Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Nam Định năm 2025 - Lần 1 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Cho hàm số bậc ba $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Hình minh họa

A

$(0; 1)$

B

$(1; 2)$

C

$(1; 3)$

D

$(- \infty; 0)$

Lời giải

Bước 1: Xác định chiều biến thiên

Tại $x = 0$ , hàm số đạt cực đại; tại $x = 2$ , hàm số đạt cực tiểu.

x < 0 : đ \overset{ˋ}{\overset{o}{ˆ}} ng bi \overset{ˊ}{\overset{e}{ˆ}} n; 0 < x < 2 : nghịch bi \overset{ˊ}{\overset{e}{ˆ}} n; x > 2 : đ \overset{ˋ}{\overset{o}{ˆ}} ng bi \overset{ˊ}{\overset{e}{ˆ}} n

Bước 2: Ghi các khoảng đồng biến

Hàm số đồng biến trên hai khoảng:

(- \infty; 0) \cup (2; + \infty)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $D$ : $(- \infty; 0)$ ; các phương án $A$ , $B$ thuộc khoảng nghịch biến, còn $C$ chứa cả đoạn nghịch biến và đồng biến nên không thỏa mãn.

Đáp án: D.

(- \infty; 0)

— đồ thị đi lên trên khoảng này.

Câu 2

Cho hàm số $y = x - 3 + \frac{1}{x}$ có đồ thị là $(C)$ . Đường tiệm cận xiên của đồ thị $(C)$ là

A

$y = x$

B

$y = x - 3$

C

$y = x + 1$

D

$y = \frac{1}{x}$

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng dạng hàm

Viết hàm số theo dạng $a x + b + \frac{c}{x}$ .

y = x - 3 + \frac{1}{x}, a = 1, b = - 3

Bước 2: Xác định tiệm cận

Khi $x \to \pm \infty$ , phần $\frac{1}{x}$ tiến về $0$ .

x \to \pm \infty lim \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow y = x - 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ : $y = x - 3$ ; $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt thiếu $- 3$ , sai hằng số tự do và không phải đường thẳng.

Đáp án: Phương án

B

:

y = x - 3

— vì

\frac{1}{x} \to 0

khi

x \to \pm \infty

.

Câu 3

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình bình hành. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A

$S A + S C = S B + S D$

B

$S C = S B + S D$

C

$S A + S B = S C + S D$

D

$S A + S B + S C + S D = 0$

Lời giải

Bước 1: Xác định điểm trung tâm

Gọi $M$ là giao điểm của hai đường chéo $A C$ và $B D$ .

Vì $A B C D$ là hình bình hành nên $M$ là trung điểm của cả $A C$ và $B D$ .

M \in A C \cap B D

Bước 2: Biểu diễn vectơ trung điểm

Biểu diễn $S M$ theo hai cặp đỉnh đối diện rồi đồng nhất.

S M = \frac{1}{2} (S A + S C) = \frac{1}{2} (S B + S D) ⟹ S A + S C = S B + S D

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt thiếu vectơ, ghép sai cặp đỉnh đối diện và không đúng tính chất trung điểm.

Đáp án:

A

— Hai cặp đỉnh đối diện có cùng tổng vectơ:

S A + S C = S B + S D

.

Câu 4

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 cos x$ là:

A

$2 sin x + C$

B

$2 cos x + C$

C

$cos^{2} x + C$

D

$- 2 sin x + C$

Lời giải

Bước 1: Tính nguyên hàm

Đưa hệ số $2$ ra ngoài rồi áp dụng công thức nguyên hàm của $cos x$ .

\int 2 cos x d x = 2 \int cos x d x = 2 sin x + C

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ : $2 sin x + C$ . B, C, D sai vì đạo hàm lần lượt là $- 2 sin x$ , $- 2 sin x cos x$ , $- 2 cos x$ , đều khác $2 cos x$ .

Đáp án: Phương án

A

:

2 sin x + C

Câu 5

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = 2 x^{2} - 3 x$ , $y = x^{2} - x$ và các đường thẳng $x = 0, x = 2$ có diện tích bằng:

A

$1$

B

$\frac{3}{4}$

C

$\frac{4}{3}$

D

$\frac{5}{4}$

Lời giải

Bước $1$ : Xác định hàm trên

Tính hiệu hai hàm trên đoạn $[0, 2]$ .

Δ y = (x^{2} - x) - (2 x^{2} - 3 x) = - x^{2} + 2 x = x (2 - x) \geq 0

Bước $2$ : Lập và tính diện tích

Vì $x^{2} - x$ nằm trên $2 x^{2} - 3 x$ nên lấy hiệu theo thứ tự đó.

S = \int_{0}^{2} [(- x^{2} + 2 x)] d x = [- \frac{x ^{3}}{3} + x^{2}]_{0}^{2} = \frac{4}{3}

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Chọn phương án C; các phương án A, B, D sai vì lần lượt cho kết quả $1$ , $\frac{3}{4}$ và $\frac{5}{4}$ , khác giá trị tích phân.

Đáp án: Phương án C — diện tích bằng

\frac{4}{3}

.

Câu 6

Cho mẫu số liệu ghép nhóm có bảng tần số như sau. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

Hình minh họa

A

$\frac{43}{15}$

B

$\frac{344}{225}$

C

$\frac{17}{30}$

D

$\frac{4}{3}$

Lời giải

Bước 1: Tìm trung điểm các nhóm

Trung điểm tương ứng của các nhóm là $1, 3, 5, 7, 9$ .

x_{i} = \frac{a _{i} + b _{i}}{2} \Rightarrow x_{i} \in {1, 3, 5, 7, 9}

Bước 2: Tính trung bình và phương sai

Dùng các trung điểm cùng tần số tương ứng để tính $\overset{x}{ˉ}$ và $s^{2}$ .

\overset{x}{ˉ} = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 10 \cdot 5 + 15 \cdot 7 + 2 \cdot 9}{30} = 6; s^{2} = \frac{1 ( 1 - 6 ) ^{2} + 2 ( 3 - 6 ) ^{2} + 10 ( 5 - 6 ) ^{2} + 15 ( 7 - 6 ) ^{2} + 2 ( 9 - 6 ) ^{2}}{30} = \frac{86}{30} = \frac{43}{15}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ : $\frac{43}{15}$ .

Đáp án: A.

\frac{43}{15}

— đúng theo công thức phương sai với trung điểm lớp và tần số.

Câu 7

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , cho hai điểm $A (- 1; - 1; 2)$ và $B (1; 3; 4)$ . Đường thẳng $A B$ có phương trình chính tắc là:

A

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 2}{1}$

B

$\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 3}{4} = \frac{z + 4}{2}$

C

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z + 2}{2}$

D

$\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{1}$

Lời giải

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương

Chọn $A B$ làm vectơ chỉ phương của đường thẳng.

A B = B - A = (1 - (- 1); 3 - (- 1); 4 - 2) = (2; 4; 2)

Bước 2: Viết phương trình chính tắc

Dùng điểm $A (- 1; - 1; 2)$ và rút gọn vectơ chỉ phương $(2; 4; 2)$ thành $(1; 2; 1)$ .

\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{1}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án đúng là $D$ ; các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì không đồng thời sử dụng đúng điểm $A$ và vectơ chỉ phương của $A B$ .

Đáp án:

D

— phương trình là

\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{1}

.

Câu 8

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $y - z + 3 = 0$ . Vector nào sau đây là một vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ ?

A

$n_{1} (1; - 1; 3)$

B

$n_{2} (0; 1; - 1)$

C

$n_{3} (0; - 1; 3)$

D

$n_{4} (- 1; 1; 3)$

Lời giải

Bước 1: Xác định hệ số

Viết phương trình theo dạng chuẩn rồi lấy các hệ số của $x, y, z$ .

0 \cdot x + 1 \cdot y - 1 \cdot z + 3 = 0 \Rightarrow n = (0; 1; - 1)

Bước 2: Đối chiếu phương án

Phương án $B$ có vectơ $n_{2} = (0; 1; - 1)$ , đúng với vectơ vừa xác định.

Các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì tọa độ không khớp với $(0; 1; - 1)$ .

Đáp án: Phương án

B

— vì

n_{2} = (0; 1; - 1)

là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Câu 9

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} = - 3$ , $u_{6} = 27$ . Công sai $d$ của cấp số cộng $(u_{n})$ bằng bao nhiêu?

A

$d = 7$

B

$d = 5$

C

$d = 8$

D

$d = 6$

Lời giải

Bước 1: Lập công thức

Áp dụng công thức số hạng tổng quát cho $n = 6$ .

u_{6} = u_{1} + (6 - 1) d

Bước 2: Tính công sai

Thay dữ kiện vào công thức và giải phương trình theo $d$ .

27 = - 3 + 5 d ⟹ 30 = 5 d ⟹ d = 6

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án D: $d = 6$ ; các phương án A, B, C sai vì lần lượt cho $u_{6} = 32, 22, 37$ , đều khác $27$ .

Đáp án: D.

d = 6

— Vì

27 = - 3 + 5 d

nên

d = 6

.

Câu 10

Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình $lo g_{\frac{1}{2}} (x - 3) \geq lo g_{\frac{1}{2}} 4$ :

A

$S = [3; 7]$

B

$S = (3; 7]$

C

$S = (- \infty; 7]$

D

$S = [7; + \infty)$

Lời giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Đối số logarit phải dương.

x - 3 > 0 ⟹ x > 3

Bước 2: Giải bất phương trình

Vì cơ số $\frac{1}{2} < 1$ , logarit nghịch biến nên đổi chiều bất phương trình.

lo g_{\frac{1}{2}} (x - 3) \geq lo g_{\frac{1}{2}} 4 ⟺ x - 3 \leq 4 ⟹ x \leq 7

Bước 3: Đối chiếu phương án

Kết hợp điều kiện: $3 < x \leq 7$ , nên chọn $B$ : $S = (3; 7]$ ; $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt chứa $3$ , chứa các $x \leq 3$ , và chứa các $x > 7$ .

x > 3 v \overset{a}{ˋ} x \leq 7 ⟹ 3 < x \leq 7

Đáp án:

B

— Vì

S = (3; 7]

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Nam Định năm 2025 - Lần 1

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Xác định chiều biến thiên

Bước 2: Ghi các khoảng đồng biến

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng dạng hàm

Bước 2: Xác định tiệm cận

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định điểm trung tâm

Bước 2: Biểu diễn vectơ trung điểm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tính nguyên hàm

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Xác định hàm trên

Bước 2: Lập và tính diện tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tìm trung điểm các nhóm

Bước 2: Tính trung bình và phương sai

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương

Bước 2: Viết phương trình chính tắc

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Xác định hệ số

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Lập công thức

Bước 2: Tính công sai

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 2: Giải bất phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Xác định hàm trên

Bước $2$ : Lập và tính diện tích

Bước $3$ : Đối chiếu phương án