Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Sơn La năm 2025 - Lần 2 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , cho mặt cầu $(S) : (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 16$ . Bán kính của mặt cầu $(S)$ bằng

A

256

B

16

C

8

D

4

Lời giải

Bước 1: Xác định $R^{2}$

Đối chiếu phương trình đã cho với dạng chuẩn của mặt cầu.

R^{2} = 16

Bước 2: Tính bán kính

Lấy căn bậc hai dương để tìm $R$ .

R = 16 = 4

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ : $4$ . Các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt là $1 6^{2}$ , $R^{2}$ và không bằng $16$ .

Đáp án: D — Bán kính là

R = 16 = 4

.

Câu 2

Họ các nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{n}$ là

A

$n x^{n - 1} + C$

B

$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$

C

$x^{n - 1} + C$

D

$\frac{x ^{n + 1}}{n} + C$

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Dùng trực tiếp công thức nguyên hàm lũy thừa với $f (x) = x^{n}$ .

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn $B$ vì đúng công thức; $A$ là dạng đạo hàm, còn $C$ và $D$ sai số mũ hoặc mẫu số.

F (x) = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C

Đáp án:

B

— Vì họ nguyên hàm của

x^{n}

là

\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C

với

n \neq = - 1

.

Câu 3

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục, không âm trên đoạn $[a; b]$ . Hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f (x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a, x = b$ quay quanh trục $O x$ tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng

A

$S = \int_{a}^{b} [f (x)]^{2} d x$

B

$V = π \int_{a}^{b} [f (x)]^{2} d x$

C

$S = π \int_{a}^{b} f (x) d x$

D

$V = \int_{a}^{b} f (x) d x$

Lời giải

Bước 1: Xác định mặt cắt

Tại mỗi $x \in [a; b]$ , thiết diện vuông góc với $O x$ là hình tròn bán kính $R (x) = f (x)$ .

R (x) = f (x), A (x) = π [f (x)]^{2}

Bước 2: Tính thể tích

Lấy tích phân diện tích các thiết diện trên đoạn $[a; b]$ .

V = \int_{a}^{b} A (x) d x = π \int_{a}^{b} [f (x)]^{2} d x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ ; $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt thiếu $π$ và ghi sai đại lượng, thiếu bình phương $f (x)$ , thiếu $π$ và bình phương $f (x)$ .

Đáp án: Phương án

B

— thể tích bằng

π \int_{a}^{b} [f (x)]^{2} d x

theo phương pháp đĩa.

Câu 4

Cho hai biến cố $A$ và $B$ độc lập. Biết rằng $P (A) = 0, 4, P (B) = 0, 3$ . Khi đó $P (A ∣ B)$ bằng

A

$0, 4$

B

$0, 12$

C

$0, 7$

D

$0, 3$

Lời giải

Bước 1: Dùng tính độc lập

Vì $A$ và $B$ độc lập nên $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ .

P (A \cap B) = P (A) P (B)

Bước 2: Tính xác suất điều kiện

Áp dụng công thức xác suất có điều kiện.

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} = \frac{P ( A ) P ( B )}{P ( B )} = P (A) = 0, 4

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A. $0, 4$ ; B. $0, 12$ là $P (A \cap B)$ , C. $0, 7$ và D. $0, 3$ đều không phải $P (A ∣ B)$ .

Đáp án: A.

0, 4

— hai biến cố độc lập nên

P (A ∣ B) = P (A)

.

Câu 5

Bất phương trình $lo g_{3} (x + 1) > 0$ có tập nghiệm là

A

$(- 1; + \infty)$

B

$(- \infty; 1)$

C

$(0; + \infty)$

D

$(- \infty; 0)$

Lời giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Biểu thức logarit có nghĩa khi $x + 1 > 0$ .

x + 1 > 0 ⟹ x > - 1

Bước 2: Giải bất phương trình

Vì $3 > 1$ , giữ nguyên chiều bất đẳng thức khi chuyển sang dạng mũ.

lo g_{3} (x + 1) > 0 ⟺ x + 1 > 3^{0} = 1 ⟺ x > 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Kết hợp với điều kiện $x > - 1$ , tập nghiệm là $(0; + \infty)$ .

Chọn $C$ ; các phương án $A$ , $B$ , $D$ lần lượt chứa giá trị không thỏa, chứa phần ngoài điều kiện xác định hoặc loại bỏ nghiệm đúng.

S = (0; + \infty)

Đáp án: C — Tập nghiệm là

(0; + \infty)

.

Câu 6

Mẫu số liệu ghép nhóm thống kê mức lương của một công ty (đơn vị: triệu đồng) được cho trong bảng dưới đây. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu đã cho là

A

8

B

10

C

7

D

9

Lời giải

Bước 1: Xác định hai giá trị biên

Cận dưới lớp đầu là giá trị nhỏ nhất; cận trên lớp cuối là giá trị lớn nhất.

x_{m i n} = 6, x_{m a x} = 16

Bước 2: Tính khoảng biến thiên

Áp dụng công thức khoảng biến thiên.

R = x_{m a x} - x_{m i n} = 16 - 6 = 10

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho $8$ , $7$ , $9$ , không bằng kết quả.

Đáp án:

B .10

— Khoảng biến thiên bằng hiệu giữa cận trên lớp cuối và cận dưới lớp đầu.

Câu 7

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} = 1$ và $u_{2} = 2$ . Số hạng $u_{4}$ của cấp số cộng đó là

A

8

B

4

C

3

D

2

Lời giải

Bước 1: Tìm công sai

Công sai được tính bằng hiệu của hai số hạng liên tiếp.

d = u_{2} - u_{1} = 2 - 1 = 1

Bước 2: Tính số hạng $u_{4}$

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng.

u_{4} = u_{1} + 3 d = 1 + 3 \cdot 1 = 4

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ : $4$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt không đúng, là $u_{3}$ , và là $u_{2}$ .

Đáp án:

B

— Vì

u_{4} = 4

.

Câu 8

Phương trình $2^{x - 1} = 16$ có nghiệm là

A

$x = 3$

B

$x = 2$

C

$x = 5$

D

$x = 4$

Lời giải

Bước 1: Đổi về cùng cơ số

Viết $16$ dưới dạng lũy thừa của $2$ .

16 = 2^{4}

Bước 2: So sánh số mũ

Hai vế cùng cơ số $2$ nên các số mũ bằng nhau.

2^{x - 1} = 2^{4} \Rightarrow x - 1 = 4 \Rightarrow x = 5

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn C: $x = 5$ ; A, B, D sai vì lần lượt cho $4$ , $2$ , $8$ , đều khác $16$ khi thay vào phương trình.

Đáp án: C.

x = 5

— vì

2^{x - 1} = 2^{4}

.

Câu 9

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{- 3}$ . Vector nào sau đây là một vector chỉ phương của đường thẳng $d$ ?

A

$u_{4} = (1; - 2; 3)$

B

$u_{2} = (1; 2; 3)$

C

$u_{1} = (1; 2; - 3)$

D

$u_{3} = (1; - 2; - 3)$

Lời giải

Bước 1: Đặt tham số

Đặt giá trị chung bằng $t$ để đưa phương trình về dạng tham số.

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{- 3} = t

Bước 2: Đọc véc-tơ chỉ phương

Các hệ số của $t$ chính là tọa độ véc-tơ chỉ phương.

u = (1; 2; - 3)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $C$ : $u_{1} = (1; 2; - 3)$ . Các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai lần lượt ở dấu của $y, z$ , và dấu của $y$ .

Đáp án:

C

— vì

u_{1} = (1; 2; - 3)

đúng với ba mẫu số của phương trình.

Câu 10

Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ sau?

A

$y = \frac{- x + 2}{x - 1}$

B

$y = \frac{x + 1}{x - 1}$

C

$y = x^{3} + 3 x + 2$

D

$y = \frac{x ^{2} - 3 x + 1}{x - 1}$

Lời giải

Bước 1: Xác định dạng hàm

Đặt mẫu số về dạng $x - 1$ vì tiệm cận đứng là $x = 1$ . Tiệm cận ngang $y = - 1$ nên hệ số của $x$ ở tử là $- 1$ .

y = \frac{a x + b}{x - 1}, \frac{a}{1} = - 1 \Rightarrow a = - 1

Bước 2: Dùng điểm thuộc đồ thị

Thay điểm $(2; 0)$ để tìm hằng số còn lại.

0 = \frac{- 2 + b}{2 - 1} \Rightarrow b = 2 \Rightarrow y = \frac{- x + 2}{x - 1}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ ; $B$ có tiệm cận ngang $y = 1$ , $C$ là đa thức, còn $D$ có tiệm cận xiên $y = x - 2$ nên đều sai.

Đáp án:

A . y = \frac{- x + 2}{x - 1}

— đúng cả hai tiệm cận và đi qua điểm

(2; 0)

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Sơn La năm 2025 - Lần 2

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Xác định R2

Bước 2: Tính bán kính

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định mặt cắt

Bước 2: Tính thể tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Dùng tính độc lập

Bước 2: Tính xác suất điều kiện

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 2: Giải bất phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Xác định hai giá trị biên

Bước 2: Tính khoảng biến thiên

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tìm công sai

Bước 2: Tính số hạng u4​

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Đổi về cùng cơ số

Bước 2: So sánh số mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Đặt tham số

Bước 2: Đọc véc-tơ chỉ phương

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xác định dạng hàm

Bước 2: Dùng điểm thuộc đồ thị

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 1: Xác định $R^{2}$

Bước 2: Tính số hạng $u_{4}$