Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Phú Yên năm 2025 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Số nghiệm của phương trình $2^{x^{2} - 2 x} = 128$ là

A

$2$

B

$0$

C

$1$

D

$3$

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Viết vế phải dưới dạng lũy thừa cơ số $2$ .

128 = 2^{7}, 2^{x^{2} - 2 x} = 2^{7} ⟹ x^{2} - 2 x = 7

Bước 2: Giải phương trình bậc hai

Giải phương trình thu được và kiểm tra biệt thức.

x^{2} - 2 x - 7 = 0, Δ = 32 > 0, x = \frac{2 \pm 32}{2} = 1 \pm 22

Bước 3: Đối chiếu phương án

Có $2$ nghiệm thực phân biệt. Chọn phương án $A$ ; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho $0$ , $1$ , $3$ nghiệm.

N = 2

Đáp án: Phương án

A

— phương trình có

2

nghiệm thực phân biệt.

Câu 2

Tập nghiệm của phương trình $cos x = - 1$ là

A

$S = {- \frac{π}{2} + k 2 π, k \in Z}$

B

$S = {π + k 2 π, k \in Z}$

C

$S = {\frac{π}{2} + k 2 π, k \in Z}$

D

$S = {- \frac{π}{3} + k 2 π, k \in Z}$

Lời giải

Bước 1: Xác định nghiệm cơ bản

Giá trị $cos x = - 1$ đạt được tại góc $π$ .

cos π = - 1

Bước 2: Viết nghiệm tổng quát

Do hàm cosin có chu kỳ $2 π$ , nghiệm tổng quát nhận được bằng cách cộng $k 2 π$ .

x = π + k 2 π, k \in Z

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $B$ . Các phương án $A$ , $C$ sai vì $cos (- \frac{π}{2}) = cos \frac{π}{2} = 0$ , còn $D$ sai vì $cos (- \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$ .

Đáp án:

B

— vì tập nghiệm là

S = {π + k 2 π ∣ k \in Z}

.

Câu 3

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm $M (1; 2; 1)$ và $N (3; 1; - 2)$ là

A

$\frac{x + 1}{4} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z + 1}{- 1}$

B

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 1}{- 3}$

C

$\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z + 1}{- 3}$

D

$\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 1}{- 1}$

Lời giải

Bước 1: Tìm véc-tơ chỉ phương

Chọn véc-tơ $M N$ làm véc-tơ chỉ phương.

M N = (3 - 1; 1 - 2; - 2 - 1) = (2; - 1; - 3)

Bước 2: Viết phương trình đường thẳng

Đường thẳng đi qua $M (1; 2; 1)$ và có véc-tơ chỉ phương $(2; - 1; - 3)$ .

\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 1}{- 3}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án B. Các phương án A, C, D sai vì lần lượt dùng sai điểm và véc-tơ chỉ phương.

\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 1}{- 3}

Đáp án: B — phương trình có điểm đi qua

M (1; 2; 1)

và véc-tơ chỉ phương

(2; - 1; - 3)

.

Câu 4

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , cho mặt phẳng $(P) : x + 2 z - 7 = 0$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ ?

A

$n_{2} = (1; 0; 2)$

B

$n_{3} = (1; 2; 0)$

C

$n_{1} = (1; 2; 0)$

D

$n_{4} = (1; 2; - 7)$

Lời giải

Bước 1: Xác định các hệ số

Đưa phương trình về dạng $a x + b y + cz + d = 0$ rồi đọc hệ số của $x$ , $y$ , $z$ .

a = 1, b = 0, c = 2

Bước 2: Đối chiếu phương án

Vectơ pháp tuyến là $n = (1; 0; 2)$ , khớp với phương án $A$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì các hệ số tọa độ không lần lượt là $1$ , $0$ , $2$ .

n = (1; 0; 2)

Đáp án:

A

—

n_{2} = (1; 0; 2)

là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Câu 5

Mỗi ngày bác Hương đều đi bộ để rèn luyện sức khỏe. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của bác Hương trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là

Hình minh họa

A

$0, 6$

B

$0, 3$

C

$0, 9$

D

$1, 5$

Lời giải

Bước 1: Xác định hai cận ngoài

Cận dưới lớp đầu là $x_{m i n} = 2, 7$ ; cận trên lớp cuối là $x_{m a x} = 4, 2$ .

x_{m i n} = 2, 7, x_{m a x} = 4, 2

Bước 2: Tính khoảng biến thiên

Áp dụng công thức khoảng biến thiên.

R = x_{m a x} - x_{m i n} = 4, 2 - 2, 7 = 1, 5 km

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $D$ .

Đáp án: Đáp án

D

— khoảng biến thiên bằng

1, 5 km

.

Câu 6

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , cho hai điểm $E (- 1; - 2; 1)$ và $F (2; 3; 2)$ . Vectơ $E F$ có tọa độ là

A

$(- 1; - 2; 3)$

B

$(1; 2; 3)$

C

$(3; 5; 1)$

D

$(3; 4; 1)$

Lời giải

Bước 1: Tính tọa độ vectơ

Áp dụng công thức tọa độ vectơ từ $E$ đến $F$ .

E F = (2 - (- 1); 3 - (- 2); 2 - 1) = (3; 5; 1)

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ : $(3; 5; 1)$ ; $A$ , $B$ , $D$ sai lần lượt do đảo chiều vectơ, tính sai các hiệu và nhầm tung độ.

Đáp án: Đáp án

C

:

E F = (3; 5; 1)

theo công thức điểm cuối trừ điểm đầu.

Câu 7

Trong không gian, cho điểm $A$ và đường thẳng $d$ . Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm $A$ và vuông góc với đường thẳng $d$ ?

A

$1$

B

$2$

C

$0$

D

$3$

Lời giải

Bước 1: Xác định pháp tuyến

Gọi $u$ là vectơ chỉ phương của $d$ , $n$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm.

Điều kiện vuông góc cho $n ∥ u$ .

n ∥ u

Bước 2: Kết luận tính duy nhất

Điểm $A$ và hướng pháp tuyến $n$ đã được xác định.

Vì vậy, có duy nhất một mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $d$ .

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ : $1$ .

Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho thừa số mặt phẳng hoặc phủ nhận sự tồn tại của mặt phẳng duy nhất.

Đáp án:

A

— Có đúng

1

mặt phẳng vì điểm

A

và vectơ pháp tuyến đã xác định duy nhất mặt phẳng.

Câu 8

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x) = x - 1, \forall x \in R$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A

Hàm số đã cho đồng biến trên $(- \infty; 1)$ .

B

Hàm số đã cho đồng biến trên $R$ .

C

Hàm số đã cho đồng biến trên $R ∖ {1}$ .

D

Hàm số đã cho đồng biến trên $(1; + \infty)$ .

Lời giải

Bước 1: Xét dấu đạo hàm

Điều kiện đồng biến là $f^{'} (x) > 0$ .

f^{'} (x) = x - 1 > 0 ⟺ x > 1

Bước 2: Đối chiếu phương án

Hàm số đồng biến trên $(1; + \infty)$ , nên chọn $D$ .

$A$ , $B$ , $C$ sai vì trên $(- \infty; 1)$ ta có $f^{'} (x) < 0$ , hàm số nghịch biến.

Đáp án:

D

— Hàm số đồng biến trên

(1; + \infty)

vì

f^{'} (x) > 0

khi

x > 1

.

Câu 9

Trên khoảng $(0; + \infty)$ , đạo hàm của hàm số $y = ln (7 x)$ là

A

$y^{'} = \frac{1}{x}$

B

$y^{'} = \frac{x}{7}$

C

$y^{'} = \frac{7}{x}$

D

$y^{'} = \frac{1}{7 x}$

Lời giải

Bước 1: Đặt hàm trung gian

Đặt $u = 7 x$ ; khi đó $y = ln u$ .

u = 7 x, u^{'} = 7

Bước 2: Áp dụng quy tắc

Dùng công thức đạo hàm hàm hợp rồi rút gọn.

y^{'} = \frac{u ^{'}}{u} = \frac{7}{7 x} = \frac{1}{x}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A. Các phương án B, C, D sai vì lần lượt chia nhầm hệ số, chưa rút gọn và bỏ qua hệ số khi đạo hàm hàm hợp.

Đáp án: A — Vì

y^{'} = \frac{7}{7 x} = \frac{1}{x}

.

Câu 10

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 2 y - \frac{1}{2} = 0$ . Tọa độ tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ đã cho là

A

$(- 1; 1; - 3)$

B

$(1; 1; 0)$

C

$(1; - 1; 0)$

D

$(1; - 1; 3)$

Lời giải

Bước 1: Nhóm các số hạng

Nhóm các số hạng theo từng biến rồi hoàn thành bình phương cho $x$ và $y$ .

x^{2} - 2 x = (x - 1)^{2} - 1, y^{2} + 2 y = (y + 1)^{2} - 1

Bước 2: Đưa về dạng chuẩn

Thay các kết quả trên vào phương trình và chuyển hằng số sang vế phải.

(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} + z^{2} = \frac{5}{2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

So sánh với dạng chuẩn, suy ra tâm là $I (1; - 1; 0)$ .

Chọn $C$ ; các phương án $A$ , $B$ , $D$ lần lượt sai tọa độ $x, y, z$ .

I = (1; - 1; 0)

Đáp án: Đáp án

C

— tâm là

I (1; - 1; 0)

sau khi hoàn thành bình phương.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Phú Yên năm 2025

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Bước 2: Giải phương trình bậc hai

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Xác định nghiệm cơ bản

Bước 2: Viết nghiệm tổng quát

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tìm véc-tơ chỉ phương

Bước 2: Viết phương trình đường thẳng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Xác định các hệ số

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Xác định hai cận ngoài

Bước 2: Tính khoảng biến thiên

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tính tọa độ vectơ

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Xác định pháp tuyến

Bước 2: Kết luận tính duy nhất

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Xét dấu đạo hàm

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Đặt hàm trung gian

Bước 2: Áp dụng quy tắc

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Nhóm các số hạng

Bước 2: Đưa về dạng chuẩn

Bước 3: Đối chiếu phương án