Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Hưng Yên năm 2025 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A

$(- \infty; 1)$

B

$(2; + \infty)$

C

$(0; 1)$

D

$(1; 2)$

Lời giải

Bước 1: Xét nhánh bên phải

Trên nhánh $x > 1$ , đồ thị đi xuống đến điểm cực tiểu có hoành độ $x = 2$ .

Sau $x = 2$ , đồ thị đi lên nên hàm số đồng biến trên $(2; + \infty)$ .

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt không đồng biến trên toàn khoảng, đang giảm trên $(0; 1)$ và giảm trên $(1; 2)$ .

Đáp án: B.

(2; + \infty)

— đồ thị đi lên trên toàn khoảng này.

Câu 2

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 2 x + y - z - 1 = 0$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ ?

A

$n_{3} = (2; 1; - 1)$

B

$n_{1} = (2; - 1; 1)$

C

$n_{4} = (- 2; 1; 1)$

D

$n_{2} = (2; 1; 1)$

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng hệ số

Đối chiếu $(P) : 2 x + y - z - 1 = 0$ với dạng $A x + B y + C z + D = 0$ .

A = 2, B = 1, C = - 1

Bước 2: Lập vectơ pháp tuyến

Dùng công thức $n = (A; B; C)$ .

n = (2; 1; - 1)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A vì $n_{3} = (2; 1; - 1)$ ; B, C, D sai vì lần lượt đổi dấu ở $y, z$ , ở $x, z$ , và ở $z$ .

Đáp án: A — vì

n_{3} = (2; 1; - 1)

là vectơ gồm các hệ số của

x, y, z

.

Câu 3

Đường thẳng đi qua điểm $A (1; - 2; 0)$ và vuông góc với mặt phẳng $x - 2 y - 2 z - 3 = 0$ có phương trình chính tắc là

A

$\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z}{- 2}$

B

$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 2}{- 2}$

C

$\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 2} = \frac{z}{- 2}$

D

$\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z}{2}$

Lời giải

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là $n = (1; - 2; - 2)$ .

Do đường thẳng vuông góc mặt phẳng, chọn vectơ chỉ phương $u = n$ .

u = (1; - 2; - 2)

Bước 2: Lập phương trình chính tắc

Đường thẳng đi qua $A (1; - 2; 0)$ và có vectơ chỉ phương $u = (1; - 2; - 2)$ .

\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 2} = \frac{z}{- 2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ . Các phương án $A$ , $B$ , $D$ lần lượt sai điểm đi qua, sai tọa độ điểm đi qua và sai hướng vectơ chỉ phương.

Đáp án: Phương án

C

— đường thẳng có vectơ chỉ phương

(1; - 2; - 2)

và đi qua

A (1; - 2; 0)

.

Câu 4

Biết $1 \int 3 f (x) d x = 5$ và $1 \int 3 g (x) d x = - 7$ . Giá trị của $1 \int 3 [3 f (x) - 2 g (x)] d x$ bằng

A

$- 31$

B

$29$

C

$1$

D

$- 29$

Lời giải

Bước 1: Áp dụng tính chất tuyến tính

Sử dụng tính chất của tích phân để tách biểu thức thành hiệu hai tích phân.

Đưa các hằng số $3$ và $2$ ra ngoài dấu tích phân.

\int_{1}^{3} [3 f (x) - 2 g (x)] d x = 3 \int_{1}^{3} f (x) d x - 2 \int_{1}^{3} g (x) d x

Bước 2: Thay số và tính toán

Thay các giá trị tích phân đã cho vào biểu thức.

Bước cuối: Đối chiếu phương án. Phương án B đúng vì $3 (5) - 2 (- 7) = 15 + 14 = 29$ , các phương án A, C, D sai vì lần lượt tính sai kết quả là $- 31$ , $1$ , và $- 29$ do nhầm lẫn dấu hoặc phép nhân.

3 (5) - 2 (- 7) = 15 + 14 = 29

Đáp án: B — Giá trị của tích phân là

29

sau khi áp dụng tính chất tuyến tính

3 (5) - 2 (- 7) = 29

.

Câu 5

Nghiệm của phương trình $lo g_{2} (x - 1) = 3$ là

A

$x = 9$

B

$x = 8$

C

$x = 10$

D

$x = 7$

Lời giải

Bước 1: Đổi dạng logarit

Áp dụng định nghĩa $lo g_{a} b = c ⟺ b = a^{c}$ .

x - 1 = 2^{3}

Bước 2: Tìm nghiệm và kiểm tra

Giá trị tìm được thỏa điều kiện $x - 1 > 0$ .

x - 1 = 8 ⟹ x = 9; 9 - 1 = 8 > 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ ; các phương án $B, C, D$ sai vì lần lượt cho $x - 1 = 7, 9, 6$ , không bằng $2^{3}$ .

Đáp án: Phương án

A

:

x = 9

— vì

x - 1 = 2^{3}

.

Câu 6

Bảng sau thống kê thời gian tập thể dục mỗi ngày trong tháng 3/2025 của hai bạn Hưng và Bình. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục của Hưng và Bình lần lượt là

A

20 phút và 25 phút

B

25 phút và 20 phút

C

20 phút và 20 phút

D

25 phút và 25 phút

Lời giải

Bước $1$ : Xác định cận lớp

Cả hai bạn đều dùng lớp đầu $[10; 15)$ và lớp cuối $[30; 35)$ .

Vì vậy, giá trị nhỏ nhất là $10$ phút, lớn nhất là $35$ phút.

x_{m i n} = 10, x_{m a x} = 35

Bước $2$ : Đối chiếu phương án

Khoảng biến thiên của mỗi bạn là $R = 35 - 10 = 25 ph \overset{u}{ˊ} t$ .

Chọn D; các phương án $A, B, C$ sai vì ít nhất một giá trị bị tính thành $20$ phút.

R_{H ư ng} = R_{B \overset{ı}{ˋ} nh} = 35 - 10 = 25 ph \overset{u}{ˊ} t

Đáp án: D — Khoảng biến thiên của Hưng và Bình lần lượt đều là

25 ph \overset{u}{ˊ} t

.

Câu 7

Họ nguyên hàm của hàm số $y = x^{3}$ là

A

$\frac{x ^{4}}{4} + C$

B

$x^{4} + C$

C

$\frac{x ^{2}}{2} + C$

D

$3 x^{2} + C$

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Với $n = 3$ , áp dụng trực tiếp công thức nguyên hàm lũy thừa.

\int x^{3} d x = \frac{x ^{3 + 1}}{3 + 1} + C = \frac{x ^{4}}{4} + C

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn A vì đạo hàm của $\frac{x ^{4}}{4} + C$ là $x^{3}$ ; B, C, D sai vì đạo hàm lần lượt là $4 x^{3}$ , $x$ , $6 x$ .

(\frac{x ^{4}}{4} + C)^{'} = x^{3}

Đáp án:

A . \frac{x ^{4}}{4} + C

— đạo hàm bằng

x^{3}

.

Câu 8

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d} (c \neq = 0; a d - b c \neq = 0)$ có đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là

A

$x = 1$

B

$x = - 1$

C

$y = - 1$

D

$y = 1$

Lời giải

Bước 1: Nhớ công thức tiệm cận đứng

Với hàm số đã cho, giải mẫu số bằng $0$ để tìm hoành độ tiệm cận đứng.

c x + d = 0 ⟹ x = - \frac{d}{c}

Bước 2: Đọc tiệm cận trên đồ thị

Đường thẳng đứng trên đồ thị đi qua hoành độ $- 1$ .

x_{TC Đ} = - 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B. $x = - 1$ ; A sai dấu, còn C và D là các đường thẳng dạng $y = h \overset{ˋ}{\overset{a}{˘}} ng s \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}}$ nên không phải tiệm cận đứng.

Đáp án: B.

x = - 1

— đường tiệm cận đứng có dạng

x = x_{0}

và đồ thị cho

x_{0} = - 1

.

Câu 9

Các nghiệm của phương trình $cos 2 x = 0$ là

A

$x = \frac{π}{2} + k π (k \in Z)$

B

$x = \frac{π}{8} + k \frac{π}{2} (k \in Z)$

C

$x = k \frac{π}{2} (k \in Z)$

D

$x = \frac{π}{4} + k \frac{π}{2} (k \in Z)$

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Đặt $t = 2 x$ , phương trình trở thành $cos t = 0$ .

t = 2 x, cos t = 0 ⟹ t = \frac{π}{2} + k π

Bước 2: Tìm nghiệm $x$

Thay $t = 2 x$ rồi chia hai vế cho $2$ .

2 x = \frac{π}{2} + k π ⟹ x = \frac{π}{4} + k \frac{π}{2}, k \in Z

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án D: $x = \frac{π}{4} + k \frac{π}{2}$ . A là nghiệm của $cos x = 0$ , B chia sai hệ số, còn C là nghiệm của $sin 2 x = 0$ .

x = \frac{π}{4} + k \frac{π}{2}, k \in Z

Đáp án: D — vì

cos 2 x = 0 ⟺ 2 x = \frac{π}{2} + k π

, suy ra

x = \frac{π}{4} + k \frac{π}{2}

.

Câu 10

Tập nghiệm của bất phương trình $3^{x} \leq 9$ là

A

$(- \infty; 2]$

B

$[0; 2]$

C

$(0; 2)$

D

$(- \infty; 2)$

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Viết $9$ dưới dạng lũy thừa cơ số $3$ .

9 = 3^{2}

Bước 2: So sánh số mũ

Vì cơ số $3 > 1$ , bất đẳng thức giữ nguyên chiều.

3^{x} \leq 3^{2} ⟺ x \leq 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A, $(- \infty; 2]$ . Các phương án B, C, D sai vì lần lượt loại các nghiệm $x < 0$ , loại thêm hai biên $x = 0$ và $x = 2$ , và bỏ mất nghiệm $x = 2$ .

Đáp án: A:

(- \infty; 2]

— vì

3^{x} \leq 3^{2} ⟺ x \leq 2

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Hưng Yên năm 2025

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Xét nhánh bên phải

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng hệ số

Bước 2: Lập vectơ pháp tuyến

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương

Bước 2: Lập phương trình chính tắc

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Áp dụng tính chất tuyến tính

Bước 2: Thay số và tính toán

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Đổi dạng logarit

Bước 2: Tìm nghiệm và kiểm tra

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Xác định cận lớp

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Nhớ công thức tiệm cận đứng

Bước 2: Đọc tiệm cận trên đồ thị

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Bước 2: Tìm nghiệm x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Bước 2: So sánh số mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Xác định cận lớp

Bước $2$ : Đối chiếu phương án

Bước 2: Tìm nghiệm $x$