Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc năm 2025 Lần 1 - Mã đề 103 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Chọn ngẫu nhiên 2 bạn từ một tổ có 10 học sinh (gồm 6 bạn nữ và 4 bạn nam), xác suất chọn được 2 bạn nữ là

A

$\frac{3}{5}$

B

$\frac{1}{5}$

C

$\frac{1}{3}$

D

$\frac{1}{6}$

Lời giải

Bước 1: Đếm số cách chọn

Tổng số cách chọn $2$ bạn từ $10$ bạn là:

C_{10}^{2} = 45

Bước 2: Tính xác suất

Số cách chọn $2$ bạn nữ từ $6$ bạn nữ là $C_{6}^{2} = 15$ .

P = \frac{C _{6}^{2}}{C _{10}^{2}} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án C: $\frac{1}{3}$ . A, B, D sai vì không tính đúng số trường hợp chọn đồng thời $2$ bạn nữ.

Đáp án: C — Vì xác suất chọn được

2

bạn nữ là

\frac{1}{3}

.

Câu 2

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn $[- 1; 5]$ và có đồ thị như hình vẽ sau. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f (x)$ trên đoạn $[- 1; 5]$

A

1

B

2

C

4

D

-1

Lời giải

Bước $1$ : Liệt kê giá trị cần xét

Từ đồ thị, xét hai đầu mút và các điểm cực trị.

f (- 1) = - 2, f (0) = 1, f (2) = - 2, f (5) = 3

Bước $2$ : Xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

So sánh các giá trị vừa liệt kê để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

[- 1, 5] max f (x) = 3, [- 1, 5] min f (x) = - 2

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Tổng cần tìm là $3 + (- 2) = 1$ . Chọn phương án $A$ ; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho $2$ , $4$ , $- 1$ .

max f + min f = 3 + (- 2) = 1

Đáp án:

A . 1

— vì giá trị lớn nhất là

3

và giá trị nhỏ nhất là

- 2

.

Câu 3

Cho mẫu số liệu ghép nhóm về số tiền (đơn vị: Nghìn đồng) mà 60 khách hàng mua sách ở một cửa hàng trong một ngày như sau. Trung vị mẫu số liệu là

A

$M_{e} = 25$

B

$M_{e} = 65$

C

$M_{e} = 60, 8$

D

$M_{e} = 66, 8$

Lời giải

Bước 1: Xác định vị trí trung vị

Tính tổng số quan sát và vị trí trung vị.

n = 5 + 8 + 25 + 20 + 2 = 60, \frac{n}{2} = 30

Bước 2: Chọn lớp trung vị

Tần số tích lũy trước lớp $[60; 70)$ là $13$ , còn đến lớp này là $38$ ; do đó lớp trung vị là $[60; 70)$ .

5 + 8 = 13 < 30 \leq 13 + 25 = 38

Bước 3: Tính và đối chiếu

Với $l = 60$ , $F = 13$ , $f = 25$ , $h = 10$ , áp dụng công thức trung vị.

M_{e} = 60 + \frac{30 - 13}{25} \cdot 10 = 60 + 6, 8 = 66, 8

Đáp án: D.

M_{e} = 66, 8

— kết quả đúng theo công thức trung vị của số liệu ghép nhóm.

Câu 4

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $R$ và có bảng xét dấu của $f^{'} (x)$ như hình dưới đây. Hàm số $y = f (x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A

1

B

3

C

4

D

2

Lời giải

Bước 1: Xác định điểm tới hạn

Các điểm cần xét là những nghiệm của $f^{'} (x) = 0$ .

x = - 2, - 1, 0, 2

Bước 2: Xét sự đổi dấu

Tại $x = - 2, 0$ , dấu đổi từ âm sang dương; tại $x = - 1, 2$ , dấu đổi từ dương sang âm.

Vì vậy, cả bốn điểm đều là điểm cực trị.

x f^{'} (x) Loại - 2 - \to + cực tiểu - 1 + \to - cực đ ại 0 - \to + cực tiểu 2 + \to - cực đ ại

Bước 3: Đối chiếu phương án

Có $4$ điểm cực trị, nên chọn phương án $C$ ; các phương án $A$ , $B$ , $D$ đều cho sai số lượng.

4

Đáp án: C — Hàm số có

4

điểm cực trị.

Câu 5

Trong không gian $O x y z$ , cho hai vectơ $u = (3; - 4; 5)$ và $v = (5; 7; - 1)$ . Tọa độ của vectơ $u + v$ là

A

$u + v = (8; 3; 4)$

B

$u + v = (- 8; - 3; - 4)$

C

$u + v = (2; 11; - 6)$

D

$u + v = (- 2; - 11; 6)$

Lời giải

Bước 1: Cộng từng tọa độ

Áp dụng công thức cộng vectơ theo từng thành phần.

u + v = (3 + 5; - 4 + 7; 5 + (- 1)) = (8; 3; 4)

Bước 2: Đối chiếu phương án

Phương án $A$ đúng; $B, C, D$ sai vì lần lượt đổi dấu hoặc tính sai các thành phần.

Đáp án: Phương án

A

:

u + v = (8; 3; 4)

do cộng đúng từng tọa độ.

Câu 6

Tập xác định của hàm số $y = lo g (1 - x)$ là

A

$(- \infty; 1)$

B

$(1; + \infty)$

C

$[1; + \infty)$

D

$(- \infty; + \infty)$

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện xác định

Biểu thức trong logarit phải dương.

1 - x > 0 ⟺ x > 1

Bước 2: Đối chiếu phương án

Suy ra tập xác định là $(1; + \infty)$ , ứng với phương án $B$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì không cho đúng khoảng giá trị của $x$ .

Đáp án:

B . (1; + \infty)

— vì điều kiện xác định là

1 - x > 0

.

Câu 7

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $R$ và có đạo hàm $f^{'} (x) = (x + 4) (x - 3)$ . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A

$(- 4; 3)$

B

$(- \infty; 3)$

C

$(3; + \infty)$

D

$(- \infty; - 4)$

Lời giải

Bước 1: Tìm điểm tới hạn

Giải phương trình $f^{'} (x) = 0$ để chia khoảng xét dấu.

(x + 4) (x - 3) = 0 ⟹ x = - 4, x = 3

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Dấu của $f^{'} (x)$ trên ba khoảng được xác định bởi hai nghiệm $- 4$ và $3$ .

f^{'} (x) > 0 (x < - 4), f^{'} (x) < 0 (- 4 < x < 3), f^{'} (x) > 0 (x > 3)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Vì $f^{'} (x) < 0$ trên $(- 4; 3)$ nên chọn A. B, C, D sai vì lần lượt chứa đoạn $(- \infty; - 4)$ tăng, là khoảng $(3; + \infty)$ tăng, và là khoảng $(- \infty; - 4)$ tăng.

Đáp án:

A

:

(- 4; 3)

—

f^{'} (x) < 0

trên khoảng này.

Câu 8

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 2024}{x + 1}$ là

A

$x = - 1$

B

$y = - 1$

C

$x = 2$

D

$y = 2$

Lời giải

Bước 1: Tìm giá trị làm mẫu bằng $0$

Mẫu số là $x + 1$ ; giải phương trình mẫu số bằng $0$ .

x + 1 = 0 ⟹ x = - 1

Bước 2: Kiểm tra tử số

Tại $x = - 1$ , tử số khác $0$ nên không xảy ra khử nhân tử.

2 (- 1) - 2024 = - 2026 \neq = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A: $x = - 1$ . Các phương án B và D là đường ngang, còn C sai vì $x = 2$ không làm mẫu số bằng $0$ .

Đáp án: A.

x = - 1

— mẫu số bằng

0

và tử số tại đó khác

0

.

Câu 9

Biết đồ thị hàm số $y = f (x)$ có dạng như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Hình minh họa

A

$f (x) = - x^{3} + 3 x - 1$

B

$f (x) = - x^{3} - 3 x - 1$

C

$f (x) = x^{3} - 3 x - 1$

D

$f (x) = - x^{3} - 3 x + 1$

Lời giải

Bước 1: Xác định hệ số bậc ba

Nhánh phải của đồ thị đi xuống nên hệ số bậc ba âm.

a > 0

Bước 2: Xác định hằng số

Đồ thị cắt trục tung tại tung độ $- 1$ , nên $f (0) = - 1$ .

c = f (0) = - 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chỉ phương án $C$ có $a > 0$ và $c = - 1$ : $f (x) = x^{3} - 3 x - 1$ ; các phương án $A$ , $B$ , $D$ lần lượt sai dấu hệ số bậc ba hoặc sai hằng số.

f (x) = x^{3} - 3 x - 1

Đáp án: C

Câu 10

Giới hạn $lim_{x \to - \infty} \frac{3 x - 1}{2 x + 1}$ bằng

A

$I = \frac{3}{2}$

B

$I = 2$

C

$I = - 2$

D

$I = - \frac{3}{2}$

Lời giải

Bước 1: Chia theo bậc cao nhất

Chia cả tử và mẫu cho $x$ .

x \to - \infty lim \frac{3 x - 1}{2 x + 1} = x \to - \infty lim \frac{3 - \frac{1}{x}}{2 + \frac{1}{x}}

Bước 2: Tính giới hạn

Vì $\frac{1}{x} \to 0$ , thay vào biểu thức đã biến đổi.

x \to - \infty lim \frac{3 - \frac{1}{x}}{2 + \frac{1}{x}} = \frac{3 - 0}{2 + 0} = \frac{3}{2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A: $\frac{3}{2}$ ; B, C, D sai vì không đúng tỉ số hệ số bậc cao nhất hoặc sai dấu.

Đáp án: A.

\frac{3}{2}

— bằng tỉ số hệ số của

x

ở tử và mẫu.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc năm 2025 Lần 1 - Mã đề 103

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Đếm số cách chọn

Bước 2: Tính xác suất

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Liệt kê giá trị cần xét

Bước 2: Xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định vị trí trung vị

Bước 2: Chọn lớp trung vị

Bước 3: Tính và đối chiếu

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Xác định điểm tới hạn

Bước 2: Xét sự đổi dấu

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Cộng từng tọa độ

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện xác định

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tìm điểm tới hạn

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tìm giá trị làm mẫu bằng 0

Bước 2: Kiểm tra tử số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Xác định hệ số bậc ba

Bước 2: Xác định hằng số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Chia theo bậc cao nhất

Bước 2: Tính giới hạn

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Liệt kê giá trị cần xét

Bước $2$ : Xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước 1: Tìm giá trị làm mẫu bằng $0$