Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Trà Vinh năm 2025 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Một cấp số nhân $(u_{n})$ có hai số hạng liên tiếp là $u_{2} = 16$ và $u_{3} = 32$ . Số hạng nào dưới đây là số hạng tổng quát của cấp số nhân $(u_{n})$ ?

A

$u_{n} = 2 n + 6$

B

$u_{n} = 1 6^{n - 1}$

C

$u_{n} = 8. 2^{n}$

D

$u_{n} = 2^{n + 2}$

Lời giải

Bước 1: Tìm công bội

Công bội của cấp số nhân là $q = \frac{u _{3}}{u _{2}}$ .

q = \frac{32}{16} = 2

Bước 2: Tìm số hạng đầu

Dùng hệ thức $u_{2} = u_{1} q$ để xác định $u_{1}$ .

u_{1} = \frac{u _{2}}{q} = \frac{16}{2} = 8

Bước 3: Lập số hạng tổng quát

Thay $u_{1} = 8$ và $q = 2$ vào công thức $u_{n} = u_{1} q^{n - 1}$ .

u_{n} = 8 \cdot 2^{n - 1} = 2^{3} \cdot 2^{n - 1} = 2^{n + 2}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn D: $u_{n} = 2^{n + 2}$ . A là biểu thức cấp số cộng; B và C không đồng thời cho $u_{2} = 16$ , $u_{3} = 32$ .

Đáp án: D —

u_{n} = 2^{n + 2}

vì

u_{1} = 8

và công bội

q = 2

.

Câu 2

Xét mẫu số liệu ghép nhóm cho ở Bảng. Gọi $\overline{x}$ là số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm.
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $s^{2}$ , là một số được tính theo công thức nào dưới đây?

A

$s^{2} = \frac{7. ( 115 - x ) ^{2} + 15. ( 145 - x ) ^{2} + 12. ( 175 - x ) ^{2} + 7. ( 205 - x ) ^{2} + 9. ( 235 - x ) ^{2}}{50}$

B

$s^{2} = \frac{7. ( 115 - x ) + 15. ( 145 - x ) + 12. ( 175 - x ) + 7. ( 205 - x ) + 9. ( 235 - x )}{50}$

C

$s^{2} = \frac{7 ^{2} . ( 115 - x ) ^{2} + 1 5 ^{2} . ( 145 - x ) ^{2} + 1 2 ^{2} . ( 175 - x ) ^{2} + 7 ^{2} . ( 205 - x ) ^{2} + 9 ^{2} . ( 235 - x ) ^{2}}{50}$

D

$s^{2} = \frac{7. ( 115 - x ) ^{2} + 15. ( 145 - x ) ^{2} + 12. ( 175 - x ) ^{2} + 7. ( 205 - x ) ^{2} + 9. ( 235 - x ) ^{2}}{50}$

Lời giải

Bước 1: Viết công thức tổng quát

Dùng công thức phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm.

s^{2} = \frac{\sum _{i = 1}^{k} f _{i} ( x _{i} - x ) ^{2}}{n}

Bước 2: Thay dữ liệu vào công thức

Thay các giá trị đại diện, tần số và $n = 50$ vào công thức.

s^{2} = \frac{7 ( 115 - x ) ^{2} + 15 ( 145 - x ) ^{2} + 12 ( 175 - x ) ^{2} + 7 ( 205 - x ) ^{2} + 9 ( 235 - x ) ^{2}}{50}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án D. A tính độ lệch chuẩn, B thiếu bình phương độ lệch, còn C bình phương sai tần số.

Đáp án: D — đúng vì có dạng

\frac{\sum f _{i} ( x _{i} - x ) ^{2}}{n}

.

Câu 3

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên mỗi khoảng $(- \infty; - \frac{1}{2})$ và $(- \frac{1}{2}; + \infty)$ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình

A

$y = - \frac{1}{2}$

B

$x = - \frac{1}{2}$

C

$x = 2$

D

$y = 2$

Lời giải

Bước 1: Đọc giới hạn từ bảng biến thiên

Hai đầu bảng biến thiên cho cùng một giá trị giới hạn.

x \to - \infty lim f (x) = 2, x \to + \infty lim f (x) = 2

Bước 2: Xác định tiệm cận ngang

Giá trị giới hạn là $L = 2$ , nên phương trình tiệm cận ngang là $y = 2$ .

y = L = 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án D: $y = 2$ . Các phương án A, B, C sai vì $y = - \frac{1}{2}$ không phải giá trị giới hạn, còn $x = - \frac{1}{2}$ và $x = 2$ là các đường thẳng đứng.

Đáp án: D.

y = 2

— vì

lim_{x \to \pm \infty} f (x) = 2

.

Câu 4

Trong không gian $O x y z$ , cho đường thẳng $Δ$ có phương trình
$⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = 0 z = 1 + 2 t$
. Vector nào sau đây là một vector chỉ phương của đường thẳng $Δ$

A

$(1; - 1; 2)$

B

$(1; 0; 1)$

C

$(- 1; 0; - 2)$

D

$(1; 0; - 2)$

Lời giải

Bước 1: Lấy vectơ cơ bản

Các hệ số của $t$ lần lượt là $1$ , $0$ , $2$ .

u = (1; 0; 2)

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn $k = - 1$ , suy ra vectơ cùng phương với $u$ là $(- 1; 0; - 2)$ .

Đáp án C đúng; A sai vì thành phần $y \neq = 0$ , còn B và D không cùng tỉ lệ với $u$ .

v = k u = (k; 0; 2 k), k = - 1 \Rightarrow v = (- 1; 0; - 2)

Đáp án:

C . (- 1; 0; - 2)

— đây là bội

- 1

của vectơ chỉ phương

(1; 0; 2)

.

Câu 5

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?

A

Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên $[- 1; 1]$ bằng 1

B

Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên $R$ bằng 2

C

Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên $[- 1; 1]$ bằng 2

D

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên $[- 1; 1]$ bằng -1

Lời giải

Bước 1: Xác định các giá trị cần xét

Hai đầu mút của đoạn là $x = - 1$ và $x = 1$ , đồng thời đây là các điểm cực trị của đồ thị.

f (- 1) = - 2, f (1) = 2

Bước 2: So sánh các giá trị

So sánh tung độ tại các điểm cần xét để chọn giá trị lớn nhất.

- 2 < 2 \Rightarrow [- 1; 1] max f (x) = 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ vì giá trị lớn nhất trên $[- 1; 1]$ bằng $2$ ; $A$ sai vì kết quả là $2$ , $B$ sai vì chỉ xét trên $R$ , còn $D$ sai vì giá trị nhỏ nhất là $- 2$ .

Đáp án:

C

— Giá trị lớn nhất của hàm số trên

[- 1; 1]

bằng

2

.

Câu 6

Trong không gian $O x y z$ , mặt phẳng $(O x z)$ có một vectơ pháp tuyến là:

A

$n_{4} = (0; 0; 1)$

B

$n_{2} = (1; 0; 1)$

C

$n_{3} = (1; 0; 0)$

D

$n_{1} = (0; 1; 0)$

Lời giải

Bước 1: Xác định phương trình

Mọi điểm thuộc $(O x z)$ có tọa độ $(x; 0; z)$ , nên phương trình là $y = 0$ .

y = 0

Bước 2: Lấy vectơ pháp tuyến

Viết $y = 0$ dưới dạng $0 \cdot x + 1 \cdot y + 0 \cdot z = 0$ .

0 \cdot x + 1 \cdot y + 0 \cdot z = 0 \Rightarrow n = (0; 1; 0)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ : $n_{1} = (0; 1; 0)$ . Các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai lần lượt vì $(0; 0; 1)$ vuông góc với $(O x y)$ , $(1; 0; 1)$ không vuông góc với cả $O x$ và $O z$ , còn $(1; 0; 0)$ nằm trong $(O x z)$ .

Đáp án: D — Vì một vectơ pháp tuyến của

(O x z)

là

(0; 1; 0)

.

Câu 7

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định, liên tục trên $R$ và có bảng biến thiên như sau: Điểm nào dưới đây là điểm cực tiểu của hàm số đã cho?

A

$x = - 2$

B

$y = - 2$

C

$x = 2$

D

$(2; - 2)$

Lời giải

Bước 1: Xét dấu đạo hàm

Trên $(- 1; 2)$ , hàm số giảm vì $f^{'} (x) < 0$ ; trên $(2; + \infty)$ , hàm số tăng vì $f^{'} (x) > 0$ .

f^{'} (x) : - \to + tại x = 2

Bước 2: Kết luận cực tiểu

Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương tại $x = 2$ , nên hàm số đạt cực tiểu tại đó.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn C. $x = 2$ ; A sai vì $x = - 2$ không phải điểm đổi dấu, B nêu tung độ $y = - 2$ , còn D nêu tọa độ điểm thay vì hoành độ.

Đáp án: C.

x = 2

— vì

f^{'} (x)

đổi dấu từ âm sang dương tại

x = 2

.

Câu 8

Hàm số $f (x) = 3 x^{2} - 2$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

A

$6 x - 2$

B

$x^{3} - 2 x$

C

$x^{3} - 2 x + C$

D

$6 x$

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Theo định nghĩa, hàm cần tìm là $g (x) = f^{'} (x)$ .

f^{'} (x) = (3 x^{2} - 2)^{'} = 6 x

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án D vì $g (x) = 6 x$ ; A sai do có thêm $- 2$ , còn B và C là các nguyên hàm của $f (x)$ .

g (x) = f^{'} (x) = 6 x

Đáp án: D.

6 x

— vì

f^{'} (x) = 6 x

, nên

f (x)

là một nguyên hàm của

6 x

.

Câu 9

Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Đặt $A B = a, A D = b, A A^{'} = c$ . Phân tích vectơ $A C^{'}$ theo $a, b, c$ . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

A

$A C^{'} = - a + b + c$

B

$A C^{'} = a + b - c$

C

$A C^{'} = a + b + c$

D

$A C^{'} = a - b + c$

Lời giải

Bước 1: Chọn đường đi

Chọn đường đi $A \to B \to C \to C^{'}$ theo các cạnh của hình hộp.

Bước 2: Cộng các vectơ

Áp dụng quy tắc cộng vectơ và thay các vectơ cạnh bằng dữ kiện đã cho.

A C^{'} = A B + B C + C C^{'} = a + b + c

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ ; các phương án $A$ , $B$ , $D$ lần lượt sai dấu của $A B$ , $C C^{'}$ , $B C$ .

C

Đáp án: Đáp án

C

— vì

A C^{'} = a + b + c

.

Câu 10

Cho $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x)$ trên $R$ thỏa $F (1) = 9$ và $F (2) = 5$ . Giá trị của $\int_{1}^{2} f (x) d x$ bằng

A

$4$

B

$45$

C

$14$

D

$- 4$

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Dùng định lý cơ bản của giải tích với cận dưới $1$ và cận trên $2$ .

\int_{1}^{2} f (x) d x = F (2) - F (1)

Bước 2: Đối chiếu phương án

Thay số: $\int_{1}^{2} f (x) d x = 5 - 9 = - 4$ .

Chọn $D$ ; các phương án $A$ , $B$ , $C$ lần lượt sai do đổi thứ tự hiệu, tính sai phép toán và cộng hai giá trị.

\int_{1}^{2} f (x) d x = 5 - 9 = - 4

Đáp án: D — Vì

\int_{1}^{2} f (x) d x = F (2) - F (1) = 5 - 9 = - 4

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Trà Vinh năm 2025

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tìm công bội

Bước 2: Tìm số hạng đầu

Bước 3: Lập số hạng tổng quát

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Viết công thức tổng quát

Bước 2: Thay dữ liệu vào công thức

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Đọc giới hạn từ bảng biến thiên

Bước 2: Xác định tiệm cận ngang

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Lấy vectơ cơ bản

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Xác định các giá trị cần xét

Bước 2: So sánh các giá trị

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Xác định phương trình

Bước 2: Lấy vectơ pháp tuyến

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Xét dấu đạo hàm

Bước 2: Kết luận cực tiểu

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Chọn đường đi

Bước 2: Cộng các vectơ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Bước 2: Đối chiếu phương án