Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Khánh Hòa năm 2025 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Cho mẫu số liệu ghép nhóm có bảng tần số ghép nhóm như sau. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) là

A

$53, 9$

B

$53, 6$

C

$51, 2$

D

$7, 2$

Lời giải

Bước 1: Tìm trung điểm các lớp

Các trung điểm lần lượt là $42, 5; 47, 5; 52, 5; 57, 5; 62, 5; 67, 5$ .

x_{i} = \frac{a _{i} + b _{i}}{2}

Bước 2: Tính độ lệch chuẩn

Có $n = 40$ và $\overline{x} = 53, 875$ .

\overline{x} = \frac{4 \cdot 42 , 5 + 11 \cdot 47 , 5 + 7 \cdot 52 , 5 + 8 \cdot 57 , 5 + 8 \cdot 62 , 5 + 2 \cdot 67 , 5}{40} = 53, 875; σ = \frac{4 \cdot 42 , 5 ^{2} + 11 \cdot 47 , 5 ^{2} + 7 \cdot 52 , 5 ^{2} + 8 \cdot 57 , 5 ^{2} + 8 \cdot 62 , 5 ^{2} + 2 \cdot 67 , 5 ^{2}}{40} - 53, 87 5^{2} \approx 7, 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $D . 7, 2$ ; A và B do tính sai, còn C là giá trị phương sai gần đúng, chưa lấy căn bậc hai.

Đáp án: D.

7, 2

— là độ lệch chuẩn sau khi làm tròn đến hàng phần mười.

Câu 2

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , đường thẳng đi qua điểm $M (1; 3; - 2)$ và nhận vectơ $u = (2; 1; - 1)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là

A

$⎩ ⎨ ⎧ x = 1 - 2 t y = 3 - t z = - 2 - t$

B

$⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + t y = 1 + 3 t z = - 1 - 2 t$

C

$⎩ ⎨ ⎧ x = - 1 + 2 t y = - 3 + t z = 2 - t$

D

$⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 2 t y = 3 + t z = - 2 - t$

Lời giải

Bước 1: Xác định dữ kiện

Có $M (1; 3; - 2)$ và vectơ chỉ phương $u = (2; 1; - 1)$ .

x_{0} = 1, y_{0} = 3, z_{0} = - 2; a = 2, b = 1, c = - 1

Bước 2: Lập phương trình

Thay các tọa độ vào công thức phương trình tham số.

⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 2 t y = 3 + t z = - 2 - t

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $D$ đúng; $A$ sai vectơ chỉ phương, còn $B$ và $C$ sai điểm đi qua hoặc vectơ chỉ phương.

Đáp án:

D

— Phương trình thu được là

⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 2 t y = 3 + t z = - 2 - t

.

Câu 3

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với $u_{1} = 20$ và công bội $q = - 2$ . Giá trị của $u_{3}$ bằng

A

$5$

B

$16$

C

$80$

D

$- 320$

Lời giải

Bước 1: Viết công thức

Dùng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân.

u_{n} = u_{1} \cdot q^{n - 1}

Bước 2: Tính $u_{3}$

Thay $u_{1} = 20$ , $q = - 2$ và $n = 3$ vào công thức.

u_{3} = 20 \cdot (- 2)^{3 - 1} = 20 \cdot 4 = 80

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ vì $u_{3} = 80$ ; các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai do tính sai lũy thừa, quên nhân với $u_{1}$ hoặc sai dấu.

Đáp án: C — vì

u_{3} = 80

.

Câu 4

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = sin x$ là

A

$- cos x + C$

B

$- sin x + C$

C

$sin x + C$

D

$cos x + C$

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng nguyên hàm

Chọn hàm có đạo hàm bằng $sin x$ .

\frac{d}{d x} (- cos x) = sin x

Bước 2: Viết nguyên hàm tổng quát

Thêm hằng số $C$ vào kết quả.

- cos x + C

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án đúng là $A$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì đạo hàm lần lượt là $- cos x$ , $cos x$ , và $- sin x$ , không bằng $sin x$ .

Đáp án:

A . - cos x + C

— vì

\frac{d}{d x} (- cos x + C) = sin x

.

Câu 5

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông, $S A ⊥ (A B C D)$ , $S A = 6 a$ và $A B = 3 a$ . Thể tích khối chóp $S . A B C D$ bằng

A

$54 a^{3}$

B

$18 a^{3}$

C

$27 a^{3}$

D

$6 a^{3}$

Lời giải

Bước 1: Tính diện tích đáy

Đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh $3 a$ .

S_{A B C D} = (3 a)^{2} = 9 a^{2}

Bước 2: Tính thể tích

Chiều cao khối chóp là $h = S A = 6 a$ .

V = \frac{1}{3} \cdot 9 a^{2} \cdot 6 a = 18 a^{3}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $B$ đúng: $V = 18 a^{3}$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai do lần lượt quên chia $3$ , tính sai hệ số hoặc kết quả không đúng công thức.

V = 18 a^{3}

Đáp án:

B . 18 a^{3}

— diện tích đáy là

9 a^{2}

và chiều cao là

6 a

.

Câu 6

Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ (tham khảo hình vẽ). Góc giữa hai đường thẳng $A^{'} C^{'}$ và $C D$ bằng

A

$6 0^{\circ}$

B

$9 0^{\circ}$

C

$4 5^{\circ}$

D

$3 0^{\circ}$

Lời giải

Bước 1: Dựng hình chiếu

Chiếu vuông góc đường $A^{'} C^{'}$ xuống mặt đáy, ta được $A C$ .

Vì vậy, góc giữa $A^{'} C^{'}$ và $C D$ bằng góc giữa $A C$ và $C D$ .

Bước 2: Tính góc trong đáy

Tam giác $A C D$ vuông tại $D$ , với $A D = C D = a$ nên là tam giác vuông cân.

A C D = 4 5^{\circ}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ : góc cần tìm bằng $4 5^{\circ}$ ; các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt cho góc $6 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ , $3 0^{\circ}$ .

Đáp án: C — Góc giữa

A^{'} C^{'}

và

C D

bằng

4 5^{\circ}

.

Câu 7

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ ,

Cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 2 y + 2 z - 11 = 0$ . Tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ có tọa độ là

A

$(4; - 2; 2)$

B

$(- 2; 1; - 1)$

C

$(2; - 1; 1)$

D

$(- 4; 2; - 2)$

Lời giải

Bước 1: Hoàn thành bình phương

Xử lí riêng từng biến bằng công thức hoàn thành bình phương.

x^{2} + 4 x = (x + 2)^{2} - 4, y^{2} - 2 y = (y - 1)^{2} - 1, z^{2} + 2 z = (z + 1)^{2} - 1

Bước 2: Đưa về dạng chuẩn

Thay các kết quả trên vào phương trình và chuyển hằng số sang vế phải.

(x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 17

Bước 3: Xác định tâm

Đối chiếu với dạng chuẩn của mặt cầu.

I (- 2; 1; - 1), R = 17

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt lấy hệ số thay tâm, đổi sai dấu và nhân đôi tọa độ.

Đáp án: Phương án

B

:

I (- 2; 1; - 1)

— đọc trực tiếp từ dạng chuẩn.

Câu 8

Cho hai hàm số $y = f (x), y = g (x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = f (x), y = g (x)$ và hai đường thẳng $x = a, x = b$ được tính bởi công thức

A

$S = \int_{a}^{b} (∣ f (x) ∣ - ∣ g (x) ∣) d x$ .

B

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$ .

C

$S = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x$ .

D

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) + g (x) ∣ d x$ .

Lời giải

Bước 1: Xác định khoảng cách

Tại mỗi $x$ , khoảng cách theo phương đứng giữa hai đồ thị là $∣ f (x) - g (x) ∣$ .

∣ f (x) - g (x) ∣

Bước 2: Lập công thức diện tích

Tích phân chiều cao trên đoạn $[a; b]$ cho diện tích cần tìm.

S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $B$ ; $A$ , $C$ , $D$ lần lượt dùng hiệu các giá trị tuyệt đối, tổng hai hàm và tổng hai hàm trong giá trị tuyệt đối nên không biểu diễn khoảng cách giữa hai đồ thị.

Đáp án:

B

— Diện tích giữa hai đồ thị bằng

\int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x

.

Câu 9

Nghiệm của phương trình $lo g_{3} (x + 1) = 2$ là

A

$x = 10$

B

$x = 7$

C

$x = 9$

D

$x = 8$

Lời giải

Bước 1: Xét điều kiện

Điều kiện xác định là biểu thức trong logarit dương.

x + 1 > 0

Bước 2: Đổi sang dạng mũ

Áp dụng định nghĩa logarit, ta chuyển phương trình về dạng lũy thừa.

lo g_{3} (x + 1) = 2 ⟺ 3^{2} = x + 1 ⟺ x = 8

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ : $x = 8$ ; $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt cho $x + 1 = 11, 8, 10$ , đều khác $3^{2} = 9$ .

Đáp án: D.

x = 8

— vì

3^{2} = x + 1

.

Câu 10

Cho hàm số bậc ba $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A

Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 1)$

B

Hàm số đồng biến trên khoảng $(- 1; + \infty)$

C

Hàm số đồng biến trên khoảng $(- 1; 1)$

D

Hàm số đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$

Lời giải

Bước 1: Đọc chiều biến thiên

Đồ thị đi xuống trên $(- \infty; - 1)$ và $(1; + \infty)$ , đi lên trên $(- 1; 1)$ .

f^{'} (x) < 0 tr \overset{e}{ˆ} n (- \infty; - 1) \cup (1; + \infty), f^{'} (x) > 0 tr \overset{e}{ˆ} n (- 1; 1)

Bước 2: Chọn khoảng đồng biến

Khoảng hàm số đồng biến là nơi đồ thị đi lên.

f^{'} (x) > 0 ⟺ x \in (- 1; 1)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn C. A, B, D sai vì lần lượt xét khoảng nghịch biến, chứa cả khoảng nghịch biến và là khoảng nghịch biến.

Đáp án: C — Hàm số đồng biến trên khoảng

(- 1; 1)

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Khánh Hòa năm 2025

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tìm trung điểm các lớp

Bước 2: Tính độ lệch chuẩn

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Xác định dữ kiện

Bước 2: Lập phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Viết công thức

Bước 2: Tính u3​

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng nguyên hàm

Bước 2: Viết nguyên hàm tổng quát

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Tính diện tích đáy

Bước 2: Tính thể tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Dựng hình chiếu

Bước 2: Tính góc trong đáy

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Hoàn thành bình phương

Bước 2: Đưa về dạng chuẩn

Bước 3: Xác định tâm

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Xác định khoảng cách

Bước 2: Lập công thức diện tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Xét điều kiện

Bước 2: Đổi sang dạng mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Đọc chiều biến thiên

Bước 2: Chọn khoảng đồng biến

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 2: Tính $u_{3}$