Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Lào Cai năm 2025 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên $R$ và có bảng biến thiên như sau. Điểm cực đại của hàm số $y = f (x)$ là

A

$x = - 7$

B

$x = - 6$

C

$x = - 3$

D

$x = - 4$

Lời giải

Bước 1: Xét dấu đạo hàm

Đọc bảng biến thiên quanh các mốc: tại $x = - 7$ , $y^{'}$ đổi từ âm sang dương; tại $x = - 4$ , $y^{'}$ đổi từ dương sang âm.

x = - 7 : y^{'} : - \to +; x = - 4 : y^{'} : + \to -

Bước 2: Đối chiếu phương án

Dấu $y^{'}$ đổi từ $+$ sang $-$ tại $x = - 4$ , nên hàm số đạt cực đại tại đó.

Chọn phương án $D$ ; $A$ là cực tiểu, còn $B$ và $C$ lần lượt là các tung độ $- 6$ và $- 3$ .

(+) \to (-) ⟹ x_{C Đ} = - 4

Đáp án: Đáp án

D

:

x = - 4

— vì

y^{'}

đổi dấu từ

+

sang

-

.

Câu 2

Nguyên hàm $F (x)$ của hàm số $f (x) = \frac{1}{x} + e$ là.

A

$F (x) = - \frac{1}{x ^{2}} + e^{x} + C$

B

$F (x) = ln ∣ x ∣ + e . x + C$

C

$F (x) = ln ∣ x ∣ + e^{x} + C$

D

$F (x) = ln x + e + C$

Lời giải

Bước 1: Tách nguyên hàm

Tách nguyên hàm của tổng thành tổng các nguyên hàm.

F (x) = \int (\frac{1}{x} + e) d x = \int \frac{1}{x} d x + \int e d x

Bước 2: Tính và kết hợp

Áp dụng các công thức nguyên hàm cơ bản rồi thêm hằng số $C$ .

F (x) = ln ∣ x ∣ + e x + C

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $B$ ; $A, C, D$ sai lần lượt vì đạo hàm không đúng, nhầm $e$ với $e^{x}$ , và thiếu hệ số $x$ của $e$ .

Đáp án: B — vì

F (x) = ln ∣ x ∣ + e x + C

có đạo hàm bằng

\frac{1}{x} + e

.

Câu 3

Một công ty cung cấp nước sạch thống kê lượng nước các hộ gia đình trong một khu vực tiêu thụ trong một bảng số liệu ghép nhóm như sau. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

A

$20 m^{3}$

B

$18 m^{3}$

C

$3 m^{3}$

D

$15 m^{3}$

Lời giải

Bước 1: Xác định hai giá trị biên

Cận dưới lớp đầu là $x_{m i n} = 3 m^{3}$ ; cận trên lớp cuối là $x_{m a x} = 18 m^{3}$ .

x_{m i n} = 3 m^{3}, x_{m a x} = 18 m^{3}

Bước 2: Tính khoảng biến thiên

Áp dụng công thức khoảng biến thiên.

Δ = x_{m a x} - x_{m i n} = 18 - 3 = 15 m^{3}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $D$ đúng; $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt là tần số đầu lớp, cận trên cuối và cận dưới đầu.

Đáp án:

D

— Khoảng biến thiên bằng

15 m^{3}

.

Câu 4

Cho hàm số $F (x)$ là một nguyên hàm của $f (x)$ . Biết $F (1) = - 3, F (- 2) = 12$ . Tính $I = \int_{- 2}^{1} f (x) d x$

A

$I = 9$

B

$I = 15$

C

$I = - 36$

D

$I = - 15$

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Vì $F^{'} (x) = f (x)$ , áp dụng định lý cơ bản của giải tích.

\int_{- 2}^{1} f (x) d x = F (1) - F (- 2)

Bước 2: Thay số và tính

Thay các giá trị đã cho vào công thức.

I = (- 3) - 12 = - 15

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ ; các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt tính sai hiệu, bỏ dấu âm và tính toán không đúng.

Đáp án: D.

I = - 15

— tính đúng

F (1) - F (- 2) = (- 3) - 12

.

Câu 5

Trong không gian $O x y z$ , mặt phẳng $(P) : 2 x + y - 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là:

A

$n_{4} = (2; 1; 0)$

B

$n_{3} = (1; 2; 0)$

C

$n_{2} = (2; 1; - 1)$

D

$n_{1} = (- 2; - 1; 1)$

Lời giải

Bước 1: Xác định các hệ số

Viết phương trình theo dạng $A x + B y + C z + D = 0$ .

2 x + y - 1 = 2 x + 1 \cdot y + 0 \cdot z - 1 = 0

Bước 2: Đối chiếu phương án

Suy ra một vectơ pháp tuyến là $(2; 1; 0)$ , nên chọn A. B, C, D sai vì lần lượt hoán đổi hệ số, có hệ số $z$ khác $0$ , và không cùng phương với $(2; 1; 0)$ .

n = (2; 1; 0)

Đáp án: A.

(2; 1; 0)

— Đây là vectơ gồm các hệ số của

x

,

y

,

z

.

Câu 6

Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Góc giữa 2 vectơ $A B$ và $C D^{'}$ bằng

A

$30°$

B

$135°$

C

$60°$

D

$45°$

Lời giải

Bước $1$ : Xác định góc phụ

Vì $C D ∥ A B$ và ngược hướng, góc giữa $A B$ , $C D^{'}$ là góc bù với $∠ D C D^{'}$ .

Bước $2$ : Tính góc trong mặt vuông

$C D D^{'}$ là tam giác vuông cân nên $∠ D C D^{'} = 4 5^{\circ}$ .

∠ D C D^{'} = 4 5^{\circ}

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Góc cần tìm là góc bù của $4 5^{\circ}$ ; chọn phương án $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt không cho giá trị $13 5^{\circ}$ .

18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}

Đáp án: Đáp án

B

— góc giữa hai vectơ bằng

13 5^{\circ}

.

Câu 7

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn $[1; 5]$ và có đồ thị như hình vẽ sau. Trên đoạn $[1; 5]$ , hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào

A

$x = 4$

B

$x = 1$

C

$x = 2$

D

$x = 5$

Lời giải

Bước 1: Xác định điểm ứng viên

Các điểm cần xét gồm hai đầu mút và các điểm cực trị trên đoạn.

Theo đồ thị: $x \in {1, 2, 4, 5}$ .

x \in {1, 2, 4, 5}

Bước 2: Đọc và so sánh giá trị

Từ đồ thị, các giá trị tương ứng là các giá trị trong công thức.

Giá trị lớn nhất là $4$ , đạt tại $x = 2$ .

f (1) = 3, f (2) = 4, f (4) = 0, f (5) = 2; max f (x) = 4

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án C: $x = 2$ ; các phương án B, A, D sai vì lần lượt cho $f (1) = 3$ , $f (4) = 0$ , $f (5) = 2$ , đều nhỏ hơn $f (2) = 4$ .

Đáp án: C.

x = 2

— vì

f (2) = 4

là giá trị lớn nhất trên

[1; 5]

.

Câu 8

Tập nghiệm của bất phương trình $lo g_{\frac{1}{2}} (x + 1) > - 1$ là

A

$(- 1; 1)$

B

$(1; + \infty)$

C

$(- \infty; 1)$

D

$(0; 3)$

Lời giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Biểu thức logarit xác định khi $x + 1 > 0$ .

x + 1 > 0 ⟺ x > - 1

Bước 2: Giải bất phương trình

Vì $0 < \frac{1}{2} < 1$ , khi khử logarit phải đổi chiều bất đẳng thức.

lo g_{\frac{1}{2}} (x + 1) > - 1 ⟺ x + 1 < (\frac{1}{2})^{- 1} = 2 ⟺ x < 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Kết hợp với điều kiện, ta được $- 1 < x < 1$ , nên chọn phương án $A$ ; $B, D$ chứa các giá trị $x > 1$ không thỏa, còn $C$ chứa $x \leq - 1$ làm logarit không xác định.

S = (- 1; 1)

Đáp án: Phương án

A

— điều kiện và bất phương trình tương đương cho

- 1 < x < 1

.

Câu 9

Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{- 2 x - 1}{x - 2}$ là.

A

$y = - 2$

B

$y = 2$

C

$x = 2$

D

$x = - 2$

Lời giải

Bước 1: So sánh bậc

Tử số và mẫu số đều là đa thức bậc $1$ .

de g (- 2 x - 1) = de g (x - 2) = 1

Bước 2: Tính tiệm cận ngang

Lấy tỉ số hệ số của $x$ ở tử và mẫu.

y = \frac{- 2}{1} = - 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A. $y = - 2$ . B, C, D sai vì B đổi dấu, còn C và D có dạng $x = ...$ , là phương trình theo phương đứng.

Đáp án: A.

y = - 2

— tỉ số hệ số bậc nhất của tử và mẫu bằng

- 2

.

Câu 10

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh $a$ . Cạnh $S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài là $2 a$ . Thể tích khối chóp $S . B C D$ bằng.

A

$\frac{a ^{3}}{8}$

B

$\frac{a ^{3}}{3}$

C

$\frac{a ^{3}}{4}$

D

$\frac{2 a ^{3}}{3}$

Lời giải

Bước 1: Tính diện tích đáy

Tam giác $B C D$ vuông tại $C$ , có $B C = C D = a$ .

S_{B C D} = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot C D = \frac{a ^{2}}{2}

Bước 2: Tính thể tích

Mặt phẳng $(B C D)$ trùng với mặt phẳng đáy nên chiều cao khối chóp là $h = S A = 2 a$ .

V_{S . B C D} = \frac{1}{3} \cdot S_{B C D} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a ^{2}}{2} \cdot 2 a = \frac{a ^{3}}{3}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B. $\frac{a ^{3}}{3}$ ; A, C, D sai do lần lượt tính sai diện tích đáy hoặc hệ số thể tích.

Đáp án: B.

\frac{a ^{3}}{3}

— vì

S_{B C D} = \frac{a ^{2}}{2}

và

h = 2 a

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Lào Cai năm 2025

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Xét dấu đạo hàm

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tách nguyên hàm

Bước 2: Tính và kết hợp

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định hai giá trị biên

Bước 2: Tính khoảng biến thiên

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Bước 2: Thay số và tính

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Xác định các hệ số

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Xác định góc phụ

Bước 2: Tính góc trong mặt vuông

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Xác định điểm ứng viên

Bước 2: Đọc và so sánh giá trị

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 2: Giải bất phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: So sánh bậc

Bước 2: Tính tiệm cận ngang

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tính diện tích đáy

Bước 2: Tính thể tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Xác định góc phụ

Bước $2$ : Tính góc trong mặt vuông

Bước $3$ : Đối chiếu phương án