Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Thanh Hóa năm 2025 - Lần 2 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Trong không gian $O x y z$ , cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + z^{2} = 9$ . Đường kính của mặt cầu $(S)$ bằng

A

9

B

18

C

6

D

3

Lời giải

Bước 1: Xác định bán kính

So sánh phương trình với dạng chuẩn, suy ra $R^{2} = 9$ .

R^{2} = 9 \Rightarrow R = 9 = 3

Bước 2: Tính đường kính

Dùng công thức đường kính bằng hai lần bán kính.

d = 2 R = 2 \cdot 3 = 6

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $C$ đúng; $A$ là $R^{2}$ , $D$ là $R$ , còn $B$ sai do nhân nhầm hệ số.

Đáp án:

C

— đường kính của mặt cầu là

d = 6

.

Câu 2

Cho hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình bên và $a, b, c, d$ là các số thực. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A

$a + d > 0$

B

$a + d < 0$

C

$a d > 0$

D

$a d < 0$

Lời giải

Bước 1: Dùng điều kiện cực trị

Ta có $f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ . Tại các cực trị, $f^{'} (1) = f^{'} (- 1) = 0$ .

f^{'} (1) = 3 a + 2 b + c = 0, f^{'} (- 1) = 3 a - 2 b + c = 0 \Rightarrow b = 0, c = - 3 a

Bước 2: Tìm $a$ và $d$

Gốc tọa độ thuộc đồ thị nên $f (0) = d = 0$ . Dùng điểm cực đại $(1; 2)$ để xác định $a$ .

f (0) = d = 0, f (1) = a + b + c + d = a - 3 a = 2 \Rightarrow a = - 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Có $a + d = - 1 < 0$ và $a d = 0$ . Chọn phương án $B$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai lần lượt vì trái dấu của $a + d$ hoặc sai dấu của $a d$ .

a + d = - 1 < 0, a d = 0

Đáp án: Đáp án

B

— vì

a + d = - 1 < 0

.

Câu 3

Tập nghiệm của bất phương trình $2^{3 x - 7} < 4$ là

A

$(- \infty; 1)$

B

$(3; + \infty)$

C

$(0; + \infty)$

D

$(- \infty; 3)$

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Viết vế phải dưới dạng lũy thừa cơ số $2$ .

4 = 2^{2}, 2^{3 x - 7} < 2^{2}

Bước 2: So sánh số mũ

Vì cơ số $2 > 1$ , ta so sánh hai số mũ.

3 x - 7 < 2 ⟺ 3 x < 9 ⟺ x < 3

Bước 3: Viết tập nghiệm

Tập nghiệm được biểu diễn bằng khoảng.

S = (- \infty; 3)

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ ; $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt sai cận, ngược chiều và sai miền nghiệm.

Đáp án: Đáp án

D

— tập nghiệm là

(- \infty; 3)

.

Câu 4

Trong không gian $O x y z$ , khoảng cách từ điểm $A (1; 3; - 2)$ đến mặt phẳng $(O x y)$ bằng

A

2

B

$14$

C

3

D

1

Lời giải

Bước 1: Xác định mặt phẳng

Mặt phẳng $(O x y)$ có phương trình $z = 0$ .

z = 0

Bước 2: Tính khoảng cách

Với $A (1; 3; - 2)$ , khoảng cách đến $(O x y)$ là trị tuyệt đối của tọa độ $z$ .

d = ∣ - 2∣ = 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $A$ đúng; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt là khoảng cách $O A$ , tọa độ $y$ và giá trị không phù hợp với $∣ z_{A} ∣$ .

Đáp án: A.

2

— khoảng cách từ

A

đến

(O x y)

bằng

∣ z_{A} ∣ = 2

.

Câu 5

Cho hàm số $f (x) = x^{2} + 4$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A

$\int f (x) d x = x^{2} + 4 x + C$

B

$\int f (x) d x = \frac{x ^{3}}{3} + 4 x + C$

C

$\int f (x) d x = x^{3} + 4 x + C$

D

$\int f (x) d x = 2 x + C$

Lời giải

Bước 1: Tách thành phần

Áp dụng tính tuyến tính của nguyên hàm.

\int (x^{2} + 4) d x = \int x^{2} d x + \int 4 d x

Bước 2: Tính từng nguyên hàm

Dùng công thức lũy thừa và nguyên hàm của hằng số.

\int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3}, \int 4 d x = 4 x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án B đúng; A, C, D lần lượt sai vì nguyên hàm của $x^{2}$ không phải $x^{2}$ , thiếu hệ số $\frac{1}{3}$ , và bỏ sót thành phần $x^{2}$ .

\int f (x) d x = \frac{x ^{3}}{3} + 4 x + C

Đáp án: Phương án B —

\int f (x) d x = \frac{x ^{3}}{3} + 4 x + C

.

Câu 6

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với $u_{1} = 3$ và $u_{4} = 81$ . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng

A

$33$

B

$3$

C

$333$

D

$3$

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình

Áp dụng công thức với $n = 4$ .

u_{4} = u_{1} q^{3}

Bước 2: Tính công bội

Thay dữ kiện vào phương trình và giải $q$ .

81 = 3 q^{3} \Rightarrow q^{3} = 27 \Rightarrow q = 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án D: $3$ ; A, B, C sai vì các giá trị đó không thỏa mãn $81 = 3 q^{3}$ .

Đáp án: D — Vì công bội là

q = 3

.

Câu 7

Khảo sát thu nhập theo tháng của người lao động ở một công ty thu được mẫu số ghép nhóm như bảng sau. Tính mức thu nhập trung bình của người lao động ở công ty trên (đơn vị: triệu đồng)

A

$12, 5$

B

$11, 75$

C

$11$

D

$10, 5$

Lời giải

Bước 1: Tính trung điểm các lớp

Các trung điểm lần lượt là $6, 5; 9, 5; 12, 5; 15, 5; 18, 5$ .

x_{i} = (\frac{5 + 8}{2}, \frac{8 + 11}{2}, \frac{11 + 14}{2}, \frac{14 + 17}{2}, \frac{17 + 20}{2})

Bước 2: Tính thu nhập trung bình

Nhân từng trung điểm với tần số tương ứng rồi chia cho tổng tần số.

\overset{x}{ˉ} = \frac{6 , 5 \cdot 30 + 9 , 5 \cdot 55 + 12 , 5 \cdot 45 + 15 , 5 \cdot 50 + 18 , 5 \cdot 20}{30 + 55 + 45 + 50 + 20} = 11, 75

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ . Các phương án $A, C, D$ sai vì không cho đúng giá trị trung bình có trọng số.

Đáp án: B — Thu nhập trung bình là

11, 75

triệu đồng.

Câu 8

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình bình hành và $M$ là trung điểm của $C D$ . Phát biểu nào sau đây là đúng?

A

$S M = \frac{1}{2} (S A + S B + 2 S C)$

B

$S M = \frac{1}{2} (S A - S B + 2 S C)$

C

$S M = \frac{1}{2} (S A + S B + S C)$

D

$S M = \frac{1}{2} (S A - S B - 2 S C)$

Lời giải

Bước 1: Tách vectơ qua $C$

Theo quy tắc cộng vectơ, $S M = S C + C M$ .

S M = S C + \frac{1}{2} C D

Bước 2: Dùng tính chất hình bình hành

Vì $C D = - A B$ và $A B = S B - S A$ , thay vào biểu thức trên.

S M = S C - \frac{1}{2} (S B - S A) = \frac{1}{2} (S A - S B + 2 S C)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án có đúng biểu thức vừa tìm được; các phương án còn lại sai dấu hoặc sai hệ số.

Đáp án: B —

S M = \frac{1}{2} (S A - S B + 2 S C)

.

Câu 9

Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy là tam giác đều và $S A ⊥ (A B C)$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $B C$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A

$B C ⊥ S B$

B

$B C ⊥ S C$

C

$B C ⊥ A H$

D

$B C ⊥ A C$

Lời giải

Bước 1: Xác định các vuông góc

Vì $H$ là hình chiếu của $S$ trên $B C$ nên $S H ⊥ B C$ ; đồng thời $S A ⊥ (A B C)$ nên $S A ⊥ B C$ .

S H ⊥ B C, S A ⊥ B C

Bước 2: Suy ra đường cần tìm

Trong vectơ, $A H = S H - S A$ ; cả hai vectơ ở vế phải đều vuông góc với $B C$ .

A H = S H - S A \Rightarrow A H ⊥ B C

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $C$ : $B C ⊥ A H$ . Các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì hình chiếu của $S B$ , $S C$ trên đáy lần lượt là $A B$ , $A C$ , còn $A B C = B C A = 6 0^{\circ}$ .

B C ⊥ A H

Đáp án:

C

— vì

B C ⊥ A H

.

Câu 10

Nếu $\int_{- 2}^{1} f (x) d x = 6$ thì $\int_{- 2}^{1} 2 + f (x) d x$ bằng

A

12

B

10

C

0

D

6

Lời giải

Bước 1: Tách tích phân

Áp dụng tính tuyến tính để tách phần hằng số và phần $f (x)$ .

\int_{- 2}^{1} (2 + f (x)) d x = \int_{- 2}^{1} 2 d x + \int_{- 2}^{1} f (x) d x

Bước 2: Tính và thay số

Độ dài khoảng là $1 - (- 2) = 3$ ; thay dữ kiện đã cho.

\int_{- 2}^{1} (2 + f (x)) d x = 2 (1 - (- 2)) + 6 = 6 + 6 = 12

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ ; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt tính sai độ dài khoảng, trừ nhầm, hoặc bỏ qua phần hằng số.

12

Đáp án:

A

— Vì

\int_{- 2}^{1} 2 d x + \int_{- 2}^{1} f (x) d x = 6 + 6 = 12

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Thanh Hóa năm 2025 - Lần 2

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Xác định bán kính

Bước 2: Tính đường kính

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Dùng điều kiện cực trị

Bước 2: Tìm a và d

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Bước 2: So sánh số mũ

Bước 3: Viết tập nghiệm

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Xác định mặt phẳng

Bước 2: Tính khoảng cách

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Tách thành phần

Bước 2: Tính từng nguyên hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình

Bước 2: Tính công bội

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tính trung điểm các lớp

Bước 2: Tính thu nhập trung bình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tách vectơ qua C

Bước 2: Dùng tính chất hình bình hành

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Xác định các vuông góc

Bước 2: Suy ra đường cần tìm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tách tích phân

Bước 2: Tính và thay số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 2: Tìm $a$ và $d$

Bước 1: Tách vectơ qua $C$