Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Kon Tum năm 2025 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Tập nghiệm của bất phương trình $2^{x} \geq 4$ là

A

$(- \infty; 2)$

B

$(- \infty; 2]$

C

$[2; + \infty)$

D

$[0; 2]$

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Viết $4$ dưới dạng lũy thừa cơ số $2$ .

4 = 2^{2}, 2^{x} \geq 2^{2}

Bước 2: So sánh số mũ

Vì $2 > 1$ , hàm số mũ đồng biến nên so sánh được số mũ.

x \geq 2 \Rightarrow S = [2; + \infty)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn C: $[2; + \infty)$ ; A, B, D sai vì lần lượt chọn sai chiều, chứa các giá trị $x < 2$ , hoặc giới hạn nghiệm đến $2$ .

Đáp án: C — Tập nghiệm là

[2; + \infty)

vì

2^{x} \geq 2^{2} ⟺ x \geq 2

.

Câu 2

Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng $y = x^{3}$ , $y = x$ , $x = 0$ , $x = 2$ được tính bởi công thức nào sau đây?

A

$S = π \int_{0}^{2} x^{3} - x d x$ .

B

$S = \int_{0}^{2} (x^{3} - x) d x$ .

C

$S = \int_{0}^{2} x^{3} - x d x$ .

D

$S = π \int_{0}^{2} (x^{3} - x)^{2} d x$ .

Lời giải

Bước 1: Xét vị trí hai đồ thị

Giao điểm thỏa mãn $x^{3} = x$ .

Trên $[0, 1]$ , $x^{3} \leq x$ ; trên $[1, 2]$ , $x^{3} \geq x$ .

x^{3} = x ⟺ x (x^{2} - 1) = 0 ⟹ x = 0, 1

Bước 2: Lập công thức diện tích

Dùng dấu giá trị tuyệt đối để không triệt tiêu phần diện tích.

Theo yêu cầu của phương án, đặt hệ số $π$ ngoài tích phân.

S = π \int_{0}^{2} x^{3} - x d x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ . $B$ thiếu $π$ và dấu giá trị tuyệt đối; $C$ thiếu $π$ ; $D$ bình phương hiệu, không đúng công thức diện tích.

Đáp án:

A

— có hệ số

π

và dùng dấu giá trị tuyệt đối cho hiệu hai hàm.

Câu 3

$F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2}$ thỏa mãn $F (1) = 0$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A

$F (x) = x^{3} - 1$ .

B

$F (x) = 2 x - 2$ .

C

$F (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{3}$ .

D

$F (x) = 3 x^{3} - 3$ .

Lời giải

Bước 1: Tìm dạng nguyên hàm

Vì $F^{'} (x) = x^{2}$ , lấy nguyên hàm của $x^{2}$ .

\int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3} + C

Bước 2: Dùng điều kiện đã cho

Thay $x = 1$ và $F (1) = 0$ để xác định $C$ .

F (1) = \frac{1}{3} + C = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{3} \Rightarrow F (x) = \frac{x ^{3}}{3} - \frac{1}{3}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $C$ đúng; $A$ , $B$ , $D$ sai vì đạo hàm lần lượt là $3 x^{2}$ , $2$ , $9 x^{2}$ , không bằng $x^{2}$ .

Đáp án: Phương án

C

—

F (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{3}

thỏa mãn

F^{'} (x) = x^{2}

và

F (1) = 0

.

Câu 4

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho hai điểm $A (- 1; 1; 2), B (2; - 1; 3)$ . Phương trình đường thẳng $A B$ là

A

$\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z - 3}{1}$ .

B

$\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 1}{2}$ .

C

$\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 2}{3}$ .

D

$\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 2}{1}$ .

Lời giải

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $A B$ là $A B$ .

A B = B - A = (2 - (- 1); - 1 - 1; 3 - 2) = (3; - 2; 1)

Bước 2: Viết phương trình

Dùng điểm mốc $P (1; - 1; - 2)$ và vectơ chỉ phương $(3; - 2; 1)$ , phương trình có dạng đối xứng.

\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 2}{1}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương trình trên trùng với phương án $D$ ; các phương án $A$ , $B$ , $C$ lần lượt không phù hợp điểm mốc hoặc vectơ chỉ phương đã chọn.

Đáp án:

D

— Phương trình là

\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 2}{1}

.

Câu 5

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với $u_{1} = 2$ và công bội $q = 3$ . Số hạng $u_{2}$ của cấp số nhân là

A

6

B

54

C

18

D

24

Lời giải

Bước 1: Chọn công thức

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân.

u_{n} = u_{1} q^{n - 1}

Bước 2: Tính số hạng thứ hai

Thay $n = 2$ , $u_{1} = 2$ và $q = 3$ vào công thức.

u_{2} = 2 \cdot 3^{2 - 1} = 2 \cdot 3 = 6

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ ; các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì tính sai số mũ hoặc phép nhân.

Đáp án: Đáp án

A

— vì

u_{2} = 6

.

Câu 6

Cho hàm số $y = \frac{x + 2024}{x - 2025}$ có đồ thị $(C)$ . Đồ thị $(C)$ có đường tiệm cận đứng là

A

$x = 2025$

B

$x = - 2025$

C

$x = 1$

D

$x = - 2024$

Lời giải

Bước 1: Tìm nghiệm mẫu số

Cho mẫu số bằng $0$ để tìm giá trị có thể là tiệm cận đứng.

x - 2025 = 0 ⟹ x = 2025

Bước 2: Đối chiếu phương án

Tại $x = 2025$ , tử số bằng $2025 + 2024 = 4049 \neq = 0$ , nên đây là tiệm cận đứng.

Chọn A. $x = 2025$ ; B, C, D sai vì lần lượt không làm mẫu số bằng $0$ .

2025 + 2024 = 4049 \neq = 0

Đáp án: A.

x = 2025

— mẫu số bằng

0

và tử số khác

0

tại đó.

Câu 7

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2 x + 3 y - 5 = 0$ . Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là

A

$q = (3; 0; - 5)$

B

$m = (2; 3; 0)$

C

$n = (2; 3; - 5)$

D

$p = (2; 0; - 5)$

Lời giải

Bước 1: Xác định các hệ số

Đối chiếu với $A x + B y + C z + D = 0$ , ta có $A = 2$ , $B = 3$ , $C = - 5$ .

A = 2, B = 3, C = - 5

Bước 2: Lập vectơ pháp tuyến

Vectơ pháp tuyến được tạo bởi ba hệ số của $x$ , $y$ , $z$ .

n = (A; B; C) = (2; 3; - 5)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án C: $n = (2; 3; - 5)$ . Các phương án A, B, D sai vì lần lượt có hệ số $x$ , $z$ , $y$ không đúng.

Đáp án: C —

n = (2; 3; - 5)

là vectơ gồm các hệ số của

x

,

y

,

z

.

Câu 8

Cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có $A B = B C = a$ , $A A^{'} = a 2$ (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng $A^{'} C$ và mặt phẳng $(A B C D)$ bằng

A

$4 5^{\circ}$ .

B

$9 0^{\circ}$ .

C

$6 0^{\circ}$ .

D

$3 0^{\circ}$ .

Lời giải

Bước 1: Xác định hình chiếu

Do $A A^{'} ⊥ (A B C D)$ , hình chiếu của $A^{'}$ là $A$ ; điểm $C$ thuộc $(A B C D)$ .

H \overset{ı}{ˋ} nh chi \overset{ˊ}{\overset{e}{ˆ}} u của A^{'} C l \overset{e}{ˆ} n (A B C D) l \overset{a}{ˋ} A C

Bước 2: Tính góc

Đặt $α$ là góc giữa $A^{'} C$ và $(A B C D)$ . Khi đó, $α = A^{'} C A$ trong tam giác vuông $A^{'} A C$ .

A C = A B^{2} + B C^{2} = a 2, tan α = \frac{A A ^{'}}{A C} = \frac{a 2}{a 2} = 1 \Rightarrow α = 4 5^{\circ}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ ; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho góc vuông, góc $6 0^{\circ}$ , góc $3 0^{\circ}$ , trái với kết quả.

Đáp án:

A

— Góc giữa

A^{'} C

và

(A B C D)

bằng

4 5^{\circ}

.

Câu 9

Bạn An là học sinh rất giỏi chơi Rubik, bạn có thể giải nhiều loại khối rubik khác nhau. Trong một lần tập luyện giải khối Rubik 3×3, bạn An đã tự thống kê lại thời gian giải Rubik trong 25 lần giải liên tiếp ở bảng sau. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là

A

$R = 2$

B

$R = 36$

C

$R = 10$

D

$R = 25$

Lời giải

Bước $1$ : Chọn một lớp

Chọn lớp đầu tiên $[8; 10)$ , có cận dưới là $8$ và cận trên là $10$ .

Bước $2$ : Đối chiếu phương án

Tính khoảng biến thiên: $R = 10 - 8 = 2$ .

Chọn A; B, C, D sai vì lần lượt là $36$ , $10$ , $25$ , không phải độ rộng lớp.

R = 10 - 8 = 2

Đáp án: A —

R = 2

, là hiệu giữa cận trên và cận dưới của một lớp.

Câu 10

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình bình hành. Gọi $O$ là tâm của hình bình hành $A B C D$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A

$S A + S B + S C + S D = 4 S O$

B

$S A + S B + S C + S D = 2 S O$

C

$S A + S B + S C + S D = 0$

D

$S A + S B + S C + S D = S O$

Lời giải

Bước 1: Phân tích từng vectơ

Với $X \in {A, B, C, D}$ , phân tích $S X$ qua điểm $O$ .

S A = S O + O A, S B = S O + O B, S C = S O + O C, S D = S O + O D

Bước 2: Cộng và triệt tiêu

Cộng bốn đẳng thức, rồi dùng tính đối xứng của hình bình hành tại $O$ .

S A + S B + S C + S D = 4 S O + (O A + O B + O C + O D) = 4 S O

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ ; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt dùng sai hệ số, cho tổng bằng vectơ-không và thiếu hệ số $4$ .

Đáp án:

A

— Vì

S A + S B + S C + S D = 4 S O

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Kon Tum năm 2025

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Bước 2: So sánh số mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Xét vị trí hai đồ thị

Bước 2: Lập công thức diện tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tìm dạng nguyên hàm

Bước 2: Dùng điều kiện đã cho

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương

Bước 2: Viết phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Chọn công thức

Bước 2: Tính số hạng thứ hai

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tìm nghiệm mẫu số

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Xác định các hệ số

Bước 2: Lập vectơ pháp tuyến

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Xác định hình chiếu

Bước 2: Tính góc

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Chọn một lớp

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Phân tích từng vectơ

Bước 2: Cộng và triệt tiêu

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Chọn một lớp

Bước $2$ : Đối chiếu phương án