Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Tuyên Quang năm 2025 - Lần 2 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Bảng dưới đây thống kê cự li ném tạ của một vận động viên. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

A

3

B

2,5

C

2

D

1,5

Lời giải

Bước 1: Xác định hai mút

Mút trái nhỏ nhất là $19$ , mút phải lớn nhất là $21, 5$ .

Bước 2: Tính khoảng biến thiên

Áp dụng công thức khoảng biến thiên.

R = 21, 5 - 19 = 2, 5

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án B. Các phương án A, C, D sai vì lần lượt tính nhầm độ dài khoảng hoặc chọn sai mút.

Đáp án: B.

2, 5

— khoảng biến thiên bằng hiệu giữa hai mút ngoài cùng.

Câu 2

Cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{1} = 3$ và công bội $q = 4$ . Số hạng $u_{2}$ của cấp số nhân là:

A

64

B

12

C

81

D

7

Lời giải

Bước 1: Tính số hạng thứ hai

Áp dụng $u_{2} = u_{1} \cdot q$ với $u_{1} = 3$ và $q = 4$ .

u_{2} = u_{1} \cdot q = 3 \cdot 4 = 12

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt nhầm với $4^{3}$ , $3^{4}$ và phép cộng $3 + 4$ .

Đáp án: Đáp án

B

—

u_{2} = 12

.

Câu 3

Cho tứ diện $A B C D$ , điểm $G$ là trọng tâm tam giác $A B C$ . Phát biểu nào sau đây sai?

A

$GB + GC + G D = 0 .$

B

$G A + GB + GC + G D = 0 .$

C

$B C + B D = 3 B G .$

D

$A B + A C + A D = 3 A G .$

Lời giải

Bước 1: Dùng tính chất trọng tâm

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $B C D$ , ta có tổng ba vectơ xuất phát từ $G$ bằng vectơ không.

GB + GC + G D = 0

Bước 2: Suy ra các hệ thức

Từ công thức trọng tâm, biểu diễn được vectơ $B G$ và $A G$ theo các vectơ đã cho.

B C + B D = 3 B G, A B + A C + A D = 3 A G

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $A$ , $C$ , $D$ đúng lần lượt theo các công thức trên. Phương án $B$ sai vì từ $A$ suy ra tổng bốn vectơ bằng $G A \neq = 0$ .

G A + GB + GC + G D = G A \neq = 0

Đáp án:

B

— sai vì tổng bốn vectơ bằng

G A

, không phải

0

.

Câu 4

Hàm số nào dưới đây không có cực trị?

A

$y = \frac{2 x + 1}{x - 3}$

B

$y = x^{3} - x^{2} - 3 x + 2$

C

$y = - x^{3} + 3 x^{2} + 1$

D

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$

Lời giải

Bước 1: Xét phương án A

Miền xác định là $R ∖ {3}$ . Đạo hàm luôn âm trên miền xác định nên hàm số không có cực trị.

y^{'} = \frac{2 ( x - 3 ) - ( 2 x + 1 )}{( x - 3 ) ^{2}} = \frac{- 7}{( x - 3 ) ^{2}} < 0 (x \neq = 3)

Bước 2: Xét các hàm bậc ba

Ở $B$ , đạo hàm có hai nghiệm phân biệt vì $Δ > 0$ ; ở $C$ , $D$ , đạo hàm lần lượt có hai nghiệm $0$ và $2$ .

Vì đạo hàm đổi dấu qua các nghiệm đơn, cả ba hàm đều có cực trị.

y_{B}^{'} = 3 x^{2} - 2 x - 3, Δ = 40 > 0; y_{C}^{'} = - 3 x (x - 2); y_{D}^{'} = 3 x (x - 2)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ : $y = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì đạo hàm đều có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu.

Đáp án:

A

— đạo hàm

y^{'} = \frac{- 7}{( x - 3 ) ^{2}}

không bằng

0

trên miền xác định.

Câu 5

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , hình chiếu vuông góc của điểm $A (3; 5; 2)$ trên trục $O x$ có tọa độ là

A

$(3; 0; 0)$

B

$(0; 5; 2)$

C

$(0; 0; 2)$

D

$(0; 5; 0)$

Lời giải

Bước 1: Xác định tọa độ giữ lại

Trục $O x$ chỉ giữ hoành độ $x$ ; tung độ và cao độ bằng $0$ .

A (3; 5; 2) ⟶ (3; 0; 0)

Bước 2: Viết hình chiếu

Áp dụng quy tắc chiếu lên $O x$ , ta được tọa độ hình chiếu.

(x; y; z) chi \overset{ˊ}{\overset{e}{ˆ}} u l \overset{e}{ˆ} n O x (x; 0; 0) \Rightarrow A^{'} = (3; 0; 0)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ lần lượt biểu diễn hình chiếu lên mặt phẳng $O y z$ , trục $O z$ và trục $O y$ .

Đáp án:

A . (3; 0; 0)

— hình chiếu lên

O x

giữ

x = 3

và cho

y = z = 0

.

Câu 6

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình bình hành tâm $O$ , $S A = S C, S B = S D$ (minh họa như hình bên dưới). Khẳng định nào sau đây đúng?

A

$S O ⊥ (A B C D)$

B

$S C ⊥ (A B C D)$

C

$S A ⊥ (A B C D)$

D

$S B ⊥ (A B C D)$

Lời giải

Bước 1: Xác định trung điểm

Hai đường chéo hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

O \in A C \cap B D, O A = O C, O B = O D

Bước 2: Tạo hai đường vuông góc

Trong tam giác $S A C$ , $O$ là trung điểm $A C$ và $S A = S C$ , nên $S O ⊥ A C$ .

Trong tam giác $S B D$ , $O$ là trung điểm $B D$ và $S B = S D$ , nên $S O ⊥ B D$ .

S O ⊥ A C, S O ⊥ B D

Bước 3: Suy ra vuông góc mặt phẳng

$A C$ và $B D$ là hai đường cắt nhau trong $(A B C D)$ ; do đó $S O ⊥ (A B C D)$ .

A C, B D \subset (A B C D), A C \cap B D = {O}, S O ⊥ (A B C D)

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ ; các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì $S C$ , $S A$ , $S B$ không được chứng minh vuông góc với hai đường cắt nhau của $(A B C D)$ .

Đáp án: A —

S O ⊥ (A B C D)

vì

S O

vuông góc với hai đường chéo

A C

và

B D

.

Câu 7

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{3} + x$ là

A

$x^{3} + x + C$

B

$3 x^{2} + 1 + C$

C

$x^{4} + x^{2} + C$

D

$\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Lời giải

Bước 1: Tính nguyên hàm

Tách tổng và áp dụng công thức nguyên hàm lũy thừa cho từng hạng tử.

\int (x^{3} + x) d x = \int x^{3} d x + \int x d x = \frac{x ^{4}}{4} + \frac{x ^{2}}{2} + C

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án D: $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C$ ; A, B, C sai vì lần lượt cho đạo hàm không đúng hoặc sai hệ số.

(\frac{x ^{4}}{4} + \frac{x ^{2}}{2} + C)^{'} = x^{3} + x

Đáp án: D.

\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C

— đạo hàm bằng

x^{3} + x

.

Câu 8

Tập nghiệm của bất phương trình $2^{x + 1} \leq 4$ là

A

$(- \infty; 1)$

B

$(1; + \infty)$

C

$(- \infty; 1]$

D

$[1; + \infty)$

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Viết $4$ dưới dạng lũy thừa cơ số $2$ .

2^{x + 1} \leq 4 = 2^{2}

Bước 2: So sánh số mũ

Vì cơ số $2 > 1$ , so sánh các số mũ rồi giải bất đẳng thức thu được.

x + 1 \leq 2 \Leftrightarrow x \leq 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ : $(- \infty; 1]$ . Các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt thiếu điểm $1$ , ngược chiều nghiệm và chọn sai khoảng nghiệm.

Đáp án: C.

(- \infty; 1]

— vì nghiệm là

x \leq 1

.

Câu 9

Đồ thị hàm số $y = 2 x + 1 - \frac{3}{x + 1}$ có đường tiệm cận xiên là:

A

$y = 2 x - 3$

B

$y = 2 x + 1$

C

$y = 2 x - 1$

D

$y = x + 1$

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng dạng hàm số

Hàm số đã có dạng đa thức bậc nhất cộng một phân thức.

y = (2 x + 1) - \frac{3}{x + 1}

Bước 2: Xác định tiệm cận

Khi $x \to \pm \infty$ , phần phân thức tiến về $0$ .

x \to \pm \infty lim (- \frac{3}{x + 1}) = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Đường tiệm cận xiên là $y = 2 x + 1$ , nên chọn phương án $B$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai lần lượt do sai hệ số tự do hoặc hệ số góc.

y = 2 x + 1

Đáp án: B.

y = 2 x + 1

— phần

- \frac{3}{x + 1}

tiến về

0

khi

x \to \pm \infty

.

Câu 10

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho hai điểm $A (1; - 3; 1), B (3; 0; - 2)$ .

Độ dài đoạn thẳng $A B$ bằng:

A

$22$

B

$26$

C

26

D

22

Lời giải

Bước 1: Tính các hiệu tọa độ

Các hiệu tọa độ của $B$ so với $A$ là:

(3 - 1, 0 - (- 3), - 2 - 1) = (2, 3, - 3)

Bước 2: Tính độ dài

Áp dụng công thức khoảng cách trong không gian:

A B = 2^{2} + 3^{2} + (- 3)^{2} = 4 + 9 + 9 = 22

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A: $22$ . Các phương án B, C, D sai vì lần lượt cho sai giá trị dưới căn, bỏ dấu căn hoặc chưa lấy căn.

Đáp án: A.

22

— đúng theo công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Tuyên Quang năm 2025 - Lần 2

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Xác định hai mút

Bước 2: Tính khoảng biến thiên

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tính số hạng thứ hai

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Dùng tính chất trọng tâm

Bước 2: Suy ra các hệ thức

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Xét phương án A

Bước 2: Xét các hàm bậc ba

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Xác định tọa độ giữ lại

Bước 2: Viết hình chiếu

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Xác định trung điểm

Bước 2: Tạo hai đường vuông góc

Bước 3: Suy ra vuông góc mặt phẳng

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tính nguyên hàm

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Bước 2: So sánh số mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng dạng hàm số

Bước 2: Xác định tiệm cận

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tính các hiệu tọa độ

Bước 2: Tính độ dài

Bước 3: Đối chiếu phương án