Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Thái Nguyên năm 2025 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} - 3 x + 4$ trên đoạn $[0; 2]$

A

$2$

B

$- 12$

C

$4$

D

$- 6$

Lời giải

Bước 1: Tìm điểm cần xét

Tính đạo hàm và giải $y^{'} = 0$ ; giữ các nghiệm thuộc $[0; 2]$ .

y^{'} = 3 x^{2} - 3 = 3 (x^{2} - 1) = 0 \Rightarrow x = \pm 1 \Rightarrow x = 1 \in [0; 2]

Bước 2: Tính các giá trị

Tính hàm số tại hai đầu mút và điểm tới hạn $x = 1$ .

y (0) = 4, y (1) = 2, y (2) = 6

Bước 3: Đối chiếu phương án

Giá trị nhỏ nhất là $2$ , đạt tại $x = 1$ . Chọn phương án A; B, C, D sai vì lần lượt không phải giá trị nhỏ nhất, chỉ là giá trị tại $x = 0$ , và không xuất hiện trong các giá trị đã tính.

min {4, 2, 6} = 2

Đáp án: A.

2

— là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị

y (0), y (1), y (2)

.

Câu 2

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau: Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng

Hình minh họa

A

$- 1$

B

$1$

C

$2$

D

$- 5$

Lời giải

Bước $1$ : Xác định điểm cực đại

Bảng biến thiên cho thấy hàm số đổi từ đồng biến sang nghịch biến tại $x = - 1$ .

f (- 1) = 2

Bước $2$ : Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ vì giá trị cực đại bằng $2$ ; các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt là hoành độ cực đại, hoành độ cực tiểu và giá trị không phù hợp.

Đáp án: Phương án

C

:

2

— đây là giá trị

f (- 1)

tại điểm cực đại.

Câu 3

Tập xác định của hàm số $y = \frac{1}{s i n x}$ là

A

$R ∖ {k 2 π, k \in Z}$

B

$R ∖ {k π, k \in Z}$

C

$R ∖ {0}$

D

$R ∖ {0; π}$

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện xác định

Mẫu số phải khác $0$ .

sin x \neq = 0

Bước 2: Đối chiếu phương án

Vì $sin x = 0 ⟺ x = k π$ , nên loại các giá trị $x = k π$ với $k \in Z$ .

Chọn $R ∖ {k π ∣ k \in Z}$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ lần lượt loại thiếu nghiệm, chỉ loại $0$ , hoặc chỉ loại $0$ và $π$ .

D = R ∖ {k π ∣ k \in Z}

Đáp án:

B

— Vì

sin x = 0

khi và chỉ khi

x = k π

, với

k \in Z

.

Câu 4

Trong không gian $O x y z$ , gọi $M^{'}$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M (2; 3; - 1)$ trên trục $O y$ . Khi đó $M M^{'}$ có tọa độ là

A

$(0; 2; 3)$

B

$(3; 0; 0)$

C

$(- 2; 0; 1)$

D

$(0; 3; 0)$

Lời giải

Bước 1: Xác định hình chiếu

Vì $M^{'}$ thuộc trục $O y$ nên giữ tung độ $3$ , đồng thời có hoành độ và cao độ bằng $0$ .

M^{'} = (0; 3; 0)

Bước 2: Tính tọa độ vectơ

Áp dụng công thức tọa độ vectơ từ $M$ đến $M^{'}$ .

M M^{'} = (0 - 2; 3 - 3; 0 - (- 1)) = (- 2; 0; 1)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ ; các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì không phải tọa độ của $M M^{'}$ , trong đó $D$ là tọa độ của $M^{'}$ .

Đáp án:

C

— vì

M M^{'} = (- 2; 0; 1)

.

Câu 5

Tập xác định của hàm số $y = lo g_{2} (x - 3)$ là

A

$[3; + \infty)$

B

$(- \infty; + \infty)$

C

$(3; + \infty)$

D

$R ∖ {3}$

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện xác định

Biểu thức trong logarit là $x - 3$ ; điều kiện xác định là biểu thức này dương.

x - 3 > 0

Bước 2: Giải điều kiện

Giải bất phương trình điều kiện để tìm miền giá trị của $x$ .

x > 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ vì tập xác định là $(3; + \infty)$ ; $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt chứa $x = 3$ , nhận mọi $x$ , và vẫn nhận các giá trị $x < 3$ .

Đáp án: Đáp án

C

— tập xác định là

(3; + \infty)

vì

x - 3 > 0

.

Câu 6

Cho mẫu số liệu ghép nhóm về khoảng tuổi và số người như bảng sau: Khoảng tứ phân vị (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho bằng

Hình minh họa

A

$13, 62$

B

$25, 01$

C

$11, 38$

D

$32, 18$

Lời giải

Bước $1$ : Lập tần số tích lũy

Tần số tích lũy lần lượt là $33, 56, 79, 95, 111, 120$ .

F = (33, 56, 79, 95, 111, 120), Q_{1} : 0, 25 n = 30, Q_{3} : 0, 75 n = 90

Bước $2$ : Tính $Q_{1}$ và $Q_{3}$

$Q_{1}$ thuộc lớp $[22; 31)$ , còn $Q_{3}$ thuộc lớp $[49; 58)$ .

Q_{1} = 22 + \frac{30}{33} \cdot 9 = 30, 1818, Q_{3} = 49 + \frac{90 - 79}{16} \cdot 9 = 55, 1875

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Tính khoảng tứ phân vị và làm tròn đến hàng phần trăm.

Phương án $B$ đúng; $A$ , $C$ , $D$ sai vì không bằng kết quả nội suy chính xác.

Δ Q = Q_{3} - Q_{1} = 55, 1875 - 30, 1818 = 25, 0057 \approx 25, 01

Đáp án: B — Khoảng tứ phân vị là

Δ Q \approx 25, 01

.

Câu 7

Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

Hình minh họa

A

$y = \frac{2 x - 1}{x - 2}$

B

$y = \frac{x ^{2} + 1}{x - 1}$

C

$y = x^{3} - 3 x - 1$

D

$y = \frac{x + 2}{x - 2}$

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện hệ số

Đặt $f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$ . Từ các tiệm cận, suy ra $a = c$ và $d = - 2 c$ .

\frac{a}{c} = 1 \Rightarrow a = c, 2 c + d = 0 \Rightarrow d = - 2 c

Bước 2: Dùng giao trục tung

Vì đồ thị đi qua $(0; - 1)$ nên $f (0) = - 1$ , từ đó xác định được $b = 2 c$ .

\frac{b}{- 2 c} = - 1 \Rightarrow b = 2 c \Rightarrow f (x) = \frac{x + 2}{x - 2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án D: $y = \frac{x + 2}{x - 2}$ . A có tiệm cận ngang $y = 2$ , B có tiệm cận xiên, C là đa thức nên không có tiệm cận đứng.

Đáp án: D —

y = \frac{x + 2}{x - 2}

có đúng các đặc điểm của đồ thị.

Câu 8

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = 202 5^{x}$ là

A

$202 5^{x} ln 2025 + C$

B

$202 5^{x} + C$

C

$\frac{202 5 ^{x}}{x + 1} + C$

D

$\frac{202 5 ^{x}}{l n 2025} + C$

Lời giải

Bước 1: Nhận diện công thức

Áp dụng công thức nguyên hàm hàm mũ với cơ số $a = 2025$ .

\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C

Bước 2: Thay cơ số

Thay $a = 2025$ vào công thức.

\int 202 5^{x} d x = \frac{202 5 ^{x}}{ln 2025} + C

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn D. A, B, C sai vì lần lượt nhân với $ln 2025$ , bỏ hệ số $\frac{1}{l n 2025}$ và chia thêm cho $x + 1$ .

Đáp án: D.

\frac{202 5 ^{x}}{ln 2025} + C

— đúng công thức nguyên hàm hàm mũ.

Câu 9

Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x ^{2} - 3 x + 2}{x - 1}$ là

A

$y = - 2 x - 1$

B

$y = 2 x - 1$

C

$y = 2 x + 1$

D

$y = - 2 x + 1$

Lời giải

Bước 1: Chia đa thức

Phân tích hàm số bằng phép chia đa thức:

\frac{2 x ^{2} - 3 x + 2}{x - 1} = 2 x - 1 + \frac{1}{x - 1}

Bước 2: Xác định tiệm cận

Vì $x \to \pm \infty lim \frac{1}{x - 1} = 0$ , đường tiệm cận xiên là $y = 2 x - 1$ .

Đối chiếu phương án: $B$ đúng; $A$ , $D$ sai dấu hệ số $x$ , còn $C$ sai dấu hằng số.

Đáp án:

B

— Đường tiệm cận xiên là

y = 2 x - 1

.

Câu 10

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Hình minh họa

A

$(- \infty; 2)$

B

$(- 2; 2)$

C

$(0; 2)$

D

$(2; + \infty)$

Lời giải

Bước 1: Xác định chiều biến thiên

Đồ thị giảm trước $x_{1}$ , tăng giữa hai điểm cực trị, rồi giảm sau $x_{2}$ .

f^{'} (x) < 0 tr \overset{e}{ˆ} n (- \infty; x_{1}), f^{'} (x) > 0 tr \overset{e}{ˆ} n (x_{1}; x_{2}), f^{'} (x) < 0 tr \overset{e}{ˆ} n (x_{2}; + \infty)

Bước 2: Xác định khoảng đồng biến

Khoảng đồng biến là $(x_{1}; x_{2})$ . Vì $x_{1} \in (0; 1)$ và $x_{2} = 2$ , khoảng này nằm trong $(0; 2)$ theo đồ thị.

(x_{1}; x_{2}) \subset (0; 2)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn C: $(0; 2)$ . A, B, D sai vì lần lượt chứa đoạn giảm trước cực tiểu, chứa đoạn giảm trước $x_{1}$ , và là đoạn giảm sau cực đại.

Đáp án: C.

(0; 2)

— đồ thị đi lên trên khoảng này.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Thái Nguyên năm 2025

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tìm điểm cần xét

Bước 2: Tính các giá trị

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Xác định điểm cực đại

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện xác định

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Xác định hình chiếu

Bước 2: Tính tọa độ vectơ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện xác định

Bước 2: Giải điều kiện

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Lập tần số tích lũy

Bước 2: Tính Q1​ và Q3​

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện hệ số

Bước 2: Dùng giao trục tung

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Nhận diện công thức

Bước 2: Thay cơ số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Chia đa thức

Bước 2: Xác định tiệm cận

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xác định chiều biến thiên

Bước 2: Xác định khoảng đồng biến

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Xác định điểm cực đại

Bước $2$ : Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Lập tần số tích lũy

Bước $2$ : Tính $Q_{1}$ và $Q_{3}$

Bước $3$ : Đối chiếu phương án