Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Lạng Sơn năm 2025 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Cho $\int f (x) d x = - cos x + C$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A

$f (x) = - sin x$

B

$f (x) = - cos x$

C

$f (x) = sin x$

D

$f (x) = cos x$

Lời giải

Bước 1: Xác định hàm nguyên hàm

Đặt $F (x) = - cos x$ .

F (x) = - cos x

Bước 2: Lấy đạo hàm

Theo công thức, $f (x) = F^{'} (x)$ .

f (x) = F^{'} (x) = \frac{d}{d x} (- cos x) = sin x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ . $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt cho các hàm $- sin x$ , $- cos x$ , $cos x$ , đều không bằng $sin x$ .

Đáp án:

C

— Vì

f (x) = \frac{d}{d x} (- cos x) = sin x

.

Câu 2

Cho hình phẳng được tô màu trong hình bên dưới. Diện tích hình phẳng tô màu trong hình vẽ là:

A

$S = \int_{0}^{2} [x + 1 - (\frac{1}{2})^{x}] d x$

B

$S = \int_{0}^{2} [(\frac{1}{2})^{x} - x - 1] d x$

C

$S = \int_{0}^{2} [(\frac{1}{2})^{x} - x + 1] d x$

D

$S = \int_{0}^{2} [x + 1 + (\frac{1}{2})^{x}] d x$

Lời giải

Bước 1: Xác định đồ thị phía trên

Trên $[0, 2]$ , với $0 < x \leq 2$ : $(\frac{1}{2})^{x} < 1 < x + 1$ .

Vì vậy, $y = x + 1$ ở trên và $y = (\frac{1}{2})^{x}$ ở dưới.

(\frac{1}{2})^{x} < 1 < x + 1 (0 < x \leq 2)

Bước 2: Lập tích phân diện tích

Lấy hàm phía trên trừ hàm phía dưới trên đoạn $[0, 2]$ .

S = \int_{0}^{2} [x + 1 - (\frac{1}{2})^{x}] d x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A. B, C, D sai vì lần lượt đổi dấu toàn bộ hiệu, sai dấu của hạng tử $x$ , và cộng hai hàm thay vì lấy hiệu.

Đáp án: A — Vì diện tích bằng tích phân của hàm phía trên trừ hàm phía dưới trên

[0, 2]

.

Câu 3

Bảng 1, Bảng 2 lần lượt biểu diễn màu số liệu ghép nhóm về nhiệt độ không khí trung bình các tháng năm 2021 tại Hà Nội và Huế (Đơn vị: $^{\circ} C$ )
Dựa vào độ lệch chuẩn, hãy cho biết khẳng định nào sau đây đúng?

A

Hà Nội có nhiệt độ không khí trung bình tháng đồng đều hơn Huế.

B

Huế có nhiệt độ không khí trung bình tháng đồng đều hơn Hà Nội.

C

Hà Nội và Huế có nhiệt độ không khí trung bình tháng đồng đều như nhau.

D

Không so sánh được.

Lời giải

Bước 1: Tính số trung bình

Tính số trung bình cho từng bảng theo công thức $\overline{x} = \frac{\sum f _{i} x _{i}}{n}$ .

\overline{x}_{HN} = \frac{2 \cdot 18.3 + 3 \cdot 21.3 + 2 \cdot 24.3 + 1 \cdot 27.3 + 4 \cdot 30.3}{12} = 24.8, \overline{x}_{Hu \overset{ˊ}{\overset{e}{^}}} = \frac{1 \cdot 18.3 + 2 \cdot 21.3 + 3 \cdot 24.3 + 2 \cdot 27.3 + 4 \cdot 30.3}{12} = 25.8

Bước 2: Tính và đối chiếu độ lệch chuẩn

Áp dụng công thức độ lệch chuẩn cho hai bảng, được $σ_{HN} \approx 4.822$ và $σ_{Hu \overset{ˊ}{\overset{e}{^}}} \approx 3.969$ .

Vì $σ_{Hu \overset{ˊ}{\overset{e}{^}}} < σ_{HN}$ , chọn B; A, C, D sai vì lần lượt đảo ngược kết luận, khẳng định hai độ lệch chuẩn bằng nhau và cho rằng không thể so sánh.

σ_{HN} = \frac{2 ( 18.3 - 24.8 ) ^{2} + 3 ( 21.3 - 24.8 ) ^{2} + 2 ( 24.3 - 24.8 ) ^{2} + ( 27.3 - 24.8 ) ^{2} + 4 ( 30.3 - 24.8 ) ^{2}}{12} \approx 4.822, σ_{Hu \overset{ˊ}{\overset{e}{^}}} \approx 3.969

Đáp án: B — Huế có nhiệt độ không khí trung bình tháng đồng đều hơn Hà Nội vì

σ_{Hu \overset{ˊ}{\overset{e}{^}}} < σ_{HN}

.

Câu 4

Trong không gian $O x y z$ , cho ba điểm $A (1; 2; - 1), B (3; 0; 1), C (2; 2; - 2)$ . Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$ có phương trình là:

A

$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 1}{3}$

B

$\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{2}$

C

$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 1}{- 1}$

D

$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{1}$

Lời giải

Bước 1: Tìm hai vectơ trong mặt phẳng

Chọn hai vectơ $A B$ và $A C$ .

A B = B - A = (2; - 2; 2), A C = C - A = (1; 0; - 1)

Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương

Vectơ pháp tuyến của $(A B C)$ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm.

n = A B \times A C = (2; 4; 2) \sim (1; 2; 1)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Đường thẳng qua $A (1; 2; - 1)$ , có vectơ chỉ phương $(1; 2; 1)$ , là:

Phương án $D$ đúng; $A$ và $C$ sai vectơ chỉ phương, còn $B$ không đi qua $A$ .

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{1}

Đáp án:

D

— đường thẳng đi qua

A

và có vectơ chỉ phương

(1; 2; 1)

, là vectơ pháp tuyến của

(A B C)

.

Câu 5

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ. Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là:

A

$x = 2$

B

$y = x - 2$

C

$y = x - 1$

D

$y = x + 1$

Lời giải

Bước 1: Tính hệ số góc

Dùng hai điểm $(- 1, 0)$ và $(0, 1)$ trên tiệm cận.

m = \frac{1 - 0}{0 - ( - 1 )} = 1

Bước 2: Lập phương trình

Thay $m = 1$ và điểm $(0, 1)$ vào $y = m x + q$ để tìm $q$ .

1 = 1 \cdot 0 + q \Rightarrow q = 1 \Rightarrow y = x + 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn D: $y = x + 1$ ; A sai vì $x = 2$ là tiệm cận đứng, còn B và C sai hằng số tự do.

Đáp án: D.

y = x + 1

— là phương trình đường thẳng đi qua

(- 1, 0)

và

(0, 1)

.

Câu 6

Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông cân tại $A$ và $A B = a 2$ . Biết $S A ⊥ (A B C)$ và $S A = a$ . Góc nhị diện $(S, B C, A)$ có số đo bằng:

A

$3 0^{\circ}$

B

$6 0^{\circ}$

C

$4 5^{\circ}$

D

$9 0^{\circ}$

Lời giải

Bước 1: Dựng góc phẳng

Gọi $H$ là trung điểm của $B C$ ; khi đó $A H ⊥ B C$ .

Vì $S A ⊥ B C$ , suy ra $S H ⊥ B C$ ; góc nhị diện là $∠ A H S$ .

S A ⊥ B C, A H ⊥ B C ⟹ B C ⊥ (S A H), S H ⊥ B C

Bước 2: Tính độ dài $A H$

Trong tam giác vuông cân $A B C$ , cạnh huyền là $B C$ và $A H$ là đường cao.

B C = A B 2 = 2 a, A H = \frac{B C}{2} = a

Bước 3: Tính góc nhị diện

Tam giác $S A H$ vuông tại $A$ , có $S A = A H = a$ nên là tam giác vuông cân.

∠ (S, B C, A) = ∠ A H S = 4 5^{\circ}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ . Các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt cho $3 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ , không phù hợp kết quả.

Đáp án:

C . 4 5^{\circ}

— Vì góc nhị diện bằng

∠ A H S = 4 5^{\circ}

.

Câu 7

Trong không gian $O x y z$ , cho điểm $A (0; - 3; 2)$ và mặt phẳng $(P) : 2 x - y + 3 z + 5 = 0$ . Mặt phẳng đi qua $A$ và song song với $(P)$ có phương trình là:

A

$2 x - y + 3 z + 9 = 0$

B

$2 x + y + 3 z + 3 = 0$

C

$2 x + y + 3 z - 3 = 0$

D

$2 x - y + 3 z - 9 = 0$

Lời giải

Bước $1$ : Lập dạng mặt phẳng

Mặt phẳng cần tìm song song $(P)$ nên có cùng bộ hệ số $x, y, z$ .

n_{P} = (2, - 1, 3), (Q) : 2 x - y + 3 z + D = 0

Bước $2$ : Tìm hằng số $D$

Vì $A \in (Q)$ , thay tọa độ $A (0; - 3; 2)$ vào phương trình $(Q)$ .

2 \cdot 0 - (- 3) + 3 \cdot 2 + D = 0 \Rightarrow D = - 9

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Phương trình cần tìm là $2 x - y + 3 z - 9 = 0$ .

Chọn $D$ ; $A$ sai dấu hằng số, còn $B, C$ đổi dấu hệ số $y$ nên không song song $(P)$ .

2 x - y + 3 z - 9 = 0

Đáp án:

D

— Mặt phẳng cần tìm là

2 x - y + 3 z - 9 = 0

.

Câu 8

Tập nghiệm của bất phương trình $3^{x^{2} - 23} < 9$

A

$(- 5; 5)$

B

$(- \infty; 5)$

C

$(5; + \infty)$

D

$(- \infty; - 5)$

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Viết $9$ dưới dạng lũy thừa cơ số $3$ .

9 = 3^{2}

Bước 2: So sánh số mũ

Vì cơ số $3 > 1$ , hàm số mũ đồng biến nên so sánh trực tiếp các số mũ.

3^{x^{2} - 23} < 3^{2} ⟺ x^{2} - 23 < 2 ⟺ x^{2} < 25

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án đúng là $A$ ; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt chứa nghiệm ngoài khoảng, chỉ lấy nửa khoảng bên phải và chỉ lấy nửa khoảng bên trái.

x^{2} < 25 ⟺ - 5 < x < 5 ⟺ x \in (- 5; 5)

Đáp án: Đáp án

A

:

(- 5; 5)

— vì

x^{2} < 25 ⟺ - 5 < x < 5

.

Câu 9

Nghiệm phương trình $3^{4 x} = \frac{1}{3 3}$ là:

A

$- \frac{1}{4}$

B

$- \frac{3}{8}$

C

$\frac{3}{8}$

D

$\frac{1}{12 3}$

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Viết vế phải dưới dạng lũy thừa cơ số $3$ .

\frac{1}{3 3} = \frac{1}{3 \cdot 3 ^{\frac{1}{2}}} = 3^{- \frac{3}{2}}

Bước 2: So sánh số mũ

Hai lũy thừa cùng cơ số $3$ nên các số mũ bằng nhau.

3^{4 x} = 3^{- \frac{3}{2}} ⟹ 4 x = - \frac{3}{2} ⟹ x = - \frac{3}{8}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án B. A, C, D sai vì không cho nghiệm thỏa mãn $4 x = - \frac{3}{2}$ .

Đáp án: B.

x = - \frac{3}{8}

— vì

4 x = - \frac{3}{2}

.

Câu 10

Cho cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1} = - 2$ , công bội $q = \frac{3}{4}$ . Số $- \frac{81}{128}$ là số hạng thứ mấy của cấp số này?

A

5

B

4

C

6

D

3

Lời giải

Bước 1: Lập số hạng tổng quát

Thay $u_{1} = - 2$ và $q = \frac{3}{4}$ vào công thức.

u_{n} = - 2 (\frac{3}{4})^{n - 1}

Bước 2: Tìm chỉ số $n$

Cho $u_{n} = - \frac{81}{128}$ và đưa về cùng cơ số.

- 2 (\frac{3}{4})^{n - 1} = - \frac{81}{128} \Rightarrow (\frac{3}{4})^{n - 1} = \frac{81}{256} = (\frac{3}{4})^{4} \Rightarrow n - 1 = 4 \Rightarrow n = 5

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ . $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho $u_{4} = - \frac{27}{32}$ , $u_{6} = - \frac{243}{512}$ , $u_{3} = - \frac{9}{8}$ .

Đáp án:

A . 5

— số

- \frac{81}{128}

là số hạng thứ

5

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Lạng Sơn năm 2025

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Xác định hàm nguyên hàm

Bước 2: Lấy đạo hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Xác định đồ thị phía trên

Bước 2: Lập tích phân diện tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tính số trung bình

Bước 2: Tính và đối chiếu độ lệch chuẩn

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tìm hai vectơ trong mặt phẳng

Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Tính hệ số góc

Bước 2: Lập phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Dựng góc phẳng

Bước 2: Tính độ dài AH

Bước 3: Tính góc nhị diện

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Lập dạng mặt phẳng

Bước 2: Tìm hằng số D

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Bước 2: So sánh số mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Bước 2: So sánh số mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Lập số hạng tổng quát

Bước 2: Tìm chỉ số n

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 2: Tính độ dài $A H$

Bước $1$ : Lập dạng mặt phẳng

Bước $2$ : Tìm hằng số $D$

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước 2: Tìm chỉ số $n$