Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Quảng Ninh năm 2025 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Cho cấp số nhân có $u_{3} = 12$ và công bội $q = 2$ . Số hạng đầu tiên bằng:

A

3

B

8

C

4

D

6

Lời giải

Bước 1: Viết công thức

Với cấp số nhân, số hạng thứ $n$ được tính theo công thức tổng quát.

u_{n} = u_{1} q^{n - 1}

Bước 2: Thay dữ kiện và tính

Thay $n = 3$ , $u_{3} = 12$ và $q = 2$ vào công thức.

12 = u_{1} \cdot 2^{3 - 1} = 4 u_{1} \Rightarrow u_{1} = 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A vì $u_{1} = 3$ ; B, C, D sai vì lần lượt cho $u_{3} = 32, 16, 24$ , đều khác $12$ .

Đáp án: A.

3

— Vì

u_{1} = \frac{u _{3}}{q ^{2}} = \frac{12}{4} = 3

.

Câu 2

Họ nguyên hàm của hàm số là: $f (x) = sin x$

A

$\int f (x) d x = - cos x + C$

B

$\int f (x) d x = tan x + C$

C

$\int f (x) d x = cos x + C$

D

$\int f (x) d x = cot x + C$

Lời giải

Bước 1: Viết tích phân cần tính

Họ nguyên hàm cần tìm được biểu diễn bởi tích phân của $f (x)$ .

\int f (x) d x = \int sin x d x

Bước 2: Áp dụng công thức

Vì $(- cos x)^{'} = sin x$ , ta nhận được họ nguyên hàm tương ứng.

\int sin x d x = - cos x + C

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A: $\int sin x d x = - cos x + C$ . B, C, D sai vì đạo hàm lần lượt là $sec^{2} x$ , $- sin x$ và $- csc^{2} x$ , không bằng $sin x$ .

Đáp án: A — Vì

(- cos x)^{'} = sin x

.

Câu 3

Cho hàm số $y = 2 x - 1 - \frac{3}{x + 2}$ . Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là:

A

$y = 2 x + 1$

B

$y = - 2 x + 1$

C

$y = - 2 x - 1$

D

$y = 2 x - 1$

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng dạng hàm

Hàm số được viết thành tổng của đường thẳng và một phân thức tiến về $0$ .

y = (2 x - 1) - \frac{3}{x + 2}

Bước 2: Xác định tiệm cận

Vì phần dư tiến về $0$ khi $x \to \pm \infty$ , đường thẳng giữ lại là tiệm cận xiên.

x \to \pm \infty lim [y - (2 x - 1)] = x \to \pm \infty lim (- \frac{3}{x + 2}) = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn D: $y = 2 x - 1$ . A, B, C sai vì lần lượt sai dấu hằng số, sai hệ số góc và sai cả hai hệ số.

Đáp án:

D

— Tiệm cận xiên là

y = 2 x - 1

.

Câu 4

Khảo sát thời gian tự học bài ở nhà của học sinh khối 12 ở trường X, ta thu được bảng sau. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) là:

A

874

B

873

C

875

D

872

Lời giải

Bước $1$ : Tính trung điểm các lớp

Trung điểm tương ứng là $15, 45, 75, 105, 135$ .

x_{i} = 15, 45, 75, 105, 135

Bước $2$ : Tính các tổng cần thiết

Nhân mỗi trung điểm với tần số tương ứng để tính $\sum f_{i} x_{i}$ và $\sum f_{i} x_{i}^{2}$ .

\sum f_{i} x_{i} = 36540, \sum f_{i} x_{i}^{2} = 2908350

Bước $3$ : Tính phương sai

Áp dụng công thức phương sai ghép nhóm và làm tròn đến hàng đơn vị.

s^{2} = \frac{1}{550} (2908350 - \frac{3654 0 ^{2}}{550}) \approx 874.12 \Rightarrow s^{2} \approx 874

Bước $4$ : Đối chiếu phương án

Chọn $A . 874$ ; các phương án $B, C, D$ sai do tính hoặc làm tròn phương sai không đúng.

Đáp án:

A . 874

— phương sai làm tròn đến hàng đơn vị là

874

.

Câu 5

Cho tứ diện $A B C D$ , hai điểm $M, N$ theo thứ tự là trung điểm của $A B, C D$ . Điểm $G$ là trung điểm đoạn thẳng $M N$ . Phát biểu nào sau đây sai?

A

$A D + B C = A C + B D$

B

$G A + GB + GC + G D = 0$

C

$A D + B C = A C + D B$

D

$A D + B C = 2 M N$

Lời giải

Bước 1: Biến đổi vế trái

Đặt các vectơ vị trí của $A, B, C, D$ lần lượt là $a, b, c, d$ .

A D + B C = (d - a) + (c - b) = c + d - a - b = 2 M N .

Bước 2: Kiểm tra tổng vectơ tại G

Do $G$ là trung điểm của $M N$ , đồng thời $M, N$ là trung điểm của $A B, C D$ , nên $g = \frac{a + b + c + d}{4}$ .

G A + GB + GC + G D = a + b + c + d - 4 g = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

$C$ sai vì $A C + D B = c + b - a - d \neq = c + d - a - b = A D + B C$ ; các phương án $A, B, D$ đều đúng.

Đáp án:

C

— vì vế phải chứa

D B

nên không bằng

A D + B C

.

Câu 6

Tập nghiệm của bất phương trình $lo g_{0.5} (x - 7) + 2 > 0$ là:

A

$(7; 11)$

B

$[7; 11]$

C

$(11; + \infty)$

D

$(- \infty; 11)$

Lời giải

Bước 1: Điều kiện xác định

Đặt điều kiện cho biểu thức logarit.

x - 7 > 0 ⟹ x > 7

Bước 2: Giải bất phương trình

Chuyển vế; vì $0.5 \in (0, 1)$ nên bất đẳng thức đổi chiều khi mũ hóa.

lo g_{0.5} (x - 7) > - 2 ⟹ x - 7 < (0.5)^{- 2} = 4 ⟹ x < 11

Bước 3: Đối chiếu phương án

Kết hợp điều kiện xác định với kết quả vừa tìm.

Phương án $A$ đúng; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt chứa biên, lấy khoảng ngược và chứa các giá trị $x \leq 7$ .

x \in (7; 11)

Đáp án:

A

:

(7; 11)

— do

x > 7

kết hợp với

x < 11

.

Câu 7

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$ , $A D = 2 A B = 2 B C$ , $S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng $(S C D)$ ?

A

$(S A B)$

B

$(S B D)$

C

$(S A D)$

D

$(S A C)$

Lời giải

Bước 1: Khai thác hình thang vuông

Gọi $I$ là trung điểm của $A D$ , đặt $A B = B C = A I = a$ .

Tứ giác $A B C I$ là hình vuông nên $A C = C I = a 2$ và $C D = a 2$ .

A D = 2 a, A C = C D = a 2

Bước 2: Tìm các vuông góc

Xét tam giác $A C D$ , ta có điều kiện định lý Pythagore đảo.

Vì $S A ⊥ (A B C D)$ nên $S A ⊥ C D$ .

A C^{2} + C D^{2} = 2 a^{2} + 2 a^{2} = 4 a^{2} = A D^{2} \Rightarrow A C ⊥ C D

Bước 3: Suy ra vuông góc mặt phẳng

Trong mặt phẳng $(S A C)$ , hai đường $S A$ và $A C$ cắt nhau.

Đường $C D$ vuông góc với cả $S A$ và $A C$ nên vuông góc với $(S A C)$ .

C D ⊥ S A, C D ⊥ A C \Rightarrow C D ⊥ (S A C) \Rightarrow (S C D) ⊥ (S A C)

Bước n: Đối chiếu phương án

Chọn $D$ : $(S A C) ⊥ (S C D)$ ; các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì không chứa mặt phẳng được chứng minh vuông góc với $(S C D)$ .

Đáp án: D —

(S A C) ⊥ (S C D)

vì

C D ⊥ S A

và

C D ⊥ A C

.

Câu 8

Phương trình $sin (x - \frac{π}{3}) = - 1$ có các nghiệm là:

A

$x = \frac{2 π}{3} + k 2 π, k \in Z$

B

$x = - \frac{π}{6} + k 2 π, k \in Z$

C

$x = - \frac{π}{6} + k π, k \in Z$

D

$x = \frac{π}{6} + k 2 π, k \in Z$

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức nghiệm

Đặt $t = x - \frac{π}{3}$ .

sin t = - 1 ⟺ t = - \frac{π}{2} + k 2 π, k \in Z

Bước 2: Tìm $x$

Thay $t = x - \frac{π}{3}$ rồi rút gọn.

x - \frac{π}{3} = - \frac{π}{2} + k 2 π ⟺ x = - \frac{π}{6} + k 2 π, k \in Z

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án B; A và D sai giá trị, C sai vì dùng chu kỳ $π$ thay cho $2 π$ .

Đáp án: B —

x = - \frac{π}{6} + k 2 π

, với

k \in Z

.

Câu 9

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , đường thẳng $d$ có phương trình $\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{- 4} = \frac{z - 2}{2}$ . Véctơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ ?

A

$u_{4} = (3; 4; 2)$

B

$u_{2} = (3; 4; - 2)$

C

$u_{3} = (6; 8; 4)$

D

$u_{1} = (- 9; 12; - 6)$

Lời giải

Bước 1: Xác định vectơ cơ bản

Đặt giá trị chung bằng $t$ để chuyển sang phương trình tham số.

⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 3 t y = - 2 - 4 t z = 2 + 2 t \Rightarrow v = (3; - 4; 2)

Bước 2: Đối chiếu phương án

$u_{1} = (- 9; 12; - 6) = - 3 v$ nên đúng; các phương án $A, B, C$ sai vì các vectơ tương ứng không là bội của $v$ .

u_{1} = (- 9; 12; - 6) = - 3 (3; - 4; 2)

Đáp án:

D

— vì

u_{1} = - 3 v

với

v = (3; - 4; 2)

.

Câu 10

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , điểm $M (2; - 3; 1)$ và mặt phẳng $(P) : 2 x - 2 y + z + 3 = 0$ . Mặt phẳng đi qua điểm $M$ và song song với mặt phẳng $(P)$ có phương trình là:

A

$2 x - 2 y + z - 11 = 0$

B

$2 x - 2 y + z + 1 = 0$

C

$2 x - 2 y - z - 11 = 0$

D

$- 2 x - 2 y + z - 11 = 0$

Lời giải

Bước 1: Xác định pháp tuyến

Mặt phẳng cần tìm song song với $(P)$ nên có vectơ pháp tuyến $n = (2; - 2; 1)$ .

n = (2; - 2; 1)

Bước 2: Tìm hằng số

Đặt phương trình mặt phẳng cần tìm là $2 x - 2 y + z + d = 0$ . Vì đi qua $M (2; - 3; 1)$ , ta có:

2 \cdot 2 - 2 \cdot (- 3) + 1 + d = 0 ⟹ d = - 11

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ : $2 x - 2 y + z - 11 = 0$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai lần lượt vì không đi qua $M$ , không song song $(P)$ do đổi dấu hệ số $z$ , và có pháp tuyến không cùng phương.

Đáp án: Đáp án

A

— phương trình có cùng pháp tuyến với

(P)

và đi qua

M

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Quảng Ninh năm 2025

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Viết công thức

Bước 2: Thay dữ kiện và tính

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Viết tích phân cần tính

Bước 2: Áp dụng công thức

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng dạng hàm

Bước 2: Xác định tiệm cận

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tính trung điểm các lớp

Bước 2: Tính các tổng cần thiết

Bước 3: Tính phương sai

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Biến đổi vế trái

Bước 2: Kiểm tra tổng vectơ tại G

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Điều kiện xác định

Bước 2: Giải bất phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Khai thác hình thang vuông

Bước 2: Tìm các vuông góc

Bước 3: Suy ra vuông góc mặt phẳng

Bước n: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức nghiệm

Bước 2: Tìm x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Xác định vectơ cơ bản

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xác định pháp tuyến

Bước 2: Tìm hằng số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Tính trung điểm các lớp

Bước $2$ : Tính các tổng cần thiết

Bước $3$ : Tính phương sai

Bước $4$ : Đối chiếu phương án

Bước 2: Tìm $x$