Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc năm 2025 - Lần 3 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Cho $\int_{0}^{1} f (x) d x = 2$ và $\int_{0}^{1} g (x) d x = 5$ . Tính tích phân $\int_{0}^{1} [f (x) - g (x)] d x$ .

A

10.

B

-3.

C

3.

D

7.

Lời giải

Bước 1: Tách tích phân

Áp dụng tính chất tuyến tính của tích phân cho hiệu $f (x) - g (x)$ .

\int_{0}^{1} [f (x) - g (x)] d x = \int_{0}^{1} f (x) d x - \int_{0}^{1} g (x) d x

Bước 2: Thay số

Thay các giá trị đã cho vào biểu thức trên.

2 - 5 = - 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ lần lượt sai do nhân, đổi thứ tự hiệu và cộng hai giá trị.

Đáp án:

B . - 3

— dùng tính chất tuyến tính:

\int_{0}^{1} f (x) d x - \int_{0}^{1} g (x) d x = 2 - 5 = - 3

.

Câu 2

Họ nguyên hàm của hàm số $y = 2^{x}$ là

A

$2^{x} ln 2 + C$ .

B

$2^{x} + C$ .

C

$\frac{e ^{x}}{l n 2} + C$ .

D

$\frac{2 ^{x}}{l n 2} + C$ .

Lời giải

Bước 1: Nhớ công thức

Áp dụng công thức nguyên hàm hàm mũ với cơ số $a$ .

\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C

Bước 2: Thay cơ số

Ở đây $a = 2$ , nên thay trực tiếp vào công thức.

\int 2^{x} d x = \frac{2 ^{x}}{ln 2} + C

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ ; $A$ , $B$ , $C$ lần lượt sai do nhân với $ln 2$ , thiếu $ln 2$ , và dùng sai cơ số.

\frac{2 ^{x}}{ln 2} + C

Đáp án: Đáp án

D

— đúng theo công thức

\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C

.

Câu 3

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 4}{x + 1}$ có phương trình là

A

$x = - 1$ .

B

$x = 2$ .

C

$y = - 4$ .

D

$y = 2$ .

Lời giải

Bước 1: Cho mẫu số bằng $0$

Giải phương trình mẫu số bằng $0$ để tìm giá trị $x$ cần xét.

x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1

Bước 2: Kiểm tra tử số

Tại $x = - 1$ , tử số khác $0$ nên giá trị này tạo tiệm cận đứng.

2 (- 1) - 4 = - 6 \neq = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A: $x = - 1$ ; B sai vì không làm mẫu số bằng $0$ , còn C và D là các đường thẳng ngang.

Đáp án: A — Vì mẫu số bằng

0

tại

x = - 1

và tử số tại đó khác

0

.

Câu 4

Thời gian hoàn thành bài kiểm tra môn Toán của một nhóm 20 học sinh được cho trong bảng sau. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là

A

25.

B

65.

C

20.

D

90.

Lời giải

Bước 1: Xác định hai giá trị biên

Cận dưới lớp đầu cho $x_{m i n} = 65$ ; cận trên lớp cuối cho $x_{m a x} = 90$ .

x_{m i n} = 65, x_{m a x} = 90

Bước 2: Tính khoảng biến thiên

Áp dụng công thức khoảng biến thiên.

R = x_{m a x} - x_{m i n} = 90 - 65 = 25

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ . $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt là giá trị nhỏ nhất, số học sinh và giá trị lớn nhất.

Đáp án:

A

— Khoảng biến thiên bằng

90 - 65 = 25

.

Câu 5

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , mặt phẳng $(α) : x + y - 2 z - 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là

A

$n_{α} = (1; - 1; 2)$ .

B

$n_{α} = (1; - 1; - 2)$ .

C

$n_{α} = (1; 1; 2)$ .

D

$n_{α} = (1; 1; - 2)$ .

Lời giải

Bước 1: Xác định hệ số

Đối chiếu $(α)$ với dạng $A x + B y + C z + D = 0$ để lấy các hệ số tương ứng.

A = 1, B = 1, C = - 2

Bước 2: Đối chiếu phương án

Suy ra một vectơ pháp tuyến là $n_{α} = (1; 1; - 2)$ .

Chọn $D$ ; các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt sai dấu của $B$ và $C$ , sai dấu của $B$ , và sai dấu của $C$ .

n_{α} = (A; B; C) = (1; 1; - 2)

Đáp án:

D

— vì

n_{α} = (1; 1; - 2)

đúng bằng ba hệ số của

x

,

y

,

z

.

Câu 6

Hàm số $y = \frac{x ^{2} + x + 4}{x + 1}$ có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

A

2.

B

3.

C

1.

D

0.

Lời giải

Bước 1: Tìm miền xác định

Mẫu số khác $0$ , đồng thời biến đổi hàm số để tính đạo hàm nhanh.

x + 1 \neq = 0 \Rightarrow x \neq = - 1, y = x + \frac{4}{x + 1}

Bước 2: Tìm nghiệm đạo hàm

Giải $y^{'} = 0$ để tìm các điểm có khả năng là cực trị.

y^{'} = 1 - \frac{4}{( x + 1 ) ^{2}} = 0 \Rightarrow (x + 1)^{2} = 4 \Rightarrow x = 1 hoặc x = - 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Hai nghiệm $x = 1$ và $x = - 3$ đều thuộc miền xác định; $y^{'}$ đổi dấu qua mỗi nghiệm nên đều tạo cực trị.

Chọn A; B, C, D sai vì lần lượt cho thừa, thiếu một hoặc không đếm điểm cực trị.

Đáp án: A.

2

— hàm số có hai điểm cực trị tại

x = - 3

và

x = 1

.

Câu 7

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x - 4)^{2} + (y + 5)^{2} + (z - 6)^{2} = 9$ . Tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ lần lượt là

A

$I (- 4; 5; - 6), R = 3$ .

B

$I (4; - 5; 6), R = 9$ .

C

$I (- 4; 5; - 6), R = 9$ .

D

$I (4; - 5; 6), R = 3$ .

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng dạng chuẩn

Đối chiếu phương trình đã cho với dạng chuẩn của mặt cầu.

(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} + (z - z_{0})^{2} = R^{2}

Bước 2: Xác định tâm và bán kính

So sánh từng ngoặc, chú ý $y + 5 = y - (- 5)$ .

x_{0} = 4, y_{0} = - 5, z_{0} = 6, R = 9 = 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $D$ : $I (4; - 5; 6)$ , $R = 3$ ; $A$ và $C$ sai dấu tọa độ tâm, còn $B$ nhầm $R^{2} = 9$ với $R$ .

Đáp án:

D

— Vì

I (4; - 5; 6)

và

R = 3

.

Câu 8

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho hai vectơ $a (1; 2; 3)$ ; $b (2; 2; - 1)$ . Tọa độ của vectơ $d = a - 2 b$ là

A

$d = (- 3; - 2; 4)$ .

B

$d = (- 1; - 2; 5)$ .

C

$d = (- 3; - 2; 5)$ .

D

$d = (- 3; 0; 5)$ .

Lời giải

Bước 1: Tính bội của vectơ

Nhân hệ số với từng tọa độ của $b$ .

2 b = 2 (2; 2; - 1) = (4; 4; - 2)

Bước 2: Thực hiện phép trừ

Thay kết quả vào biểu thức của $d$ và trừ theo từng tọa độ.

d = (1; 2; 3) - (4; 4; - 2) = (- 3; - 2; 5)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ . Các phương án $A$ , $B$ , $D$ lần lượt sai ở tọa độ thứ ba, thứ nhất và thứ hai.

Đáp án:

C

— Vì

d = (- 3; - 2; 5)

.

Câu 9

Cho hình chóp tứ giác $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật, $A B = a, B C = 2 a$ . Cạnh bên $S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $S A = 3 a$ . Thể tích của khối chóp $S . A B C D$ bằng

A

$3 a^{3}$ .

B

$a^{3}$ .

C

$2 a^{3}$ .

D

$6 a^{3}$ .

Lời giải

Bước 1: Tính diện tích đáy

Đáy là hình chữ nhật nên tính theo tích hai cạnh kề.

S_{A B C D} = A B \cdot B C = a \cdot 2 a = 2 a^{2}

Bước 2: Xác định chiều cao

Vì $S A ⊥ (A B C D)$ nên chiều cao khối chóp là $h = S A$ .

h = S A = 3 a

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn C vì $V = 2 a^{3}$ ; A, B, D lần lượt sai do nhân sai hệ số, bỏ quên cạnh $B C$ , và nhân đôi kết quả.

V = \frac{1}{3} \cdot 2 a^{2} \cdot 3 a = 2 a^{3}

Đáp án: C — Vì thể tích khối chóp bằng

2 a^{3}

.

Câu 10

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $R$ và có bảng biến thiên như sau. Hàm số $y = f (x)$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A

$(- \infty; 1)$ .

B

$(3; + \infty)$ .

C

$(- 1; 2)$ .

D

$(- 1; 4)$ .

Lời giải

Bước 1: Đọc dấu đạo hàm

Bảng biến thiên cho $f^{'} (x) < 0$ trên khoảng $(- 1; 3)$ .

f^{'} (x) < 0, x \in (- 1; 3)

Bước 2: Xác định khoảng nghịch biến

Mọi khoảng con của $(- 1; 3)$ đều là khoảng nghịch biến của hàm số.

(- 1; 2) \subset (- 1; 3)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn C: $(- 1; 2)$ . A, B, D sai vì lần lượt chứa vùng $f^{'} (x) > 0$ , nằm trên vùng $f^{'} (x) > 0$ , và chứa $(3; 4)$ nơi $f^{'} (x) > 0$ .

Đáp án: C.

(- 1; 2)

— khoảng này nằm trọn trong vùng

f^{'} (x) < 0

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc năm 2025 - Lần 3

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tách tích phân

Bước 2: Thay số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Nhớ công thức

Bước 2: Thay cơ số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Cho mẫu số bằng 0

Bước 2: Kiểm tra tử số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Xác định hai giá trị biên

Bước 2: Tính khoảng biến thiên

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Xác định hệ số

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tìm miền xác định

Bước 2: Tìm nghiệm đạo hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng dạng chuẩn

Bước 2: Xác định tâm và bán kính

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tính bội của vectơ

Bước 2: Thực hiện phép trừ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tính diện tích đáy

Bước 2: Xác định chiều cao

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Đọc dấu đạo hàm

Bước 2: Xác định khoảng nghịch biến

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 1: Cho mẫu số bằng $0$