Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Lâm Đồng năm 2025 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Thầy Lâm thống kê lại đường kính thân gỗ của một số cây xoan đào 6 năm tuổi được trồng ở sân trường thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

A

15

B

6

C

30

D

25

Lời giải

Bước 1: Xác định hai biên ngoài

Biên đầu là $40$ , biên cuối là $65$ .

x_{m i n} = 40, x_{m a x} = 65

Bước 2: Tính khoảng biến thiên

Áp dụng công thức khoảng biến thiên.

R = x_{m a x} - x_{m i n} = 65 - 40 = 25

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn D: $25$ . A, B, C sai vì lần lượt không dùng đúng hai biên ngoài cùng, nhầm độ rộng lớp hoặc tính sai hiệu.

Đáp án: D — Khoảng biến thiên bằng

65 - 40 = 25

.

Câu 2

Trong không gian $O x y z$ , tọa độ tâm $I$ của mặt cầu $(S) : (x - 1)^{2} + y^{2} + (z + 2)^{2} = 9$ là

A

$I (1; 0; - 2)$

B

$I (- 1; 0; 2)$

C

$I (- 1; 1; 2)$

D

$I (1; 1; - 2)$

Lời giải

Bước 1: Đưa về dạng chuẩn

Đối chiếu phương trình đã cho với dạng chuẩn của mặt cầu.

(x - 1)^{2} + (y - 0)^{2} + (z - (- 2))^{2} = 3^{2}

Bước 2: Xác định tọa độ tâm

Các tọa độ tâm lần lượt là $a = 1$ , $b = 0$ , $c = - 2$ .

I (a; b; c) = I (1; 0; - 2)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt đổi dấu tọa độ, sai cả dấu và tung độ, hoặc lấy $b = 1$ thay vì $b = 0$ .

I (1; 0; - 2)

Đáp án: A.

I (1; 0; - 2)

— tọa độ tâm đọc từ dạng chuẩn của phương trình mặt cầu.

Câu 3

Trong không gian $O x y z$ , cho hai điểm $M (- 1; - 1; 2)$ và $N (1; 3; 4)$ . Đường thẳng $M N$ có phương trình chính tắc là

A

$\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{1}$

B

$\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 3}{4} = \frac{z + 4}{2}$

C

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z + 2}{2}$

D

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 2}{1}$

Lời giải

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương

Tính $M N$ và giản ước để được vectơ chỉ phương tối giản.

M N = (1 - (- 1); 3 - (- 1); 4 - 2) = (2; 4; 2) = 2 (1; 2; 1) \Rightarrow u = (1; 2; 1)

Bước 2: Viết phương trình chính tắc

Dùng điểm $M (- 1; - 1; 2)$ và vectơ $u = (1; 2; 1)$ .

\frac{x - ( - 1 )}{1} = \frac{y - ( - 1 )}{2} = \frac{z - 2}{1} \Rightarrow \frac{x + 1}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{1}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A. B, C, D sai vì lần lượt không cùng điểm trên đường thẳng, sai điểm gốc, và sai cả điểm lẫn vectơ chỉ phương.

Đáp án: A — phương trình

\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{1}

đi qua

M

và có vectơ chỉ phương

(1; 2; 1)

.

Câu 4

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với $u_{1} = 3$ và công bội $q = 2$ . Giá trị của $u_{3}$ bằng

A

12

B

7

C

18

D

6

Lời giải

Bước 1: Chọn công thức

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân.

Bước 2: Tính số hạng thứ ba

Thay $u_{1} = 3$ , $q = 2$ , $n = 3$ vào công thức.

u_{3} = u_{1} \cdot q^{3 - 1} = 3 \cdot 2^{2} = 12

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A. B, C, D sai vì lần lượt cho kết quả $7$ , $18$ , $6$ , không bằng $u_{3} = 12$ .

Đáp án: A.

12

— tính theo công thức

u_{3} = u_{1} \cdot q^{2} = 3 \cdot 2^{2} = 12

.

Câu 5

Trong không gian $O x y z$ , cho mặt phẳng $(P) : 2 x - 3 y + z - 5 = 0$ . Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ ?

A

$n = (2; - 3; 5)$

B

$n = (2; - 3; 1)$

C

$n = (2; 3; - 1)$

D

$n = (2; - 3; - 5)$

Lời giải

Bước 1: Nhận diện hệ số

Đối chiếu phương trình với dạng $a x + b y + cz + d = 0$ , ta có $a = 2$ , $b = - 3$ , $c = 1$ .

n = (a; b; c) = (2; - 3; 1)

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án chứa vectơ $n = (2; - 3; 1)$ . A, C, D sai vì lần lượt dùng $5$ thay $1$ , đổi dấu hai hệ số $- 3, 1$ , và dùng $- 5$ thay $1$ .

Đáp án: B — vì

n = (2; - 3; 1)

là vectơ gồm ba hệ số của

x

,

y

,

z

.

Câu 6

Tập nghiệm của bất phương trình $2^{x} \leq 3$ là

A

$[lo g_{2} 3; + \infty)$

B

$(- \infty; lo g_{2} 3)$

C

$(lo g_{2} 3; + \infty)$

D

$(- \infty; lo g_{2} 3]$

Lời giải

Bước $1$ : Xét cơ số

Vì $2 > 1$ , hàm số $y = 2^{x}$ đồng biến trên $R$ .

2 > 1

Bước $2$ : Biến đổi bất phương trình

Đưa $3$ về dạng lũy thừa cơ số $2$ bằng logarit.

2^{x} \leq 3 ⟺ x \leq lo g_{2} 3

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Tập nghiệm là $(- \infty; lo g_{2} 3]$ . Phương án $D$ đúng; $A$ và $C$ ngược chiều, còn $B$ thiếu dấu bằng.

S = (- \infty; lo g_{2} 3]

Đáp án: Phương án

D

— vì

2^{x} \leq 3 ⟺ x \leq lo g_{2} 3

.

Câu 7

Nghiệm của phương trình $lo g_{3} (2 x - 1) = 2$ là

A

$x = 5$

B

$x = 3$

C

$x = \frac{7}{2}$

D

$x = \frac{9}{2}$

Lời giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Đối số logarit phải dương.

2 x - 1 > 0 ⟺ x > \frac{1}{2}

Bước 2: Đổi sang dạng mũ

Áp dụng định nghĩa logarit rồi giải phương trình bậc nhất.

lo g_{3} (2 x - 1) = 2 ⟺ 2 x - 1 = 3^{2} = 9 ⟺ x = 5

Bước 3: Đối chiếu phương án

Với $x = 5$ , điều kiện $x > \frac{1}{2}$ được thỏa mãn; chọn phương án $A$ .

Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho $2 x - 1$ bằng $5$ , $6$ , $8$ , không bằng $9$ .

x = 5

Đáp án: A.

x = 5

— vì

2 x - 1 = 9 = 3^{2}

và thỏa điều kiện xác định.

Câu 8

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{3} + x$ là

A

$\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

B

$x^{4} + x^{2} + C$

C

$x^{3} + x + C$

D

$3 x^{2} + 1 + C$

Lời giải

Bước 1: Tách các hạng tử

Lấy nguyên hàm từng hạng tử của $f (x)$ .

\int (x^{3} + x) d x = \int x^{3} d x + \int x d x

Bước 2: Tính nguyên hàm

Áp dụng công thức nguyên hàm lũy thừa và thêm hằng số $C$ .

F (x) = \frac{x ^{4}}{4} + \frac{x ^{2}}{2} + C

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt thiếu hệ số chia, chưa tăng số mũ và là đạo hàm của $f (x)$ .

Đáp án: A — vì

F (x) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C

có

F^{'} (x) = x^{3} + x

.

Câu 9

Biết $F (x) = x^{3}$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x)$ trên $R$ . Giá trị của $\int_{1}^{2} [2 + f (x)] d x$ bằng

A

$\frac{23}{4}$

B

$\frac{15}{4}$

C

7

D

9

Lời giải

Bước 1: Tách tích phân

Tách tổng trong dấu tích phân thành hai tích phân.

\int_{1}^{2} [2 + f (x)] d x = \int_{1}^{2} 2 d x + \int_{1}^{2} f (x) d x

Bước 2: Tính từng phần

Dùng công thức nguyên hàm với $F (x) = x^{3}$ .

\int_{1}^{2} 2 d x + \int_{1}^{2} f (x) d x = 2 (2 - 1) + F (2) - F (1) = 2 + (2^{3} - 1^{3}) = 9

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $D$ đúng; $A$ , $B$ , $C$ sai vì không bằng kết quả $9$ , trong đó $C$ chỉ là giá trị của $\int_{1}^{2} f (x) d x$ .

D = 9

Đáp án: D.

9

— tách tích phân rồi áp dụng

\int_{1}^{2} f (x) d x = F (2) - F (1)

.

Câu 10

Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ bên?

A

$y = x^{3} - 3 x + 1$

B

$y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$

C

$y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$

D

$y = 2 x + \frac{1}{x + 1}$

Lời giải

Bước 1: Xác định điều kiện tiệm cận

Đồ thị cần có mẫu số bằng $0$ tại $x = - 1$ và tỉ số hệ số bậc nhất bằng $2$ .

x + 1 = 0 ⟹ x = - 1; \frac{a}{c} = 2

Bước 2: Kiểm tra phương án phù hợp

Với phương án $B$ , biến đổi hàm số để kiểm tra vị trí hai nhánh.

y = \frac{2 x + 1}{x + 1} = 2 - \frac{1}{x + 1}

Bước 3: Đối chiếu phương án

$B$ đúng vì có tiệm cận $x = - 1$ , $y = 2$ và $y > 2$ khi $x < - 1$ , $y < 2$ khi $x > - 1$ .

$A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt không có tiệm cận đứng, có tiệm cận đứng $x = 1$ , và không có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2$ .

Đáp án:

B

:

y = \frac{2 x + 1}{x + 1}

, vì phù hợp cả hai tiệm cận và vị trí hai nhánh.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Lâm Đồng năm 2025

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Xác định hai biên ngoài

Bước 2: Tính khoảng biến thiên

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Đưa về dạng chuẩn

Bước 2: Xác định tọa độ tâm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương

Bước 2: Viết phương trình chính tắc

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Chọn công thức

Bước 2: Tính số hạng thứ ba

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Nhận diện hệ số

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Xét cơ số

Bước 2: Biến đổi bất phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 2: Đổi sang dạng mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tách các hạng tử

Bước 2: Tính nguyên hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tách tích phân

Bước 2: Tính từng phần

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xác định điều kiện tiệm cận

Bước 2: Kiểm tra phương án phù hợp

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Xét cơ số

Bước $2$ : Biến đổi bất phương trình

Bước $3$ : Đối chiếu phương án