Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc năm 2025 Lần 1 - Mã đề 102 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Tập xác định của hàm số $y = lo g_{9} (x - 3)$ là

A

$(3; + \infty)$

B

$[3; + \infty)$

C

$(- \infty; + \infty)$

D

$(- \infty; 3)$

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện xác định

Biểu thức trong logarit phải dương.

x - 3 > 0

Bước 2: Giải điều kiện

Giải bất phương trình và viết tập nghiệm.

x > 3 ⟹ D = (3; + \infty)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A. $(3; + \infty)$ . B, C, D sai vì lần lượt nhận $x = 3$ , nhận cả mọi $x$ , hoặc chỉ nhận $x < 3$ , trái với điều kiện $x > 3$ .

Đáp án: A.

(3; + \infty)

— vì điều kiện xác định là

x - 3 > 0

, tương đương

x > 3

.

Câu 2

Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ một hộp có 10 viên bi (gồm 6 bi xanh và 4 bi đỏ), xác suất chọn được 3 viên bi màu xanh là

A

$\frac{1}{6}$

B

$\frac{1}{5}$

C

$\frac{2}{5}$

D

$\frac{3}{10}$

Lời giải

Bước $1$ : Lập số cách chọn

Không xét thứ tự nên dùng tổ hợp: tổng số cách chọn $3$ viên từ $10$ viên và số cách thuận lợi chọn $3$ bi xanh từ $6$ viên.

Tổng s \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}} c \overset{a}{ˊ} ch = C_{10}^{3}, S \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}} c \overset{a}{ˊ} ch thuận lợi = C_{6}^{3}

Bước $2$ : Tính xác suất

Áp dụng công thức xác suất theo số cách thuận lợi trên tổng số cách.

P = \frac{C _{6}^{3}}{C _{10}^{3}} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Đáp án đúng là $A$ vì xác suất bằng $\frac{1}{6}$ ; $B$ , $C$ , $D$ sai vì các giá trị lần lượt không bằng kết quả này.

Đáp án: Đáp án

A

:

\frac{1}{6}

— bằng tỉ số giữa số cách chọn

3

bi xanh và tổng số cách chọn

3

viên.

Câu 3

Trong không gian $O x y z$ , cho hai vectơ $a = (1; 1; 2)$ và $b = (- 2; 0; - 1)$ . Toạ độ của vectơ $a - b$ là

A

$a - b = (- 1; 1; 1)$

B

$a - b = (3; 1; 3)$

C

$a - b = (1; 3; 3)$

D

$a - b = (3; 1; - 3)$

Lời giải

Bước 1: Tính theo từng tọa độ

Áp dụng công thức hiệu hai vectơ và thay các tọa độ tương ứng.

a - b = (1 - (- 2); 1 - 0; 2 - (- 1)) = (3; 1; 3)

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ lần lượt sai do nhầm dấu ở tọa độ thứ nhất, đổi chỗ tọa độ và nhầm dấu ở tọa độ thứ ba.

Đáp án:

B

— Vì

a - b = (3; 1; 3)

.

Câu 4

Giới hạn $x \to + \infty lim \frac{2 - x}{1 - x}$ bằng

A

-1

B

2

C

-2

D

1

Lời giải

Bước 1: Biến đổi phân thức

Đổi dấu cả tử và mẫu, rồi chia cho $x$ để đưa về dạng quen thuộc.

\frac{2 - x}{1 - x} = \frac{x - 2}{x - 1} = \frac{1 - \frac{2}{x}}{1 - \frac{1}{x}}

Bước 2: Đối chiếu phương án

Vì $\frac{2}{x} \to 0$ và $\frac{1}{x} \to 0$ , giới hạn bằng $1$ .

Chọn phương án $D$ ; $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt nhầm dấu hoặc nhầm tỉ số hệ số.

x \to + \infty lim \frac{1 - \frac{2}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{1 - 0}{1 - 0} = 1

Đáp án: Phương án

D

— giới hạn bằng

1

.

Câu 5

Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

A

$A C^{'} = A B + A B^{'} + A D$

B

$A C^{'} = A C + A B + A D$

C

$D B^{'} = D A + D D^{'} + D C$

D

$D B^{'} = D A + D A^{'} + D C$

Lời giải

Bước 1: Chọn đường đi

Đi từ $D$ qua $A$ , $B$ rồi đến $B^{'}$ .

D B^{'} = D A + A B + B B^{'}

Bước 2: Thay vectơ song song

Dùng $A B = D C$ và $B B^{'} = D D^{'}$ .

D B^{'} = D A + D C + D D^{'} = D A + D D^{'} + D C

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $C$ ; $A$ sai vì $A B^{'}$ đã chứa $A B$ , $B$ cộng thừa $A B + A D$ , còn $D$ dùng $D A^{'} \neq = D D^{'}$ .

Đáp án:

C

— Vì

D B^{'} = D A + D D^{'} + D C

.

Câu 6

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $R$ và có bảng xét dấu của $f^{'} (x)$ như hình dưới đây. Hàm số $y = f (x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A

4

B

2

C

3

D

1

Lời giải

Bước $1$ : Xác định các điểm cần xét

Các điểm cần xét là nghiệm của $f^{'} (x) = 0$ : $x = - 4, - 3, - 2, 1$ .

x = - 4, - 3, - 2, 1

Bước $2$ : Xét sự đổi dấu

Tại cả bốn điểm, dấu của $f^{'}$ đều đổi: $- \to +$ , $+ \to -$ , $- \to +$ , $+ \to -$ .

Mỗi lần đổi dấu tạo một điểm cực trị.

(-) \to (+), (+) \to (-), (-) \to (+), (+) \to (-)

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ : có $4$ điểm cực trị; $B, C, D$ sai vì lần lượt đếm thiếu số điểm cực trị.

Đáp án: Đáp án

A

:

4

— có bốn lần đổi dấu của

f^{'}

.

Câu 7

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $R$ có đạo hàm $f^{'} (x) = (x + 2) (x - 1)$ , $\forall x \in R$ . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A

$(- 2; 1)$

B

$(- 2; + \infty)$

C

$(1; + \infty)$

D

$(- \infty; - 2)$

Lời giải

Bước 1: Lập bất phương trình

Điều kiện nghịch biến là $f^{'} (x) < 0$ .

f^{'} (x) < 0 ⟺ (x + 2) (x - 1) < 0

Bước 2: Tìm các mốc xét dấu

Hai nghiệm của tích là $x = - 2$ và $x = 1$ .

x = - 2, x = 1

Bước 3: Kết luận khoảng nghịch biến

Tích âm giữa hai nghiệm.

(x + 2) (x - 1) < 0 ⟺ - 2 < x < 1

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn A, $(- 2; 1)$ ; B, C, D sai vì lần lượt chứa hoặc thuộc miền $f^{'} (x) > 0$ .

Đáp án: A.

(- 2; 1)

— vì

f^{'} (x) < 0

trên khoảng này.

Câu 8

Tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x - 2025}{2 x + 1}$

A

$y = \frac{1}{2}$

B

$y = - 2$

C

$y = - \frac{1}{2}$

D

$y = 2$

Lời giải

Bước 1: Xác định hệ số

Đối chiếu với dạng $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ , ta có $a = 1$ và $c = 2$ .

a = 1, c = 2

Bước 2: Tìm tiệm cận ngang

Tính tỉ số hệ số của $x$ ở tử và mẫu.

y = \frac{a}{c} = \frac{1}{2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A: $y = \frac{1}{2}$ ; B, C, D sai vì lần lượt lấy đảo tỉ số, đổi dấu và chọn sai giá trị.

Đáp án: A.

y = \frac{1}{2}

— là tỉ số hệ số của

x

ở tử và mẫu.

Câu 9

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn $[- 2; 6]$ và có đồ thị như hình vẽ sau. Tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y = f (x)$ trên đoạn $[- 2; 6]$ bằng

A

5

B

2

C

4

D

1

Lời giải

Bước 1: Xác định giá trị lớn nhất

Tung độ cao nhất trên đồ thị là $5$ .

x \in [- 2; 6] max f (x) = 5

Bước 2: Xác định giá trị nhỏ nhất

Tung độ thấp nhất trên đồ thị là $- 4$ .

x \in [- 2; 6] min f (x) = - 4

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tổng hai giá trị là $1$ ; chọn phương án D. Các phương án A, B, C sai vì lần lượt không phải tổng cần tìm hoặc tính sai kết quả.

- 4 + 5 = 1

Đáp án: D — Vì

min f (x) + max f (x) = - 4 + 5 = 1

.

Câu 10

Biết đồ thị hàm số $y = f (x)$ có dạng như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A

$f (x) = - x^{3} + 3 x + 1$

B

$f (x) = x^{3} + 3 x + 1$

C

$f (x) = - x^{3} - 3 x + 1$

D

$f (x) = x^{3} - 3 x - 1$

Lời giải

Bước 1: Xét chiều nhánh phải

Nhánh phải của đồ thị đi xuống nên hệ số bậc ba âm: $a < 0$ .

a < 0

Bước 2: Xét vị trí cực trị

Đồ thị có hai cực trị nằm ở hai phía trục tung nên tích hai hoành độ cực trị âm.

f^{'} (x) = 3 a x^{2} + b = 0, x_{1} x_{2} = \frac{b}{3 a} < 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

$A$ thỏa mãn $a = - 1 < 0$ và $\frac{b}{3 a} = \frac{3}{- 3} < 0$ nên phù hợp.

$B, D$ sai vì $a > 0$ ; $C$ sai vì $\frac{b}{3 a} = 1 > 0$ , không cho hai cực trị trái dấu.

Đáp án:

A

— Hàm số có

a < 0

và hai cực trị với hoành độ trái dấu.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc năm 2025 Lần 1 - Mã đề 102

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện xác định

Bước 2: Giải điều kiện

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Lập số cách chọn

Bước 2: Tính xác suất

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tính theo từng tọa độ

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Biến đổi phân thức

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Chọn đường đi

Bước 2: Thay vectơ song song

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Xác định các điểm cần xét

Bước 2: Xét sự đổi dấu

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Lập bất phương trình

Bước 2: Tìm các mốc xét dấu

Bước 3: Kết luận khoảng nghịch biến

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Xác định hệ số

Bước 2: Tìm tiệm cận ngang

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Xác định giá trị lớn nhất

Bước 2: Xác định giá trị nhỏ nhất

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xét chiều nhánh phải

Bước 2: Xét vị trí cực trị

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Lập số cách chọn

Bước $2$ : Tính xác suất

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Xác định các điểm cần xét

Bước $2$ : Xét sự đổi dấu

Bước $3$ : Đối chiếu phương án