Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Thanh Hóa năm 2025 - Lần 1 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ (minh hoạ như hình bên). Phát biểu nào sau đây là đúng?

Hình minh họa

A

$A A^{'} + A C = A^{'} C^{'}$

B

$A A^{'} + A C = A D^{'}$

C

$A A^{'} + A C = A C^{'}$

D

$A A^{'} + A C = A B^{'}$

Lời giải

Bước 1: Tịnh tiến vectơ

Dời $A C$ từ $A$ đến $A^{'}$ ; vectơ tương ứng là $A^{'} C^{'}$ .

A C = A^{'} C^{'}

Bước 2: Áp dụng quy tắc cộng

Ghép $A A^{'}$ với $A^{'} C^{'}$ theo quy tắc cộng vectơ.

A A^{'} + A C = A A^{'} + A^{'} C^{'} = A C^{'}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $C$ đúng.

Đáp án:

C

— Vì

A A^{'} + A C = A C^{'}

.

Câu 2

Trong không gian tọa độ $O x y z$ , cho điểm $A (1; - 2; 5)$ . Hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên trục $O x$ là:

A

$(0; - 2; 5)$

B

$(0; 0; 5)$

C

$(0; - 2; 0)$

D

$(1; 0; 0)$

Lời giải

Bước 1: Xác định dạng hình chiếu

Mọi điểm trên $O x$ có dạng $B (t; 0; 0)$ .

B (t; 0; 0)

Bước 2: Tính tọa độ hình chiếu

Giữ hoành độ của $A$ và đặt tung độ, cao độ bằng $0$ .

B = (x_{A}; 0; 0) = (1; 0; 0)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án D: $(1; 0; 0)$ . A, B, C sai vì lần lượt không thuộc $O x$ , thuộc $O z$ , thuộc $O y$ .

Đáp án: D.

(1; 0; 0)

— giữ hoành độ của

A

, đồng thời cho

y = z = 0

.

Câu 3

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = cos x$ là:

A

$cos x + C$

B

$- sin x + C$

C

$- cos x + C$

D

$sin x + C$

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Vì $(sin x)^{'} = cos x$ , nguyên hàm cần tìm là $sin x + C$ .

F (x) = sin x + C

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án D: $sin x + C$ . Các phương án A, B, C sai vì đạo hàm lần lượt là $- sin x$ , $- cos x$ , $sin x$ , không bằng $cos x$ .

(sin x + C)^{'} = cos x

Đáp án: D — Vì

(sin x + C)^{'} = cos x

.

Câu 4

Bảng dưới đây thống kê cự li ném tạ của một vận động viên. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm):

Hình minh họa

A

$0, 28$

B

$0, 22$

C

$0, 24$

D

$0, 26$

Lời giải

Bước 1: Tính cỡ mẫu và điểm giữa

Tính tổng tần số và điểm giữa mỗi khoảng lớp.

n = 13 + 45 + 24 + 12 + 6 = 100, x_{i} = 19, 25; 19, 75; 20, 25; 20, 75; 21, 25

Bước 2: Tính trung bình và phương sai

Dùng các điểm giữa làm giá trị đại diện cho từng lớp.

\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum f _{i} x _{i}}{n} = \frac{2001 , 5}{100} = 20, 015, \sum f_{i} (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2} = 27, 7275, s^{2} = \frac{27 , 7275}{100} \approx 0, 28

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ : $0, 28$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt tính sai độ lệch bình phương, làm tròn sai hoặc dùng nhầm công thức.

Đáp án: Đáp án

A

:

0, 28

— phương sai mẫu là

\frac{27 , 7275}{100} \approx 0, 28

.

Câu 5

Tập nghiệm của bất phương trình $lo g_{2} (3 x + 1) < 2$ là:

A

$[- \frac{1}{3}; 1)$

B

$(- \frac{1}{3}; \frac{1}{3})$

C

$(- \frac{1}{3}; 1)$

D

$(- \infty; 1)$

Lời giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Biểu thức trong logarit phải dương.

3 x + 1 > 0 i f f x > - f r a c 13

Bước 2: Giải bất phương trình

Vì cơ số $2 > 1$ , hàm logarit đồng biến nên giữ nguyên chiều bất đẳng thức.

l o g_{2} (3 x + 1) < 2 i f f 3 x + 1 < 2^{2} = 4 i f f x < 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Kết hợp điều kiện, ta được $- f r a c 13 < x < 1$ , nên chọn phương án C: $l e f t (- f r a c 13; 1 r i g h t)$ ; A sai vì nhận $x = - f r a c 13$ , B thiếu nghiệm, D nhận cả $x l e - f r a c 13$ không thuộc miền xác định.

- f r a c 13 < x < 1

Đáp án: C — Tập nghiệm là

l e f t (- f r a c 13; 1 r i g h t)

.

Câu 6

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ $(c \neq = 0, a d - b c \neq = 0)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là:

A

$y = 0$

B

$y = - 1$

C

$x = - 1$

D

$y = 1$

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng tiệm cận

Hàm số có tử và mẫu cùng bậc $1$ , nên có một tiệm cận ngang dạng $y = \frac{a}{c}$ .

y_{TC ngang} = \frac{a}{c}

Bước 2: Đọc từ đồ thị

Khi $x \to \pm \infty$ , đồ thị tiến gần đường thẳng $y = - 1$ .

y_{TC ngang} = - 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án B: $y = - 1$ ; A và D sai vì không đúng đường ngang, C sai vì $x = - 1$ có dạng tiệm cận đứng.

Đáp án: B.

y = - 1

— Đồ thị tiến gần đường thẳng ngang

y = - 1

khi

x \to \pm \infty

.

Câu 7

Nghiệm của phương trình $4^{x - 1} = 8^{3 - 2 x}$ là:

A

$x = \frac{8}{11}$

B

$x = \frac{11}{8}$

C

$x = \frac{4}{3}$

D

$x = \frac{1}{8}$

Lời giải

Bước 1: Đổi cơ số

Đưa các cơ số về cơ số $2$ .

4^{x - 1} = 8^{3 - 2 x} ⟺ 2^{2 (x - 1)} = 2^{3 (3 - 2 x)}

Bước 2: So sánh số mũ

Hai lũy thừa cùng cơ số $2$ nên các số mũ bằng nhau.

2 (x - 1) = 3 (3 - 2 x) ⟺ 2 x - 2 = 9 - 6 x ⟺ 8 x = 11 ⟺ x = \frac{11}{8}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án B. A, C, D sai vì lần lượt là nghịch đảo hoặc không thỏa phương trình.

Đáp án: B — nghiệm là

x = \frac{11}{8}

sau khi so sánh hai số mũ cùng cơ số

2

.

Câu 8

Trong không gian tọa độ $O x y z$ , cho $A (1; 1; - 2)$ và $B (2; - 1; 0)$ . Tọa độ của vectơ $A B$ là:

A

$A B = (1; - 2; 2)$

B

$A B = (1; 2; 2)$

C

$A B = (- 1; 2; - 2)$

D

$A B = (3; 0; - 2)$

Lời giải

Bước 1: Lập công thức

Áp dụng công thức hiệu tọa độ cho $A$ và $B$ .

A B = (2 - 1; - 1 - 1; 0 - (- 2))

Bước 2: Đối chiếu phương án

Tính được $A B = (1; - 2; 2)$ , nên chọn phương án $A$ ; các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai do sai dấu hoặc không lấy đúng hiệu tọa độ.

A B = (1; - 2; 2)

Đáp án: Đáp án

A

:

A B = (1; - 2; 2)

theo công thức lấy tọa độ

B

trừ tọa độ

A

.

Câu 9

Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh $a$ . Biết $S A ⊥ (A B C)$ và $S A = a 3$ . Thể tích của khối chóp $S . A B C$ là:

A

$\frac{3 a ^{3}}{4}$

B

$\frac{a ^{3}}{2}$

C

$\frac{a ^{3}}{4}$

D

$\frac{a ^{3}}{4}$

Lời giải

Bước 1: Tính diện tích đáy

Đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh $a$ .

S_{A B C} = \frac{a ^{2} 3}{4}

Bước 2: Tính thể tích

Vì $S A ⊥ (A B C)$ nên $h = S A = a 3$ .

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a ^{2} 3}{4} \cdot a 3 = \frac{a ^{3}}{4}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $D$ . Phương án $A$ và $B$ sai; phương án $C$ trùng giá trị với $D$ , nên đề bị lặp đáp án.

Đáp án:

D

— Vì

V = \frac{a ^{3}}{4}

.

Câu 10

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau: (hình) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A

$(- \infty; 1)$

B

$(1; + \infty)$

C

$(0; 1)$

D

$(- 1; 0)$

Lời giải

Bước $1$ : Xác định khoảng đồng biến

Từ bảng biến thiên, lấy các khoảng có dấu $f^{'} (x) > 0$ .

f^{'} (x) > 0 tr \overset{e}{ˆ} n (- \infty; - 1) v \overset{a}{ˋ} (0; 1)

Bước $2$ : Đối chiếu phương án

Khoảng $(0; 1)$ phù hợp. A, B, D sai vì lần lượt chứa khoảng nghịch biến, nằm trên khoảng nghịch biến và có $f^{'} (x) < 0$ .

Đáp án: C.

(0; 1)

— vì

f^{'} (x) > 0

trên toàn bộ khoảng này.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Thanh Hóa năm 2025 - Lần 1

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tịnh tiến vectơ

Bước 2: Áp dụng quy tắc cộng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Xác định dạng hình chiếu

Bước 2: Tính tọa độ hình chiếu

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tính cỡ mẫu và điểm giữa

Bước 2: Tính trung bình và phương sai

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 2: Giải bất phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng tiệm cận

Bước 2: Đọc từ đồ thị

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Đổi cơ số

Bước 2: So sánh số mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Lập công thức

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tính diện tích đáy

Bước 2: Tính thể tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xác định khoảng đồng biến

Bước 2: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Xác định khoảng đồng biến

Bước $2$ : Đối chiếu phương án