Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Ninh Bình năm 2025 - Lần thứ nhất môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Phương trình $tan x = - 1$ có tất cả các nghiệm là:

A

$- \frac{π}{4} + k π (k \in Z)$

B

$\frac{π}{4} + k π (k \in Z)$

C

$- \frac{π}{4} + k 2 π (k \in Z)$

D

$\frac{π}{4} + k 2 π (k \in Z)$

Lời giải

Bước 1: Tìm nghiệm cơ sở

Chọn góc đặc biệt có tang bằng $- 1$ .

tan (- \frac{π}{4}) = - 1

Bước 2: Viết nghiệm tổng quát

Dùng chu kỳ $π$ của hàm tang.

x = - \frac{π}{4} + k π, k \in Z

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A. B và D sai vì $tan (\frac{π}{4}) = 1$ ; C sai vì dùng chu kỳ $2 π$ , bỏ sót nghiệm.

Đáp án: A — nghiệm tổng quát là

x = - \frac{π}{4} + k π

, với

k \in Z

.

Câu 2

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{1} = 2$ và công bội $q = 3$ . Số hạng $u_{3}$ của cấp số nhân đã cho là:

A

$18$

B

$6$

C

$5$

D

$8$

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Với $n = 3$ , thay dữ kiện vào công thức số hạng tổng quát.

u_{3} = u_{1} q^{3 - 1} = 2 \cdot 3^{2}

Bước 2: Đối chiếu phương án

Tính được $u_{3} = 18$ , nên chọn phương án A. $18$ .

B, C, D sai vì lần lượt cho kết quả $6$ , $5$ , $8$ , không đúng với công thức cấp số nhân.

u_{3} = 2 \cdot 9 = 18

Đáp án: A.

18

— vì

u_{3} = u_{1} q^{2} = 2 \cdot 3^{2} = 18

.

Câu 3

Nghiệm của phương trình $lo g_{2} (x - 1) = 3$ là:

A

$9$

B

$8$

C

$10$

D

$7$

Lời giải

Bước 1: Xác định điều kiện

Điều kiện xác định của logarit là $x - 1 > 0$ .

x - 1 > 0 ⟹ x > 1

Bước 2: Đổi sang dạng lũy thừa

Áp dụng công thức logarit – lũy thừa rồi giải $x$ .

lo g_{2} (x - 1) = 3 ⟺ x - 1 = 2^{3} ⟹ x = 9

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho $8$ , $10$ , $7$ , không thỏa phương trình.

Đáp án:

A . 9

— Vì

x - 1 = 2^{3}

nên

x = 9

.

Câu 4

Tập nghiệm của bất phương trình $(0, 21)^{x} < 1$ là:

A

$(0; + \infty)$

B

$[0; + \infty)$

C

$(- \infty; 0)$

D

$(- \infty; 0]$

Lời giải

Bước 1: Xét cơ số

Cơ số $0, 21$ thỏa mãn điều kiện $0 < 0, 21 < 1$ .

0 < 0, 21 < 1

Bước 2: Giải bất phương trình

Áp dụng tính chất với cơ số thuộc $(0; 1)$ , suy ra điều kiện của $x$ .

(0, 21)^{x} < 1 \Leftrightarrow x > 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A: $(0; + \infty)$ . B, C, D sai vì lần lượt chứa $x = 0$ , chỉ lấy $x < 0$ , hoặc chứa cả $x < 0$ và $x = 0$ .

Đáp án: A.

(0; + \infty)

— vì

(0, 21)^{x} < 1 \Leftrightarrow x > 0

.

Câu 5

Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Mệnh đề nào dưới đây là sai?

A

$(A B C D) ∥ (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$

B

$(A D D^{'} A^{'}) ∥ (B C C^{'} B^{'})$

C

$(B D A^{'}) ∥ (B^{'} D^{'} C^{'})$

D

$(A B A^{'}) ∥ (B^{'} D^{'} C^{'})$

Lời giải

Bước 1: Nhận diện mặt đối diện

Các cặp $(A B C D)$ và $(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ , $(A D D^{'} A^{'})$ và $(B C C^{'} B^{'})$ là những mặt đối diện nên song song.

Mệnh đề $C$ thuộc nhóm mặt phẳng đối ứng trong hình hộp.

Bước 2: Xét mệnh đề D

Mặt phẳng $(A B A^{'})$ chứa cạnh $A^{'} B^{'}$ . Mặt phẳng $(B^{'} D^{'} C^{'})$ cũng chứa cạnh $A^{'} B^{'}$ vì đó là mặt phẳng qua các đỉnh trên.

Hai mặt phẳng có đường chung $A^{'} B^{'}$ nên không song song.

\overline{A^{'} B^{'}} \subset (A B A^{'}) \cap (B^{'} D^{'} C^{'})

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $D$ : $(A B A^{'}) \neq ∥ (B^{'} D^{'} C^{'})$ vì hai mặt phẳng có giao tuyến $A^{'} B^{'}$ ; các phương án $A$ , $B$ , $C$ được xác định đúng theo cấu trúc hình hộp.

Đáp án: Đáp án D —

(A B A^{'})

và

(B^{'} D^{'} C^{'})

có giao tuyến

A^{'} B^{'}

nên không song song.

Câu 6

Để chuẩn bị cho tiết học “Mạng xã hội: lợi và hại”, giáo viên đã khảo sát thời gian sử dụng mạng xã hội trong một ngày của học sinh trong lớp 10A1 mình dạy và thu được mẫu số liệu như sau: Thời gian trung bình sử dụng mạng xã hội của học sinh lớp 10A1 xấp xỉ bằng

A

$35$

B

$36, 3$

C

$33, 6$

D

$30, 5$

Lời giải

Bước 1: Tìm giá trị đại diện

Trung điểm các khoảng lần lượt là $15, 25, 35, 45, 55, 65$ .

x_{i} = \frac{a _{i} + b _{i}}{2} \Rightarrow 15, 25, 35, 45, 55, 65

Bước 2: Tính số trung bình

Nhân từng giá trị đại diện với tần số tương ứng rồi chia tổng tần số.

\overline{x} = \frac{15 \cdot 5 + 25 \cdot 10 + 35 \cdot 15 + 45 \cdot 7 + 55 \cdot 5 + 65 \cdot 3}{5 + 10 + 15 + 7 + 5 + 3} = \frac{1635}{45} = 36, 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ ; các phương án $A, C, D$ sai vì không trùng kết quả tính được.

Đáp án:

B

— thời gian trung bình xấp xỉ bằng

36, 3

phút.

Câu 7

Lớp 12A8 của trường THPT X có $41$ học sinh được đánh số thứ tự từ $1$ đến $41$ . Trong một tiết học, cô giáo chọn ngẫu nhiên $3$ bạn để làm nhiệm vụ kiểm tra vở bài tập của các bạn trong lớp. Xác suất để $3$ bạn được chọn có số thứ tự lập thành một cấp số cộng là $\frac{a}{b}$ (với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính $S = 2 a + b$ .

A

$613$

B

$573$

C

$553$

D

$653$

Lời giải

Bước 1: Đếm số cách chọn

Mỗi nhóm $3$ học sinh có khả năng được chọn như nhau.

C_{41}^{3} = \frac{41 \cdot 40 \cdot 39}{6} = 10660

Bước 2: Đếm bộ ba cấp số cộng

Viết bộ ba theo thứ tự tăng là $u, u + d, u + 2 d$ . Với $d = 1, 2, \dots, 20$ , có $41 - 2 d$ giá trị của $u$ .

d = 1 \sum 20 (41 - 2 d) = 20 \cdot 41 - 2 \cdot \frac{20 \cdot 21}{2} = 400

Bước 3: Tính xác suất và $S$

Rút gọn xác suất về phân số tối giản rồi áp dụng $S = 2 a + b$ .

P = \frac{400}{10660} = \frac{20}{533} \Rightarrow a = 20, b = 533 \Rightarrow S = 2 \cdot 20 + 533 = 573

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án B: $573$ ; các phương án A, C, D sai do đếm hoặc rút gọn xác suất không đúng.

Đáp án: B —

S = 573

theo xác suất tối giản

\frac{20}{533}

.

Câu 8

Cho hàm số bậc ba $y = f (x)$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây. Hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên khoảng

A

$(- \infty; 0)$

B

$(0; + \infty)$

C

$(- 4; + \infty)$

D

$(- 2; 0)$

Lời giải

Bước 1: Xác định điểm cực trị

Hoành độ các điểm cực trị trên đồ thị là $x = - 2$ và $x = 0$ .

x = - 2, x = 0

Bước 2: Xét chiều biến thiên

Đồ thị đi lên trên $(- \infty; - 2)$ , đi xuống trên $(- 2; 0)$ và đi lên trên $(0; + \infty)$ .

f^{'} (x) > 0 tr \overset{e}{ˆ} n (- \infty; - 2) v \overset{a}{ˋ} (0; + \infty)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B: $(0; + \infty)$ . A, C, D sai vì đều chứa khoảng $(- 2; 0)$ , nơi hàm số nghịch biến.

Đáp án: B.

(0; + \infty)

— đồ thị đi lên trên khoảng này.

Câu 9

Cho hàm số bậc ba có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Giá trị cực tiểu của hàm số là

A

$2$

B

$1$

C

$- 2$

D

$- 1$

Lời giải

Bước 1: Xác định điểm cực tiểu

Hàm số giảm trước $x = - 1$ và tăng sau $x = - 1$ nên $x = - 1$ là điểm cực tiểu.

f (- 1) = - 2

Bước 2: Đối chiếu phương án

Giá trị cực tiểu là $f (- 1) = - 2$ , nên chọn phương án C; A, B, D sai vì lần lượt là giá trị không cần tìm, giá trị cực đại và một giá trị không đúng.

Đáp án: C.

- 2

— vì

f (- 1) = - 2

tại điểm cực tiểu.

Câu 10

Cho hàm số $y = \frac{a x ^{2} + b x + c}{m x + n}$ (với $a \neq = 0; m \neq = 0$ ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là:

A

$y = 2 x + 2$

B

$y = 2 x - 2$

C

$y = x + 2$

D

$y = x - 2$

Lời giải

Bước 1: Đọc các hệ số từ hình

Đường tiệm cận xiên có hệ số góc $p = 1$ và cắt $O y$ tại $q = - 2$ .

p = 1, q = - 2

Bước 2: Lập phương trình

Thay $p = 1$ , $q = - 2$ vào dạng $y = p x + q$ .

y = 1 \cdot x - 2 = x - 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $D$ đúng: $y = x - 2$ ; $A$ , $B$ sai hệ số góc hoặc tung độ gốc, còn $C$ sai dấu tung độ gốc.

Đáp án: Đáp án

D

— tiệm cận xiên là

y = x - 2

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Ninh Bình năm 2025 - Lần thứ nhất

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tìm nghiệm cơ sở

Bước 2: Viết nghiệm tổng quát

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định điều kiện

Bước 2: Đổi sang dạng lũy thừa

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Xét cơ số

Bước 2: Giải bất phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Nhận diện mặt đối diện

Bước 2: Xét mệnh đề D

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tìm giá trị đại diện

Bước 2: Tính số trung bình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Đếm số cách chọn

Bước 2: Đếm bộ ba cấp số cộng

Bước 3: Tính xác suất và S

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Xác định điểm cực trị

Bước 2: Xét chiều biến thiên

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Xác định điểm cực tiểu

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Đọc các hệ số từ hình

Bước 2: Lập phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 3: Tính xác suất và $S$