Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc năm 2025 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Chọn ngẫu nhiên 3 bạn từ một tổ có 10 học sinh (gồm 6 bạn nữ và 4 bạn nam), xác suất chọn được 3 bạn nam là

A

$\frac{1}{30}$

B

$\frac{3}{10}$

C

$\frac{1}{5}$

D

$\frac{1}{6}$

Lời giải

Bước $1$ : Tính số cách chọn

Tổng số cách chọn $3$ bạn từ $10$ bạn là $C_{10}^{3}$ .

C_{10}^{3} = 120

Bước $2$ : Tính số cách thuận lợi

Chọn cả $3$ bạn nam từ $4$ bạn nam có $C_{4}^{3}$ cách.

C_{4}^{3} = 4

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Xác suất cần tìm là $P = \frac{C _{4}^{3}}{C _{10}^{3}} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}$ .

Chọn phương án A; B, C, D sai vì lần lượt không bằng xác suất tính được.

P = \frac{C _{4}^{3}}{C _{10}^{3}} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}

Đáp án:

\frac{1}{30}

— số cách thuận lợi là

C_{4}^{3}

trên tổng số cách

C_{10}^{3}

.

Câu 2

Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh $a$ , cạnh bên $S A$ vuông góc với đáy và $S A = a 3$ . Thể tích hình chóp $S . A B C$ bằng

A

$\frac{a ^{3}}{8}$

B

$\frac{a ^{3}}{2}$

C

$\frac{3 a ^{3}}{4}$

D

$\frac{a ^{3}}{4}$

Lời giải

Bước 1: Tính diện tích đáy

Đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh $a$ .

S_{A B C} = \frac{a ^{2} 3}{4}

Bước 2: Tính thể tích

Vì $S A ⊥ (A B C)$ nên chiều cao là $h = S A = a 3$ .

V = \frac{1}{3} S_{A B C} \cdot S A = \frac{1}{3} \cdot \frac{a ^{2} 3}{4} \cdot a 3 = \frac{a ^{3}}{4}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án D. A, B, C sai lần lượt do sai hệ số diện tích hoặc quên nhân, chia hệ số $\frac{1}{3}$ .

Đáp án: D.

\frac{a ^{3}}{4}

— tính theo

V = \frac{1}{3} S_{A B C} \cdot S A

.

Câu 3

Tập xác định của hàm số $y = lo g_{3} (x - 5)$ là

A

$(- \infty; + \infty)$

B

$(5; + \infty)$

C

$[5; + \infty)$

D

$(- \infty; 5)$

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện xác định

Đối số của logarit phải dương.

x - 5 > 0

Bước 2: Giải điều kiện

Giải bất phương trình để tìm miền giá trị của $x$ .

x - 5 > 0 ⟺ x > 5 ⟹ D = (5; + \infty)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án B: $(5; + \infty)$ . A, C, D sai vì lần lượt chứa giá trị không thỏa mãn, nhận $x = 5$ , hoặc lấy các giá trị $x < 5$ .

Đáp án: B.

(5; + \infty)

— vì điều kiện xác định là

x - 5 > 0

.

Câu 4

Cho mẫu số liệu ghép nhóm về số tiền mà 60 khách hàng mua sách ở một cửa hàng trong một ngày như sau: Tứ phân vị thứ nhất của mẫu là

Hình minh họa

A

$Q_{1} = 25$

B

$Q_{1} = 60$

C

$Q_{1} = 60, 8$

D

$Q_{1} = 65$

Lời giải

Bước 1: Xác định vị trí

Vị trí của $Q_{1}$ là $\frac{N}{4} = 15$ .

\frac{60}{4} = 15

Bước 2: Tìm lớp chứa $Q_{1}$

Tần số cộng dồn đến lớp $[50; 60)$ là $5 + 8 = 13 < 15$ ; đến lớp $[60; 70)$ là $38 \geq 15$ .

Vậy lớp chứa $Q_{1}$ là $[60; 70)$ , với $L = 60$ , $h = 10$ , $f = 25$ , $F = 13$ .

5 + 8 = 13 < 15 \leq 13 + 25 = 38

Bước 3: Tính $Q_{1}$

Áp dụng công thức tứ phân vị cho lớp $[60; 70)$ .

Q_{1} = 60 + \frac{15 - 13}{25} \cdot 10 = 60, 8

Bước n: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ : $Q_{1} = 60, 8$ ; các phương án $A$ , $B$ , $D$ lần lượt là tần số lớp, cận dưới và trung điểm lớp, không phải tứ phân vị.

Đáp án: C —

Q_{1} = 60, 8

theo công thức nội suy trong lớp

[60; 70)

.

Câu 5

Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

A

$A C^{'} = A B + A A^{'} + A D$

B

$A B^{'} = A B + A A^{'} + A D$

C

$A^{'} D = A^{'} B^{'} + A^{'} C$

D

$A D^{'} = A B + A D + A C^{'}$

Lời giải

Bước 1: Nhận diện các vectơ song song

Theo tính chất hình hộp, các cạnh tương ứng bằng nhau và cùng hướng.

B C = A D, C C^{'} = A A^{'}

Bước 2: Biểu diễn vectơ đường chéo

Đi theo đường $A \to B \to C \to C^{'}$ rồi thay các vectơ tương ứng.

A C^{'} = A B + B C + C C^{'} = A B + A D + A A^{'}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Do đổi được thứ tự tổng, phương án A đúng: $A C^{'} = A B + A A^{'} + A D$ .

B, C, D sai vì lần lượt thiếu thành phần $A D$ , cộng thừa $A^{'} B^{'}$ , và có thêm các thành phần không phù hợp với $A D^{'}$ .

Đáp án: A — vì

A C^{'} = A B + A A^{'} + A D

.

Câu 6

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 2024}{x + 1}$ là

A

$y = - 1$

B

$x = 2$

C

$y = \frac{1}{2}$

D

$y = 2$

Lời giải

Bước 1: Xác định bậc và hệ số dẫn đầu

Tử và mẫu đều bậc $1$ ; hệ số dẫn đầu lần lượt là $2$ và $1$ .

de g (2 x - 2024) = de g (x + 1) = 1 \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{2}{1} = 2

Bước 2: Kết luận tiệm cận ngang

Giới hạn của hàm số khi $x \to \pm \infty$ bằng tỉ số hệ số dẫn đầu.

x \to \pm \infty lim \frac{2 x - 2024}{x + 1} = 2 \Rightarrow y = 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ . Các phương án $A$ , $C$ sai vì giá trị giới hạn không lần lượt là $- 1$ , $\frac{1}{2}$ ; $B$ sai vì $x = 2$ là đường thẳng đứng.

Đáp án: Đáp án

D

— đường tiệm cận ngang là

y = 2

vì tỉ số hệ số dẫn đầu bằng

\frac{2}{1} = 2

.

Câu 7

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $R$ có đồ thị hình vẽ sau: Tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[- 2; 2]$ bằng

Hình minh họa

A

$0$

B

$- 1$

C

$- 5$

D

$- 6$

Lời giải

Bước 1: Tìm điểm cần xét

Tính đạo hàm và giải phương trình $f^{'} (x) = 0$ .

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x^{2} - 1) = 0 ⟹ x = \pm 1

Bước 2: Tính các giá trị

Các điểm cần xét là $x = - 2, - 1, 1, 2$ .

f (- 2) = - 5, f (- 1) = - 1, f (1) = - 5, f (2) = - 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Suy ra $min f = - 5$ , $max f = - 1$ , nên tổng bằng $- 6$ .

Phương án D đúng; A, B, C sai vì lần lượt không bằng tổng cần tìm.

min f + max f = - 5 + (- 1) = - 6

Đáp án: D — Tổng giá trị nhỏ nhất và lớn nhất bằng

- 6

.

Câu 8

Trong không gian $O x y z$ , cho $a = (2; 1; 3)$ và $b = (- 1; 2; 1)$ . Tọa độ của vecto $a + b$ là

A

$a + b = (3; 1; 2)$

B

$a + b = (- 1; 3; 4)$

C

$a + b = (1; 3; 4)$

D

$a + b = (2; - 1; 2)$

Lời giải

Bước 1: Cộng từng tọa độ

Áp dụng công thức cộng tọa độ véctơ.

a + b = (2 + (- 1); 1 + 2; 3 + 1) = (1; 3; 4)

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án C vì kết quả là $(1; 3; 4)$ ; A, B, D sai do cộng nhầm một hoặc nhiều tọa độ.

Đáp án: C — Vì

a + b = (1; 3; 4)

.

Câu 9

Giới hạn $lim_{x \to + \infty} \frac{- x - 3}{x + 2}$ bằng

A

$- 1$

B

$1$

C

$- \frac{3}{2}$

D

$- 3$

Lời giải

Bước 1: Chuẩn hóa phân thức

Chia cả tử và mẫu cho $x$ .

\frac{- x - 3}{x + 2} = \frac{- 1 - \frac{3}{x}}{1 + \frac{2}{x}}

Bước 2: Tính giới hạn

Vì $\frac{3}{x} \to 0$ và $\frac{2}{x} \to 0$ khi $x \to + \infty$ .

x \to + \infty lim \frac{- 1 - \frac{3}{x}}{1 + \frac{2}{x}} = \frac{- 1 - 0}{1 + 0} = - 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ : $- 1$ ; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt đổi dấu hệ số, lấy sai tỉ số hệ số bậc cao nhất và lấy nhầm hạng tự do.

Đáp án:

- 1

— tử và mẫu cùng bậc nên giới hạn bằng tỉ số hai hệ số dẫn đầu.

Câu 10

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $R$ có đạo hàm $f^{'} (x) = (x + 1) (x - 2), \forall x \in R$ . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A

$(2; + \infty)$

B

$(- \infty; 2)$

C

$(- 1; 2)$

D

$(- 1; + \infty)$

Lời giải

Bước 1: Tìm các mốc đổi dấu

Giải $f^{'} (x) = 0$ để tìm nghiệm của đạo hàm.

f^{'} (x) = (x + 1) (x - 2) = 0 \Rightarrow x = - 1, x = 2

Bước 2: Xác định khoảng nghịch biến

Đạo hàm âm giữa hai nghiệm của tích hai nhân tử.

f^{'} (x) < 0 ⟺ - 1 < x < 2 ⟺ x \in (- 1; 2)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn C: $(- 1; 2)$ . A và D chứa khoảng đạo hàm dương; B gồm cả khoảng $(- \infty; - 1)$ cũng có đạo hàm dương.

(- 1; 2)

Đáp án: C — Hàm số nghịch biến trên

(- 1; 2)

vì

f^{'} (x) < 0

trên khoảng này.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc năm 2025

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tính số cách chọn

Bước 2: Tính số cách thuận lợi

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tính diện tích đáy

Bước 2: Tính thể tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện xác định

Bước 2: Giải điều kiện

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Xác định vị trí

Bước 2: Tìm lớp chứa Q1​

Bước 3: Tính Q1​

Bước n: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Nhận diện các vectơ song song

Bước 2: Biểu diễn vectơ đường chéo

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Xác định bậc và hệ số dẫn đầu

Bước 2: Kết luận tiệm cận ngang

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tìm điểm cần xét

Bước 2: Tính các giá trị

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Cộng từng tọa độ

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Chuẩn hóa phân thức

Bước 2: Tính giới hạn

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tìm các mốc đổi dấu

Bước 2: Xác định khoảng nghịch biến

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Tính số cách chọn

Bước $2$ : Tính số cách thuận lợi

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước 2: Tìm lớp chứa $Q_{1}$

Bước 3: Tính $Q_{1}$