Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Ninh Bình năm 2025 - Lần thứ hai môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , khoảng cách từ điểm $A (3; - 2; 4)$ đến mặt phẳng $(O x z)$ bằng

A

$4$

B

$5$

C

$3$

D

$2$

Lời giải

Bước 1: Xác định phương trình mặt phẳng

Mặt phẳng $(O x z)$ là mặt phẳng tọa độ nên có phương trình $y = 0$ .

y = 0

Bước 2: Tính khoảng cách

Điểm $A (3; - 2; 4)$ có tung độ $y_{0} = - 2$ .

d = ∣ y_{0} ∣ = ∣ - 2∣ = 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ : $2$ ; các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì không bằng khoảng cách đã tính.

Đáp án:

D

— Khoảng cách bằng

∣ - 2 ∣ = 2

.

Câu 2

Nguyên hàm của hàm số $2 x + cos x$ là:

A

$x^{2} + sin x + C$

B

$2 x + sin x + C$

C

$2 x - sin x + C$

D

$x^{2} - sin x + C$

Lời giải

Bước 1: Tách nguyên hàm

Dùng tính tuyến tính để tách hai thành phần.

\int (2 x + cos x) d x = \int 2 x d x + \int cos x d x

Bước 2: Tính và kết hợp

Tính từng phần rồi gộp kết quả, chỉ thêm một hằng số $C$ .

\int 2 x d x + \int cos x d x = x^{2} + sin x + C

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A. $x^{2} + sin x + C$ ; B, C, D sai vì lần lượt sai phần nguyên hàm của $2 x$ , sai cả phần $2 x$ và dấu, và sai dấu trước $sin x$ .

Đáp án: A.

x^{2} + sin x + C

— vì

\int 2 x d x = x^{2}

và

\int cos x d x = sin x

.

Câu 3

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ (với $c \neq = 0; a d - b c \neq = 0$ ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là:

Hình minh họa

A

$x - 2 = 0$

B

$x + 1 = 0$

C

$y + 1 = 0$

D

$y - 2 = 0$

Lời giải

Bước 1: Đọc tiệm cận trên đồ thị

Đồ thị tiến tới vô cực khi $x$ tiến đến $- 1$ .

x = - 1

Bước 2: Viết phương trình

Đổi dạng $x = - 1$ về phương trình đường thẳng.

x = - 1 ⟺ x + 1 = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B: $x + 1 = 0$ ; A sai vì là $x = 2$ , còn C và D là các đường thẳng ngang.

Đáp án: B — Tiệm cận đứng của đồ thị là

x = - 1

, tương đương

x + 1 = 0

.

Câu 4

Nghiệm của phương trình $5^{x} = 3$ là:

A

$35$

B

$33$

C

$lo g_{5} 3$

D

$lo g_{3} 5$

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng dạng phương trình

Phương trình thuộc dạng $a^{x} = b$ .

a^{x} = b

Bước 2: Áp dụng công thức

Với $a = 5$ và $b = 3$ , nghiệm là:

x = lo g_{5} 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ : $lo g_{5} 3$ . Các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt là $35$ , $33$ và $lo g_{3} 5$ , không đúng dạng nghiệm.

Đáp án: Phương án

C

:

x = lo g_{5} 3

— vì

5^{x} = 3

có nghiệm

x = lo g_{5} 3

.

Câu 5

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} = 1$ và công sai $d = 2$ . Tổng của $10$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho là:

A

$200$

B

$110$

C

$95$

D

$100$

Lời giải

Bước 1: Tính số hạng thứ $10$

Áp dụng công thức số hạng tổng quát.

u_{10} = u_{1} + (10 - 1) d = 1 + 9 \cdot 2 = 19

Bước 2: Tính tổng

Dùng số hạng đầu và số hạng thứ $10$ .

S_{10} = \frac{10}{2} (u_{1} + u_{10}) = 5 (1 + 19) = 100

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ : $100$ ; phương án $A$ quên chia $2$ , còn $B$ và $C$ tính sai.

Đáp án: Đáp án

D

— tổng

10

số hạng đầu là

S_{10} = 100

.

Câu 6

Hàm số $y = \frac{x ^{2} + 2 x + 4}{x + 2}$ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A

$(- 2; 0)$

B

$(- \infty; - 2)$

C

$(0; + \infty)$

D

$(- 4; 0)$

Lời giải

Bước 1: Tìm miền xác định

Điều kiện: $x \neq = - 2$ ; đồng thời phân tích hàm số để tính đạo hàm nhanh.

D = R ∖ {- 2} = (- \infty; - 2) \cup (- 2; + \infty), y = x + \frac{4}{x + 2}

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Giải điều kiện $y^{'} < 0$ để tìm các khoảng nghịch biến.

y^{'} = 1 - \frac{4}{( x + 2 ) ^{2}}, y^{'} < 0 ⟺ (x + 2)^{2} < 4 ⟺ - 4 < x < 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Sau khi loại $x = - 2$ , hàm số nghịch biến trên $(- 4; - 2)$ và $(- 2; 0)$ ; A đúng, còn B, C, D sai vì B chứa đoạn hàm đồng biến, C là khoảng đồng biến, D chứa điểm không xác định $x = - 2$ .

Đáp án: A.

(- 2; 0)

— khoảng này thuộc miền xác định và có

y^{'} < 0

trên mọi điểm.

Câu 7

Đồ thị nào dưới đây là đồ thị của hàm số $y = sin x$ ?

Hình minh họa

A

Hình 1

B

Hình 2

C

Hình 3

D

Hình 4

Lời giải

Bước 1: Nhận diện đặc trưng

Đồ thị $y = sin x$ có biên độ $1$ , chu kỳ $2 π$ , miền giá trị $[- 1, 1]$ và đi qua $O (0, 0)$ .

Đồ thị không có tiệm cận.

A = 1, T = 2 π, - 1 \leq y \leq 1, sin 0 = 0

Bước 2: So sánh các hình

Dùng điểm $x = 0$ : đồ thị sin đi qua $y = 0$ , còn đồ thị cos đi qua $y = 1$ .

Các đồ thị có tiệm cận đứng là của $tan x$ hoặc $cot x$ .

tan x, cot x \Rightarrow tiệm cận đ ứng; cos 0 = 1; sin 0 = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn D (Hình 4), vì đồ thị đi qua $O (0, 0)$ , dao động trong $[- 1, 1]$ và không có tiệm cận.

A, B, C sai vì lần lượt là đồ thị $y = tan x$ , $y = cos x$ , $y = cot x$ .

Đáp án: D — Hình 4 có đúng các đặc trưng của đồ thị

y = sin x

.

Câu 8

Biết rằng $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x)$ trên đoạn $[1; 4]$ và $F (4) = 9, F (1) = 3$ . Giá trị của $\int_{1}^{4} [f (x) + 2] d x$ bằng

A

$0$

B

$8$

C

$- 4$

D

$12$

Lời giải

Bước 1: Tìm nguyên hàm của biểu thức

Một nguyên hàm của $f (x) + 2$ là $F (x) + 2 x$ .

\int [f (x) + 2] d x = F (x) + 2 x + C

Bước 2: Tính tích phân xác định

Thay các giá trị đã cho vào công thức tính tích phân.

\int_{1}^{4} [f (x) + 2] d x = [F (x) + 2 x]_{1}^{4} = (9 + 8) - (3 + 2) = 12

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án D. Các phương án A, B, C sai vì lần lượt không tính đúng phần nguyên hàm, phần hằng số hoặc dấu của hiệu.

Đáp án: D — Vì

\int_{1}^{4} [f (x) + 2] d x = 12

.

Câu 9

Tập nghiệm của bất phương trình $lo g_{3} (x - 2) < 1$ là:

A

$(5; + \infty)$

B

$(- \infty; 5)$

C

$(0; 5)$

D

$(2; 5)$

Lời giải

Bước 1: Đặt điều kiện xác định

Biểu thức logarit xác định khi $x - 2 > 0$ .

x - 2 > 0 ⟹ x > 2

Bước 2: Giải bất phương trình

Vì cơ số $3 > 1$ , hàm số logarit đồng biến.

lo g_{3} (x - 2) < 1 ⟺ x - 2 < 3^{1} = 3 ⟹ x < 5

Bước 3: Đối chiếu phương án

Kết hợp $x > 2$ và $x < 5$ , được $x \in (2; 5)$ . Chọn D; A, B, C sai vì lần lượt lấy $x > 5$ , chứa $x \leq 2$ , và chứa $x \leq 2$ .

2 < x < 5 ⟹ x \in (2; 5)

Đáp án: D — Điều kiện

x > 2

kết hợp với

x < 5

cho

x \in (2; 5)

.

Câu 10

Thống kê số điện (kWh) của 30 lớp học ở trường THPT X dùng trong một tháng được kết quả sau. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho bằng bao nhiêu?

Hình minh họa

A

$50$

B

$40$

C

$10$

D

$60$

Lời giải

Bước $1$ : Xác định hai cận

Cận dưới lớp đầu là $x_{m i n} = 50$ ; cận trên lớp cuối là $x_{m a x} = 110$ .

x_{m i n} = 50, x_{m a x} = 110

Bước $2$ : Tính khoảng biến thiên

Áp dụng công thức khoảng biến thiên.

R = x_{m a x} - x_{m i n} = 110 - 50 = 60

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

$D$ đúng. Các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt chỉ lấy cận dưới, tính sai hiệu và nhầm độ rộng lớp.

Đáp án:

D

— Vì khoảng biến thiên là

R = 110 - 50 = 60

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Ninh Bình năm 2025 - Lần thứ hai

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Xác định phương trình mặt phẳng

Bước 2: Tính khoảng cách

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tách nguyên hàm

Bước 2: Tính và kết hợp

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Đọc tiệm cận trên đồ thị

Bước 2: Viết phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng dạng phương trình

Bước 2: Áp dụng công thức

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Tính số hạng thứ 10

Bước 2: Tính tổng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tìm miền xác định

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Nhận diện đặc trưng

Bước 2: So sánh các hình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tìm nguyên hàm của biểu thức

Bước 2: Tính tích phân xác định

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Đặt điều kiện xác định

Bước 2: Giải bất phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xác định hai cận

Bước 2: Tính khoảng biến thiên

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 1: Tính số hạng thứ $10$

Bước $1$ : Xác định hai cận

Bước $2$ : Tính khoảng biến thiên

Bước $3$ : Đối chiếu phương án