Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc năm 2025 - Lần 2 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Đường Elip $\frac{x ^{2}}{17} + \frac{y ^{2}}{8} = 1$ có tiêu cự bằng

A

$8$

B

$9$

C

$6$

D

$3$

Lời giải

Bước 1: Xác định $a^{2}, b^{2}$

Mẫu số lớn hơn nằm dưới $x^{2}$ , nên trục lớn là $O x$ .

a^{2} = 17, b^{2} = 8

Bước 2: Tính tiêu cự

Tính bán tiêu cự rồi nhân đôi để được tiêu cự.

c = a^{2} - b^{2} = 17 - 8 = 3, 2 c = 6

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $C . 6$ ; các phương án $A, B, D$ lần lượt là $b^{2}$ , $c^{2}$ và $c$ , không phải tiêu cự.

Đáp án: C.

6

— tiêu cự bằng

2 c = 6

.

Câu 2

Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm $I (- 1; - 2; 3)$ và tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) có phương trình là

A

$x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x + 4 y - 6 z + 12 = 0$

B

$(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 4$

C

$(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 9$

D

$(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 1$

Lời giải

Bước 1: Tính bán kính

Mặt phẳng $(O y z)$ có phương trình $x = 0$ .

d (I, (O y z)) = ∣ - 1 ∣ = 1 = r

Bước 2: Lập phương trình

Thay tâm $I (- 1; - 2; 3)$ và bán kính $r = 1$ vào công thức mặt cầu.

(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $D$ ; $A$ sai vì hằng số đúng khi khai triển là $14$ , không phải $12$ ; $B, C$ sai vì lần lượt dùng $r = 2$ và $r = 3$ .

Đáp án:

D

— Bán kính bằng khoảng cách từ

I

đến

(O y z)

, nên

r = 1

.

Câu 3

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục và không âm trên đoạn $[1; 4]$ . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f (x)$ và các đường thẳng $x = 1, x = 4, y = 0$ là:

A

$S = π \int_{1}^{4} f^{2} (x) d x$

B

$S = \int_{1}^{4} f (x) d x$

C

$S = \int_{1}^{4} f^{2} (x) d x$

D

$S = π \int_{1}^{4} f (x) d x$

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức diện tích

Vì $f (x) \geq 0$ trên $[1; 4]$ , diện tích là tích phân của $f (x)$ trên đoạn đó.

S = \int_{1}^{4} f (x) d x

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn B; A và D sai vì có hệ số $π$ , còn C sai vì dùng $f^{2} (x)$ thay cho $f (x)$ .

Đáp án: B — Diện tích hình phẳng bằng

\int_{1}^{4} f (x) d x

.

Câu 4

Phương trình $2 cos x + 2 = 0$ có các nghiệm là

A

$x = \frac{π}{4} + k 2 π, x = - \frac{π}{4} + k 2 π (k \in Z)$

B

$x = - \frac{π}{4} + k 2 π, x = \frac{3 π}{4} + k 2 π (k \in Z)$

C

$x = \frac{3 π}{4} + k 2 π, x = - \frac{3 π}{4} + k 2 π (k \in Z)$

D

$x = \frac{5 π}{4} + k 2 π, x = - \frac{π}{4} + k 2 π (k \in Z)$

Lời giải

Bước 1: Đưa về dạng chuẩn

Chuyển hằng số sang vế phải rồi chia hai vế cho $2$ .

2 cos x + 2 = 0 ⟺ cos x = - \frac{2}{2}

Bước 2: Viết nghiệm tổng quát

Các góc có côsin bằng $- \frac{2}{2}$ là $\frac{3 π}{4}$ và $- \frac{3 π}{4}$ .

cos x = - \frac{2}{2} ⟹ x = \frac{3 π}{4} + 2 k π hoặc x = - \frac{3 π}{4} + 2 k π, k \in Z

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $C$ đúng; $A$ , $B$ , $D$ sai vì mỗi phương án chứa ít nhất một góc có $cos x = \frac{2}{2}$ .

Đáp án: Đáp án

C

— nghiệm là

x = \frac{3 π}{4} + 2 k π

hoặc

x = - \frac{3 π}{4} + 2 k π

, với

k \in Z

.

Câu 5

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ có phương trình là

A

$y = 1$

B

$x = 1$

C

$y = 2$

D

$x = 2$

Lời giải

Bước 1: Xác định bậc đa thức

Tử và mẫu đều là đa thức bậc $1$ , nên dùng tỉ số hệ số của $x$ .

Bước 2: Tính giới hạn

Tỉ số hệ số dẫn đầu bằng $2$ , nên giới hạn của hàm số khi $x \to \pm \infty$ bằng $2$ .

x \to \pm \infty lim \frac{2 x - 1}{x - 1} = \frac{2}{1} = 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án C: $y = 2$ ; A, B, D sai vì $y = 1$ không phải giới hạn, $x = 1$ là tiệm cận đứng, còn $x = 2$ không phải tiệm cận ngang.

y = 2

Đáp án: C.

y = 2

— Vì

lim_{x \to \pm \infty} y = 2

.

Câu 6

Phương trình $x^{3} + 4 x^{2} + 2 x = x$ có bao nhiêu nghiệm?

A

$1$

B

$3$

C

$0$

D

$2$

Lời giải

Bước $1$ : Xét điều kiện

Vì căn bậc hai không âm nên $x \geq 0$ .

Với điều kiện này, biểu thức dưới căn cũng không âm.

x \geq 0 \Rightarrow x^{3} + 4 x^{2} + 2 x = x (x^{2} + 4 x + 2) \geq 0

Bước $2$ : Bình phương và giải

Bình phương hai vế, rồi phân tích thành nhân tử.

Đối chiếu điều kiện $x \geq 0$ , chỉ giữ nghiệm $x = 0$ .

x^{3} + 4 x^{2} + 2 x = x ⟺ x^{3} + 4 x^{2} + 2 x = x^{2} ⟺ x (x^{2} + 3 x + 2) = 0 ⟺ x \in {0, - 1, - 2}

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Chọn $A . 1$ ; $B$ sai vì giữ hai nghiệm âm sau khi bình phương, còn $C, D$ sai vì lần lượt bỏ sót nghiệm $x = 0$ và đếm sai số nghiệm.

Đáp án:

A . 1

— phương trình chỉ có nghiệm thực

x = 0

.

Câu 7

Một nguyên hàm của hàm số $f (x) = sin^{2} x$ là

A

$F (x) = sin 2 x$

B

$F (x) = cos 2 x$

C

$F (x) = \frac{x}{2} - \frac{sin 2 x}{2}$

D

$F (x) = \frac{x}{2} - \frac{sin 2 x}{4}$

Lời giải

Bước 1: Hạ bậc biểu thức

Áp dụng công thức hạ bậc cho $sin^{2} x$ .

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}

Bước 2: Tính nguyên hàm

Lấy nguyên hàm hai vế và rút gọn.

\int sin^{2} x d x = \frac{1}{2} \int (1 - cos 2 x) d x = \frac{x}{2} - \frac{sin 2 x}{4} + C

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bỏ hằng số $C$ , được $F (x) = \frac{x}{2} - \frac{s i n 2 x}{4}$ nên chọn $D$ ; $A$ , $B$ , $C$ sai lần lượt do đạo hàm không bằng $sin^{2} x$ hoặc sai hệ số.

Đáp án:

D

— vì

F (x) = \frac{x}{2} - \frac{s i n 2 x}{4}

có đạo hàm bằng

sin^{2} x

.

Câu 8

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ sau. Điểm cực đại của hàm số đã cho là

A

$F (3; 3)$

B

$M (0; 3)$

C

$E (- 1; - 1)$

D

$N (2; - 1)$

Lời giải

Bước $1$ : Xác định hoành độ cực đại

Hàm số chuyển từ đồng biến trên $(- \infty; 0)$ sang nghịch biến trên $(0; 2)$ .

x = 0

Bước $2$ : Xác định điểm trên đồ thị

Tại hoành độ $x = 0$ , điểm cực đại trên đồ thị là $M (0; 3)$ .

M (0; 3)

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Chọn $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt ứng với điểm đang đồng biến, điểm đang đồng biến và điểm cực tiểu.

Đáp án:

B

.

M (0; 3)

— hàm số đổi chiều từ đồng biến sang nghịch biến tại

x = 0

.

Câu 9

Trong không gian Oxyz, cho hai véc tơ $a = (1; - 2; - 1), b = (2; - 4; 2)$ . Khi đó $a \cdot b$ bằng?

A

$8$

B

$- 8$

C

$12$

D

$- 12$

Lời giải

Bước 1: Viết công thức

Áp dụng công thức tích vô hướng theo từng tọa độ tương ứng.

a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}

Bước 2: Thay số và tính

Thay các tọa độ của hai véc-tơ vào công thức.

a \cdot b = 1 \cdot 2 + (- 2) \cdot (- 4) + (- 1) \cdot 2 = 2 + 8 - 2 = 8

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A: $8$ ; các phương án B, C, D sai do sai dấu hoặc cộng nhầm.

Đáp án: A.

8

— Tích vô hướng tính được bằng

8

.

Câu 10

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình chữ nhật, $A B = a, A D = 2 a$ . Cạnh bên $S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp đã cho bằng

A

$\frac{4}{3} a^{3}$

B

$2 a^{3}$

C

$4 a^{3}$

D

$4 a^{2}$

Lời giải

Bước 1: Tính diện tích đáy

Đáy $A B C D$ là hình chữ nhật nên diện tích là $S_{đ \overset{a}{ˊ} y} = A B \cdot A D$ .

S_{đ \overset{a}{ˊ} y} = a \cdot 2 a = 2 a^{2}

Bước 2: Xác định chiều cao

Vì $S A ⊥ (A B C D)$ nên chiều cao khối chóp là $h = S A = 2 a$ .

h = 2 a

Bước 3: Tính và đối chiếu

Áp dụng công thức thể tích khối chóp.

V = \frac{1}{3} \cdot 2 a^{2} \cdot 2 a = \frac{4}{3} a^{3}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn A: $\frac{4}{3} a^{3}$ ; B, C, D sai lần lượt do thiếu hệ số $\frac{1}{3}$ , sai hệ số và sai bậc của $a$ .

Đáp án: A.

\frac{4}{3} a^{3}

— tính theo

V = \frac{1}{3} S_{đ \overset{a}{ˊ} y} h

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc năm 2025 - Lần 2

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Xác định a2,b2

Bước 2: Tính tiêu cự

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tính bán kính

Bước 2: Lập phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức diện tích

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Đưa về dạng chuẩn

Bước 2: Viết nghiệm tổng quát

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Xác định bậc đa thức

Bước 2: Tính giới hạn

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Xét điều kiện

Bước 2: Bình phương và giải

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Hạ bậc biểu thức

Bước 2: Tính nguyên hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Xác định hoành độ cực đại

Bước 2: Xác định điểm trên đồ thị

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Viết công thức

Bước 2: Thay số và tính

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tính diện tích đáy

Bước 2: Xác định chiều cao

Bước 3: Tính và đối chiếu

Bước 4: Đối chiếu phương án

Bước 1: Xác định $a^{2}, b^{2}$

Bước $1$ : Xét điều kiện

Bước $2$ : Bình phương và giải

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Xác định hoành độ cực đại

Bước $2$ : Xác định điểm trên đồ thị

Bước $3$ : Đối chiếu phương án