Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Nghệ An năm 2025 - Lần 1 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Nghiệm của phương trình $cos x = \frac{1}{2}$ là

A

$x = \frac{- 2 π}{3} + k 2 π, x = \frac{2 π}{3} + k 2 π (k \in Z)$

B

$x = \frac{π}{3} + k 2 π, x = \frac{- π}{3} + k 2 π (k \in Z)$

C

$x = \frac{2 π}{3} + k 2 π, x = \frac{π}{3} + k 2 π (k \in Z)$

D

$x = \frac{π}{3} + k π, x = \frac{- π}{3} + k π (k \in Z)$

Lời giải

Bước 1: Xác định góc đặc biệt

Chọn $α = \frac{π}{3}$ vì $cos α = \frac{1}{2}$ .

α = \frac{π}{3}

Bước 2: Viết nghiệm tổng quát

Áp dụng công thức $cos x = cos α$ , thay $α = \frac{π}{3}$ .

x = 2 k π \pm \frac{π}{3} ⟺ {x = \frac{π}{3} + 2 k π x = - \frac{π}{3} + 2 k π, k \in Z

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B. A và C chứa góc $\pm \frac{2 π}{3}$ nên cho cosin bằng $- \frac{1}{2}$ ; D dùng chu kỳ $π$ nên sai.

Đáp án: B — nghiệm là

x = \frac{π}{3} + 2 k π

hoặc

x = - \frac{π}{3} + 2 k π

, với

k \in Z

.

Câu 2

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như sau. Điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là:

A

$M (- 3; - 3)$

B

$x = - 1$

C

$x = - 3$

D

$N (- 1; 1)$

Lời giải

Bước 1: Nhận diện điểm cực đại

Trên nhánh bên trái, hàm số tăng đến $x = - 3$ , rồi giảm khi tiến đến $x = - 2$ .

Vì đổi chiều từ tăng sang giảm nên điểm cực đại là $M (- 3; - 3)$ .

x = - 3, y (- 3) = - 3

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ : $M (- 3; - 3)$ . Các phương án $B$ , $C$ chỉ cho hoành độ; $D$ là điểm cực tiểu $N (- 1; 1)$ .

Đáp án:

A . M (- 3; - 3)

— đồ thị đổi từ tăng sang giảm tại điểm này.

Câu 3

Kết quả điều tra tổng thu nhập trong năm 2024 của một số hộ gia đình ở thành phố Vinh được ghi lại ở bảng sau. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là

A

$260$

B

$200$

C

$250$

D

$150$

Lời giải

Bước 1: Xác định hai mốc

Mốc nhỏ nhất là $x_{m i n} = 200$ , mốc lớn nhất là $x_{m a x} = 450$ .

x_{m i n} = 200, x_{m a x} = 450

Bước 2: Tính khoảng biến thiên

Áp dụng công thức $R = x_{m a x} - x_{m i n}$ .

R = 450 - 200 = 250

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án C; A, B, D sai vì lần lượt cho $260$ , $200$ , $150$ , không bằng khoảng biến thiên $250$ .

Đáp án: C — Khoảng biến thiên bằng

450 - 200 = 250

.

Câu 4

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = cos x$ , hai đường thẳng $x = 0$ , $x = \frac{π}{2}$ và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục hoành.

A

$2 π$

B

1

C

2

D

$π$

Lời giải

Bước 1: Lập công thức

Trên đoạn $[0, \frac{π}{2}]$ , bán kính quay là $y = cos x$ .

V = π \int_{0}^{\frac{π}{2}} (cos x)^{2} d x

Bước 2: Tính tích phân

Rút gọn rồi tính nguyên hàm lượng giác.

V = π \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos x d x = π [sin x]_{0}^{\frac{π}{2}} = π

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ ; $A$ , $B$ , $C$ sai lần lượt do nhầm kết quả tích phân hoặc thiếu hệ số $π$ .

V = π

Đáp án: Đáp án

D

—

V = π

theo công thức thể tích khối tròn xoay.

Câu 5

Một nhóm có 5 học sinh, trong đó có 3 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh để tham gia 1 cuộc khảo sát. Tính xác suất để 2 học sinh được chọn đều là học sinh nữ.

A

$\frac{3}{11}$

B

$\frac{3}{10}$

C

$\frac{1}{5}$

D

$\frac{3}{20}$

Lời giải

Bước $1$ : Đếm số cách chọn chung

Số cách chọn $2$ học sinh từ $5$ học sinh là:

C_{5}^{2} = 10

Bước $2$ : Đếm trường hợp thuận lợi

Số cách chọn $2$ học sinh nữ từ $3$ học sinh nữ và xác suất cần tìm là:

C_{3}^{2} = 3, P = \frac{C _{3}^{2}}{C _{5}^{2}} = \frac{3}{10}

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ : $\frac{3}{10}$ . $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt nhầm mẫu số thành $11$ , tử số thành $2$ và mẫu số thành $20$ .

Đáp án: Đáp án

B

— xác suất chọn được

2

học sinh nữ là

\frac{3}{10}

.

Câu 6

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d} (a d - b c \neq = 0)$ có đồ thị như hình vẽ. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là

A

$y = 1$

B

$y = - 1$

C

$x = 1$

D

$x = - 1$

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng tiệm cận

Tiệm cận ngang phải có dạng $y = k$ , không phải dạng $x = k$ .

y = k

Bước 2: Đọc từ đồ thị

Đường tiệm cận ngang trên đồ thị đi qua mức $y = 1$ .

y = 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ : $y = 1$ ; các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì $B$ không đúng vị trí tiệm cận ngang, còn $C$ , $D$ là các đường dạng tiệm cận đứng.

Đáp án: A.

y = 1

— đường tiệm cận ngang trên đồ thị có tung độ

1

.

Câu 7

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2^{x}$

A

$\int f (x) d x = 2^{x} + C$

B

$\int f (x) d x = \frac{2 ^{x + 1}}{x + 1} + C$

C

$\int f (x) d x = \frac{2 ^{x}}{ln 2} + C$

D

$\int f (x) d x = 2^{x} ln 2 + C$

Lời giải

Bước 1: Nhớ công thức

Dùng công thức đạo hàm của hàm mũ để suy ra nguyên hàm tương ứng.

\frac{d}{d x} (a^{x}) = a^{x} ln a

Bước 2: Áp dụng công thức

Với cơ số $a = 2$ , ta được họ nguyên hàm của $2^{x}$ .

\int 2^{x} d x = \frac{2 ^{x}}{ln 2} + C

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án C. Các phương án A, B, D sai vì lần lượt thiếu $ln 2$ , sai dạng nguyên hàm và nhân thêm $ln 2$ .

Đáp án: C:

\frac{2 ^{x}}{ln 2} + C

— vì đạo hàm của biểu thức này bằng

2^{x}

.

Câu 8

Trong không gian $O x y z$ , cho mặt cầu có tâm $I (1; - 4; 0)$ và bán kính bằng 3. Phương trình của mặt cầu $(S)$ là

A

$(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + z^{2} = 9$

B

$(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + z^{2} = 3$

C

$(x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + z^{2} = 9$

D

$(x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + z^{2} = 3$

Lời giải

Bước 1: Xác định dữ kiện

Với $I (1; - 4; 0)$ , ta có $a = 1$ , $b = - 4$ , $c = 0$ và $R = 3$ .

a = 1, b = - 4, c = 0, R^{2} = 3^{2} = 9

Bước 2: Lập phương trình

Thay vào công thức mặt cầu và rút gọn các dấu.

(x - 1)^{2} + (y - (- 4))^{2} + (z - 0)^{2} = 3^{2} ⟺ (x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + z^{2} = 9

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án C. Các phương án A, B, D sai lần lượt do sai dấu tọa độ tâm, đồng thời sai vế phải, hoặc chỉ sai giá trị $R^{2}$ .

Đáp án: C — phương trình là

(x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + z^{2} = 9

.

Câu 9

Trong không gian $O x y z$ , đường thẳng $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z}{3}$ đi qua điểm nào sau đây?

A

$B (0; - 6; - 6)$

B

$C (4; 0; 3)$

C

$A (- 2; 2; 0)$

D

$D (3; 0; 3)$

Lời giải

Bước 1: Đặt tham số chung

Đặt giá trị chung của ba phân thức là $t$ .

t = \frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z}{3} \Rightarrow ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + 2 t y = - 2 + 2 t z = 3 t

Bước 2: Đối chiếu phương án

Phương án $B$ , tức $C (4; 0; 3)$ , đúng vì ứng với $t = 1$ và thỏa cả ba phương trình; các phương án $A$ , $C$ , $D$ lần lượt cho mâu thuẫn ở tọa độ $y$ .

C (4; 0; 3) A (- 2; 2; 0) B (0; - 6; - 6) D (3; 0; 3) : t = 1, y = 0, z = 3 : t = - 2, y = - 6 \neq = 2 : t = - 1, y = - 4 \neq = - 6 : t = \frac{1}{2}, y = - 1 \neq = 0

Đáp án: Phương án

B

— điểm

C (4; 0; 3)

thuộc đường thẳng với

t = 1

.

Câu 10

Tập nghiệm của bất phương trình $4^{x} < 1$ là

A

$(0; + \infty)$

B

$(0; 1)$

C

$(- \infty; 1)$

D

$(- \infty; 0)$

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Vì $4 > 1$ , hàm số $y = 4^{x}$ đồng biến.

Đổi $1$ thành lũy thừa cơ số $4$ .

1 = 4^{0}

Bước 2: So sánh số mũ

Áp dụng tính đồng biến của hàm số mũ.

4^{x} < 1 ⟺ 4^{x} < 4^{0} ⟺ x < 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn D: $(- \infty; 0)$ . A, B, C sai vì lần lượt không chứa nghiệm âm, chỉ chứa một phần miền dương, hoặc chứa cả số dương.

Đáp án: Đáp án D:

(- \infty; 0)

— vì

4 > 1

nên

4^{x} < 4^{0} ⟺ x < 0

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Nghệ An năm 2025 - Lần 1

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Xác định góc đặc biệt

Bước 2: Viết nghiệm tổng quát

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Nhận diện điểm cực đại

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định hai mốc

Bước 2: Tính khoảng biến thiên

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Lập công thức

Bước 2: Tính tích phân

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Đếm số cách chọn chung

Bước 2: Đếm trường hợp thuận lợi

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng tiệm cận

Bước 2: Đọc từ đồ thị

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Nhớ công thức

Bước 2: Áp dụng công thức

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Xác định dữ kiện

Bước 2: Lập phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Đặt tham số chung

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Bước 2: So sánh số mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Đếm số cách chọn chung

Bước $2$ : Đếm trường hợp thuận lợi

Bước $3$ : Đối chiếu phương án