vòng quay $[0;2\pi)$ .

x = \frac{π}{12} + k π hoặc x = \frac{5 π}{12} + k π

Bước 3: Đếm số điểm

Với $k=0,1$ , mỗi họ cho $2$ nghiệm, tổng cộng $4$ điểm.

2 + 2 = 4

Đáp án:

4

— hai họ nghiệm, mỗi họ cho

2

điểm trên đường tròn lượng giác.

Câu 4

Cho hàm số

f (x)

liên tục trên đoạn

[a; b], a < b

, mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?

A

f(x) có nguyên hàm trên đoạn [a;b].

B

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn đó có dạng F(x)+C với C là một hằng số.

C

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b] thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x)=F(x)+C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b].

D

f(x) có nguyên hàm trên đoạn [a;b] thì f(x) có đạo hàm trên đoạn [a;b].

Lời giải

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề A, B, C

Theo định lý, $f$ liên tục trên $[a;b]$ nên có nguyên hàm; vì vậy $A$ đúng.

Nếu $F'=G'=f$ thì $(G-F)'=0$ , nên $G=F+C$ ; do đó $B$ , $C$ đúng.

f \in C ([a, b]) \Rightarrow \exists F : F^{'} = f; G^{'} - F^{'} = 0 \Rightarrow G - F = C

Bước 2: Kiểm tra mệnh đề D

Phản ví dụ trên $[-1;1]$ : chọn $f(x)=|x|$ . Hàm này có nguyên hàm nhưng không có đạo hàm tại $x=0$ .

Một nguyên hàm tương ứng là $F(x)=\frac{x|x|}{2}$ .

f (x) = ∣ x ∣, F (x) = \frac{x ∣ x ∣}{2}, f_{-}^{'} (0) = - 1 \neq = 1 = f_{+}^{'} (0)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $D$ vì mệnh đề này sai; $A$ , $B$ , $C$ đúng lần lượt theo định lý tồn tại nguyên hàm và tính chất các nguyên hàm sai khác nhau một hằng số.

Đáp án: D — có nguyên hàm không đồng nghĩa với có đạo hàm, như

f(x)=|x|

tại

x=0

.

Câu 5

Trong không gian

O x y z

, có bao nhiêu điểm

I

cùng cách ba mặt phẳng tọa độ

(O x y), (O y z), (O z x)

một khoảng bằng 2024?

A

1 điểm.

B

4 điểm.

C

8 điểm.

D

vô số điểm.

Lời giải

Bước 1: Lập các khoảng cách

Khoảng cách đến ba mặt phẳng tọa độ lần lượt bằng giá trị tuyệt đối của tọa độ vuông góc với mặt phẳng.

d_{(O x y)} = ∣ z ∣, d_{(O y z)} = ∣ x ∣, d_{(O z x)} = ∣ y ∣

Bước 2: Xác định tọa độ

Ba khoảng cách cùng bằng $2024$ nên mỗi tọa độ nhận một trong hai giá trị $-2024$ hoặc $2024$ .

∣ x ∣ = ∣ y ∣ = ∣ z ∣ = 2024 ⟹ x, y, z \in {- 2024, 2024}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Có $2^3=8$ cách chọn dấu cho ba tọa độ. Chọn $C$ ; $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt đếm thiếu số điểm, đếm thiếu các tổ hợp dấu, và cho rằng có vô số điểm.

2^{3} = 8

Đáp án: C — Mỗi tọa độ có

2

lựa chọn dấu, nên có

2^3=8

điểm.

Câu 6

Một viên bi bằng kim loại được nung nóng rồi thả vào một thùng chứa chất lỏng. Nhiệt độ của nó (đơn vị

^{\circ} C

) sau khi thả vào thùng chất lỏng

t

giây được tính bằng công thức

T (t) = 400 \cdot e^{- 0, 000667 . t} + 24

. Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?

A

Nhiệt độ của viên bi khi nó bắt đầu được thả vào thùng chất lỏng là $424^∘C$ .

B

Khoảng thời gian (làm tròn đến giây) viên bi có nhiệt độ giảm từ $400^∘C đến 300^∘C$ là 460 giây.

Câu này chưa có lời giải.

Câu 7

Điền một số nguyên dương thích hợp vào chỗ trống.
Cho hàm số

y = f (x)

xác định trên

R

và

\underset{x \to 3}{l i m} \frac{f (x) - f (3)}{x - 3} = 10

.
Giới hạn

\underset{x \to 1}{l i m} \frac{f (2 x^{2} + 1) - f (3)}{x - 1} =

____

(1) .

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 40

Lời giải

Bước 1: Tách thành hai thừa số

Đặt $t=2x^2+1$ ; khi $x\to1$ thì $t\to3$ .

x \to 1 lim \frac{f ( 2 x ^{2} + 1 ) - f ( 3 )}{x - 1} = x \to 1 lim [\frac{f ( 2 x ^{2} + 1 ) - f ( 3 )}{2 x ^{2} + 1 - 3} \cdot \frac{2 x ^{2} + 1 - 3}{x - 1}]

Bước 2: Tính từng giới hạn

Thừa số thứ nhất bằng $10$ theo giả thiết; thừa số thứ hai dùng $2x^2+1-3=2(x-1)(x+1)$ .

x \to 1 lim \frac{f ( 2 x ^{2} + 1 ) - f ( 3 )}{x - 1} = 10 \cdot x \to 1 lim 2 (x + 1) = 10 \cdot 4 = 40

Đáp án:

40

— tách giới hạn thành tích, được

10\cdot2(1+1)=40

.

Câu 8

Một quả bóng tennis tiêu chuẩn có đường kính là

6, 7 c m

. Giả sử lớp vỏ của bóng có độ dày là

0, 3 c m

, và khối lượng riêng của vật liệu làm vỏ bóng là

1, 55 g / c m^{3}

. Tính khối lượng của quả bóng tennis (chỉ tính phần cau su như hình vẽ). Sử dụng

π \approx 3, 14

.

Hình minh họa

A

59,0g

B

59,85g

C

62,42g

D

65,58g

Lời giải

Nội dung bổ sung

Bán kính ngoài là 3,35 cm, bán kính trong là 3,05 cm. Thể tích cao su bằng 4/3 × 3,14 × (3,35^3 - 3,05^3). Nhân khối lượng riêng 1,55 g/cm3 được khoảng 59,85 g.

Câu 9

Tìm tất cả các số nguyên

a

sao cho tồn tại

b \in R

thỏa mãn phương trình:

5^{a + b} = 2^{a^{2} + b^{2}} .

Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương

a

thỏa mãn?

Đáp án: [[____]]

Đáp án đúng: 2

Lời giải

Nội dung bổ sung

Đặt k=log_2(5). Lấy log cơ số 2 hai vế được a^2+b^2=k(a+b). Xem đây là phương trình bậc hai theo b. Điều kiện tồn tại b thực cho a nằm xấp xỉ từ -0,48 đến 2,80. Vì a là số nguyên dương nên chỉ có a=1 và a=2, tổng cộng 2 giá trị.

Câu 10

Xét chuỗi hình học

\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{3})}^{n}

.

1. Tổng của chuỗi vô hạn là: [1]

2. Tổng của 5 số hạng đầu tiên là: [2]

3. Tỷ số giữa số hạng thứ 4 và số hạng thứ 2 của chuỗi hình học là: [3]

Các giá trị kéo thả:

A

1,5

B

1,2

C

1

D

1/9

E

121/81

Đáp án đúng: 1,5 — 121/81 — 1/9

Lời giải

Bước 1: Tính tổng vô hạn

Vì $\left\lvert\frac{1}{3}\right\rvert<1$ , chuỗi hội tụ.

S = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2} = 1, 5

Bước 2: Tính năm số hạng đầu

Năm số hạng đầu là $u_0,u_1,u_2,u_3,u_4$ .

S_{4} = \frac{1 ( 1 - ( \frac{1}{3} ) ^{5} )}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{121}{81}

Bước 3: Tính tỉ số hai số hạng

Số hạng thứ $4$ là $u_3$ , số hạng thứ $2$ là $u_1$ .

\frac{u _{3}}{u _{1}} = q^{2} = (\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Kết quả lần lượt ứng với phương án $A$ , $E$ , $D$ .

1 \to A, 2 \to E, 3 \to D

Đáp án: Đáp án:

1

–

A

,

2

–

E

,

3

–

D

vì các kết quả lần lượt là

1,5

,

\frac{121}{81}

và

\frac{1}{9}

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề thi test chất lượng đầu vào 2K9 — Tư duy Toán học

Tư duy Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Xét tính chẵn

Bước 2: Xét tính tuần hoàn

Bước 3: Đếm và điền ô

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Xác định hình chiếu

Bước 2: Lập tỉ số lượng giác

Bước 3: Tính góc

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát

Bước 2: Suy ra các góc biểu diễn

Bước 3: Đếm số điểm

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề A, B, C

Bước 2: Kiểm tra mệnh đề D

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Lập các khoảng cách

Bước 2: Xác định tọa độ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tách thành hai thừa số

Bước 2: Tính từng giới hạn

Câu 8

Lời giải

Nội dung bổ sung

Câu 9

Lời giải

Nội dung bổ sung

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tính tổng vô hạn

Bước 2: Tính năm số hạng đầu

Bước 3: Tính tỉ số hai số hạng

Bước 4: Đối chiếu phương án