Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Phú Thọ năm 2025 - Lần 1 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1} = 3$ , công sai $d = 2$ . Số hạng thứ 5 của $(u_{n})$ bằng

A

$14$

B

$5$

C

$6$

D

$11$

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Thay $n = 5$ , $u_{1} = 3$ , $d = 2$ vào công thức số hạng tổng quát.

u_{5} = u_{1} + (5 - 1) d = 3 + 4 \cdot 2

Bước 2: Đối chiếu phương án

Tính được $u_{5} = 3 + 8 = 11$ .

Chọn phương án D: $11$ ; A ( $14$ ), B ( $5$ ), C ( $6$ ) sai vì không tính đúng công thức.

u_{5} = 11

Đáp án: Phương án D:

11

— tính theo công thức

u_{n} = u_{1} + (n - 1) d

.

Câu 2

Tập nghiệm của bất phương trình $lo g_{\frac{1}{2}} (x + 1) > - 1$ là

A

$(- \infty; 1)$

B

$(- 1; 1)$

C

$(1; + \infty)$

D

$(0; 3)$

Lời giải

Bước $1$ : Tìm điều kiện xác định

Biểu thức logarit xác định khi $x + 1 > 0$ .

x + 1 > 0 ⟺ x > - 1

Bước $2$ : Khử logarit

Vì $0 < \frac{1}{2} < 1$ , bất đẳng thức đổi chiều khi chuyển sang dạng mũ.

lo g_{\frac{1}{2}} (x + 1) > - 1 ⟺ x + 1 < (\frac{1}{2})^{- 1} = 2 ⟺ x < 1

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Kết hợp $x > - 1$ và $x < 1$ , suy ra $- 1 < x < 1$ .

Phương án $B$ đúng; $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt bỏ điều kiện xác định, đảo chiều nghiệm và cho sai khoảng nghiệm.

- 1 < x < 1 ⟺ x \in (- 1; 1)

Đáp án: Đáp án

B

— tập nghiệm là

(- 1; 1)

.

Câu 3

Nghiệm của phương trình $3^{x} = 12$ là

A

$x = 4$

B

$x = 9$

C

$x = lo g_{3} 12$

D

$x = lo g_{12} 3$

Lời giải

Bước 1: Áp dụng định nghĩa logarit

Đưa phương trình về dạng $a^{x} = b$ rồi áp dụng $x = lo g_{a} b$ .

3^{x} = 12 \Rightarrow x = lo g_{3} 12

Bước 2: Đối chiếu phương án

Phương án C đúng. Các phương án A, B, D sai vì lần lượt cho $x = 4$ , $x = 9$ và đổi ngược cơ số thành $x = lo g_{12} 3$ .

Đáp án: C — vì

3^{x} = 12

tương đương

x = lo g_{3} 12

.

Câu 4

Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy và tam giác $A B C$ vuông tại $B$ . Hình chóp $S . A B C$ có bao nhiêu mặt là tam giác vuông?

A

$2$

B

$4$

C

$3$

D

$1$

Lời giải

Bước 1: Liệt kê các mặt

Hình chóp có bốn mặt: đáy và ba mặt bên.

△ A B C, △ S A B, △ S B C, △ S C A

Bước 2: Xét ba mặt dễ thấy

$△ A B C$ vuông tại $B$ ; $S A ⊥ A B$ và $S A ⊥ A C$ nên $△ S A B$ , $△ S C A$ vuông tại $A$ .

A B ⊥ B C, S A ⊥ A B, S A ⊥ A C

Bước 3: Xét mặt $S B C$

Vì $S A ⊥ B C$ và $A B ⊥ B C$ , mặt phẳng $(S A B) ⊥ B C$ . Do đó $S B ⊥ B C$ , nên $△ S B C$ vuông tại $B$ .

S A ⊥ B C, A B ⊥ B C ⟹ (S A B) ⊥ B C ⟹ S B ⊥ B C

Bước 4: Đối chiếu phương án

Có đủ bốn mặt là tam giác vuông. Chọn phương án $B$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho $2$ , $3$ , $1$ mặt.

1 + 1 + 1 + 1 = 4

Đáp án:

B

— Hình chóp có

4

mặt đều là tam giác vuông.

Câu 5

Cho hàm số $f (x) = \frac{a x ^{2} + b x + c}{d x + e} (a, b, c, d, e \in R, a d \neq = 0)$ có đồ thị như hình vẽ. Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là

A

$y = - x$

B

$y = x - 1$

C

$y = - 1$

D

$y = x + 1$

Lời giải

Bước 1: Xử lí dữ kiện đồ thị

Từ tiệm cận đứng $x = - 1$ , suy ra $e = d$ ; từ $f (0) = - 1$ , suy ra $c = - d$ .

Thay điểm $(- 2; - 3)$ vào hàm số để tìm quan hệ giữa $a$ , $b$ , $d$ .

- d + e = 0 \Rightarrow e = d; \frac{c}{e} = - 1 \Rightarrow c = - d; \frac{4 a - 2 b - d}{- d} = - 3 \Rightarrow 2 a - b = 2 d

Bước 2: Xác định tiệm cận xiên

Suy ra $b = 2 a - 2 d$ . Chia đa thức, rồi dùng hệ số góc đọc từ hình là $1$ .

\frac{a x ^{2} + b x + c}{d ( x + 1 )} = \frac{a}{d} x + \frac{b - a}{d} + \frac{R}{d ( x + 1 )}; y = \frac{a}{d} x + \frac{b - a}{d} = \frac{a}{d} x + \frac{a}{d} - 2; \frac{a}{d} = 1 \Rightarrow y = x - 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B: $y = x - 1$ ; A và C sai hệ số góc, còn D sai tung độ gốc.

Đáp án: B.

y = x - 1

— phù hợp với hệ số góc và tung độ gốc của tiệm cận xiên.

Câu 6

Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Hình minh họa

A

$(- \infty; - 1)$

B

$(2; + \infty)$

C

$(- 1; 2)$

D

$(0; 2)$

Lời giải

Bước 1: Xác định chiều đồ thị

Quan sát đồ thị từ trái sang phải, tìm đoạn đồ thị đi xuống.

Bước 2: Xác định khoảng nghịch biến

Đồ thị đi xuống từ hoành độ $x = 0$ đến $x = 2$ .

0 < x < 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn D: $(0; 2)$ . A, B, C sai vì lần lượt chọn đoạn trước cực đại, sau cực tiểu và đoạn chứa phần đồ thị không nghịch biến.

(0; 2)

Đáp án: D: khoảng

(0; 2)

— đồ thị đi xuống khi

x

tăng trên khoảng này.

Câu 7

Trong không gian $O x y z$ , cho vector $O M = 2 i - 3 j + 4 k$ . Tọa độ của điểm $M$ là

A

$(2; - 3; 4)$

B

$(2; 4; - 3)$

C

$(2; 3; 4)$

D

$(- 2; 3; - 4)$

Lời giải

Bước 1: Đọc các hệ số

So sánh với dạng $O M = x i + y j + z k$ .

x = 2, y = - 3, z = 4

Bước 2: Viết tọa độ điểm

Suy ra tọa độ điểm $M$ từ ba hệ số vừa xác định.

M (2; - 3; 4)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A: $(2; - 3; 4)$ ; B, C, D sai do lần lượt đổi vị trí hệ số, đổi dấu $- 3$ , và đổi dấu cả ba tọa độ.

Đáp án: A.

(2; - 3; 4)

— tọa độ điểm

M

là các hệ số của

i, j, k

.

Câu 8

Trong không gian $O x y z$ , cho hai điểm $A (- 2; 1; 0), B (3; - 2; 1)$ . Tọa độ của vector $A B$ là

A

$(- 5; 3; - 1)$

B

$(5; - 3; 1)$

C

$(1; - 1; 1)$

D

$(- 1; 1; - 1)$

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Dùng công thức $A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ .

A B = (3 - (- 2); - 2 - 1; 1 - 0)

Bước 2: Tính tọa độ

Tính lần lượt ba hiệu tọa độ.

A B = (5; - 3; 1)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án B. A, C, D sai vì A lấy ngược hướng, còn C và D tính sai các hiệu tọa độ.

Đáp án: Phương án B —

A B = (5; - 3; 1)

theo công thức lấy tọa độ điểm cuối trừ điểm đầu.

Câu 9

Họ các nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{x ^{3}}$ là

A

$- \frac{3}{x ^{4}} + C$

B

$- \frac{1}{x ^{2}} + C$

C

$- \frac{1}{2 x ^{2}} + C$

D

$- \frac{1}{4 x ^{4}} + C$

Lời giải

Bước 1: Tính nguyên hàm

Viết $f (x)$ dưới dạng lũy thừa và áp dụng công thức nguyên hàm.

\int \frac{1}{x ^{3}} d x = \int x^{- 3} d x = \frac{x ^{- 2}}{- 2} + C = - \frac{1}{2 x ^{2}} + C

Bước 2: Đối chiếu phương án

Phương án $C$ đúng; $A$ sai hệ số, $B$ thiếu hệ số $\frac{1}{2}$ , còn $D$ sai số mũ và hệ số.

Đáp án: Phương án

C

— họ nguyên hàm là

- \frac{1}{2 x ^{2}} + C

.

Câu 10

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ và $c$ là số thực tùy ý thuộc đoạn $[a; b]$ . Nếu $\int_{a}^{c} f (x) d x = 3$ và $\int_{b}^{c} f (x) d x = 8$ thì tích phân $\int_{a}^{b} f (x) d x$ bằng

A

$11$

B

$- 5$

C

$5$

D

$- 11$

Lời giải

Bước 1: Đặt biểu thức cần tính

Gọi hiệu cần tính là $I$ .

I = \int_{a}^{c} f (x) d x - \int_{c}^{b} f (x) d x

Bước 2: Thay số và tính

Thay các giá trị đã cho vào biểu thức.

I = 3 - 8 = - 5

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai do lần lượt cộng hai số, đổi thứ tự phép trừ và lấy giá trị dương.

Đáp án:

B

— Vì giá trị cần tìm là

3 - 8 = - 5

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Phú Thọ năm 2025 - Lần 1

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 2: Khử logarit

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Áp dụng định nghĩa logarit

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Liệt kê các mặt

Bước 2: Xét ba mặt dễ thấy

Bước 3: Xét mặt SBC

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Xử lí dữ kiện đồ thị

Bước 2: Xác định tiệm cận xiên

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Xác định chiều đồ thị

Bước 2: Xác định khoảng nghịch biến

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Đọc các hệ số

Bước 2: Viết tọa độ điểm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Bước 2: Tính tọa độ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tính nguyên hàm

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Đặt biểu thức cần tính

Bước 2: Thay số và tính

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Tìm điều kiện xác định

Bước $2$ : Khử logarit

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước 3: Xét mặt $S B C$