Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Hải Phòng năm 2025 - Mã đề 0102 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Bảng sau đây biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm thống kê về nhu cầu mức giá mua nhà (đơn vị triệu đồng/m²) của khách hàng tại một công ty xây dựng. Khoảng biến thiên $R$ của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

A

$R = 108.$

B

$R = 4.$

C

$R = 9.$

D

$R = 20.$

Lời giải

Bước 1: Xác định hai mốc biên

Mốc đầu là $10$ , mốc cuối là $30$ .

x_{m i n} = 10, x_{m a x} = 30

Bước 2: Tính khoảng biến thiên

Áp dụng công thức khoảng biến thiên.

R = x_{m a x} - x_{m i n} = 30 - 10 = 20

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án D: $R = 20$ ; A, B, C sai vì lần lượt không phải hiệu hai mốc biên, là độ dài lớp và một giá trị không phù hợp.

Đáp án: D.

R = 20

— hiệu giữa mốc cuối

30

và mốc đầu

10

.

Câu 2

Cho hình chóp $S . A B C D$ đáy $A B C D$ là hình bình hành, $S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa hai đường thẳng nào sau đây bằng $9 0^{\circ}$ ?

A

$S A, B D .$

B

$S A, S C .$

C

$S A, S B .$

D

$S B, A D .$

Lời giải

Bước $1$ : Xác định mặt phẳng

Từ $S A ⊥ (A B C D)$ , suy ra $S A$ vuông góc mọi đường thẳng thuộc $(A B C D)$ .

S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ d với d \subset (A B C D)

Bước $2$ : Chọn đường thích hợp

Đường chéo $B D$ nằm trong mặt phẳng đáy $(A B C D)$ .

B D \subset (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ B D

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Chọn $A$ . Các phương án $B, C, D$ sai vì $S C, S B$ không nằm trong $(A B C D)$ , còn $S B$ không được suy ra vuông góc $A D$ .

Đáp án:

A

— Vì

B D \subset (A B C D)

và

S A ⊥ (A B C D)

nên

S A ⊥ B D

.

Câu 3

Công thức tính thể tích $V$ của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f (x)$ , trục $O x$ và hai đường thẳng $x = a, x = b (a < b)$ , xung quanh trục $O x$ là

A

$V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x .$

B

$V = \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x .$

C

$V = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x .$

D

$V = π \int_{a}^{b} f (x) d x .$

Lời giải

Bước 1: Xác định bán kính

Tại vị trí $x$ , bán kính đĩa tròn là khoảng cách đến trục $O x$ .

R = ∣ f (x) ∣

Bước 2: Lập công thức thể tích

Diện tích mặt cắt là $S (x) = π R^{2}$ . Cộng các lát cắt trên $[a, b]$ bằng tích phân.

V = \int_{a}^{b} S (x) d x = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A: $V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ ; B thiếu $π$ , C tính diện tích miền phẳng, D không bình phương $f (x)$ .

Đáp án: A — Đúng vì thể tích khối tròn xoay quanh

O x

bằng

π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x

.

Câu 4

Hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình dưới đây. Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang là

A

$x = 1.$

B

$y = 1.$

C

$x = 2.$

D

$y = 2.$

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng tiệm cận ngang

Tiệm cận ngang được xác định bằng giới hạn của hàm số khi $x \to \pm \infty$ .

x \to \pm \infty lim f (x) = L \Rightarrow y = L

Bước 2: Đọc đồ thị

Ở hai phía, đồ thị tiến gần đường thẳng có tung độ $1$ .

L = 1 \Rightarrow y = 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $B$ . Các phương án $A$ và $C$ có dạng $x = a$ nên là đường thẳng đứng; phương án $D$ không đúng vì đồ thị tiến gần $y = 1$ , không phải $y = 2$ .

Đáp án:

B . y = 1

— Đồ thị tiến gần đường thẳng ngang có tung độ

1

khi

x \to \pm \infty

.

Câu 5

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} = - 3, u_{6} = 27$ . Công sai $d$ của cấp số cộng đã cho là

A

$d = 5.$

B

$d = 8.$

C

$d = 7.$

D

$d = 6.$

Lời giải

Bước 1: Lập công thức cho $u_{6}$

Áp dụng công thức số hạng tổng quát với $n = 6$ .

u_{6} = u_{1} + (6 - 1) d = u_{1} + 5 d

Bước 2: Thay số và tính $d$

Thay $u_{6} = 27$ và $u_{1} = - 3$ vào công thức.

27 = - 3 + 5 d \Rightarrow 30 = 5 d \Rightarrow d = 6

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ vì $d = 6$ ; các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt cho $u_{6} = 22$ , $37$ , $32 \neq = 27$ .

Đáp án: Đáp án

D

—

d = 6

theo công thức cấp số cộng.

Câu 6

Tập nghiệm của bất phương trình: $(\frac{3}{4})^{2 x - 1} \leq (\frac{4}{3})^{- 2 + x}$ là

A

$S = (- \infty; 1]$

B

$S = (- \infty; 1)$

C

$S = [1; + \infty)$

D

$S = (1; + \infty)$

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Dùng $\frac{4}{3} = (\frac{3}{4})^{- 1}$ và $x - 2 = - 2 + x$ .

(\frac{4}{3})^{x - 2} = (\frac{3}{4})^{- (x - 2)}

Bước 2: So sánh số mũ

Vì $\frac{3}{4} \in (0, 1)$ nên bất phương trình đổi chiều khi so sánh số mũ.

(\frac{3}{4})^{2 x - 1} \leq (\frac{3}{4})^{- (x - 2)} ⟺ 2 x - 1 \geq - (x - 2) ⟺ x \geq 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ : $S = [1; + \infty)$ . Các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt cho miền nghiệm bên trái, loại điểm $x = 1$ , và loại điểm $x = 1$ .

S = [1; + \infty)

Đáp án:

C

— vì

S = [1; + \infty)

.

Câu 7

Cho hình hộp $A B C D . A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} .$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A

$∣ A A_{1} + C_{1} D + C_{1} D_{1} ∣ = 0 .$

B

$∣ A B_{1} - A D_{1} ∣ = ∣ B D_{1} ∣.$

C

$∣ B A + B B_{1} + B C ∣ = ∣ B D_{1} ∣.$

D

$∣ A B_{1} + A D_{1} ∣ = ∣ A C_{1} ∣.$

Lời giải

Bước 1: Biểu diễn các vectơ

Đặt $A B = u$ , $A D = v$ , $A A_{1} = w$ .

B A = - u, B C = v, B B_{1} = w, B D_{1} = - u + v + w

Bước 2: Kiểm tra phương án C

Tổng ba vectơ ở vế trái trùng với vectơ $B D_{1}$ .

B A + B B_{1} + B C = - u + w + v = B D_{1} \Rightarrow B A + B B_{1} + B C = B D_{1}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $C$ . Các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt tổng vectơ không bằng $0$ , hiệu vectơ không trùng độ dài $B D_{1}$ , và tổng vectơ không trùng độ dài $A C_{1}$ .

A A_{1} + C_{1} D + C_{1} D_{1} = - 2 u \neq = 0; A B_{1} - A D_{1} = u - v; A B_{1} + A D_{1} = u + v + 2 w \neq = A C_{1}

Đáp án: Đáp án

C

— vì

B A + B B_{1} + B C = B D_{1}

.

Câu 8

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2024}$ là

A

$\int f (x) d x = \frac{1}{2025} . x^{2025} + C .$

B

$\int f (x) d x = x^{2025} + C .$

C

$\int f (x) d x = 2024. x^{2023} + C .$

D

$\int f (x) d x = \frac{1}{2023} . x^{2023} + C .$

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng công thức

Hàm số có dạng $x^{n}$ , nên áp dụng công thức nguyên hàm lũy thừa.

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C

Bước 2: Thay số mũ

Thay $n = 2024$ vào công thức.

\int x^{2024} d x = \frac{x ^{2025}}{2025} + C

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A. Các phương án B, C, D sai vì lần lượt thiếu hệ số $\frac{1}{2025}$ , nhầm sang đạo hàm của $x^{2024}$ , và sai bậc cùng hệ số.

Đáp án: A — Vì

\int x^{2024} d x = \frac{x ^{2025}}{2025} + C

.

Câu 9

Trong không gian $O x y z$ , mặt phẳng nào dưới đây nhận $n = (3; 1; - 7)$ là một vectơ pháp tuyến?

A

$3 x + y - 7 = 0$

B

$3 x + y - 7 z - 3 = 0$

C

$3 x + z + 7 = 0$

D

$3 x - y - 7 z + 1 = 0$

Lời giải

Bước 1: Xác định hệ số pháp tuyến

Với phương trình $a x + b y + cz + d = 0$ , ta lấy ba hệ số của $x, y, z$ .

n = (a; b; c)

Bước 2: Đối chiếu phương án

Các vectơ hệ số lần lượt là $A : (3; 1; 0)$ , $B : (3; 1; - 7)$ , $C : (3; 0; 1)$ , $D : (3; - 1; - 7)$ .

Chọn $B$ vì trùng với $(3; 1; - 7)$ ; $A, C, D$ sai lần lượt do hệ số thứ ba, hệ số thứ hai và dấu của hệ số thứ hai không khớp.

A C : (3; 1; 0), B : (3; 1; - 7), : (3; 0; 1), D : (3; - 1; - 7)

Đáp án:

B

— mặt phẳng

3 x + y - 7 z - 3 = 0

có vectơ pháp tuyến

(3; 1; - 7)

.

Câu 10

Với $a, b$ là các số thực dương tùy ý, gọi $x = lo g_{2} a, y = lo g_{2} b, P = lo g_{2} (a^{2} b^{3})$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A

$P = x^{2} . y^{3}$

B

$P = 6 x y$

C

$P = 2 x + 3 y$

D

$P = x^{2} + y^{3}$

Lời giải

Bước 1: Khai triển logarit

Tách tích và đưa số mũ ra ngoài logarit.

lo g_{2} (a^{2} b^{3}) = 2 lo g_{2} a + 3 lo g_{2} b

Bước 2: Thay dữ kiện

Thay $lo g_{2} a = x$ và $lo g_{2} b = y$ .

P = 2 x + 3 y

Bước 3: Đối chiếu phương án

$C$ đúng; $A, B, D$ sai vì lần lượt dùng $x^{2} y^{3}$ , $6 x y$ , $x^{2} + y^{3}$ thay cho quy tắc logarit.

Đáp án:

C

:

P = 2 x + 3 y

— áp dụng tính chất logarit của tích và lũy thừa.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Hải Phòng năm 2025 - Mã đề 0102

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Xác định hai mốc biên

Bước 2: Tính khoảng biến thiên

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Xác định mặt phẳng

Bước 2: Chọn đường thích hợp

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định bán kính

Bước 2: Lập công thức thể tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng tiệm cận ngang

Bước 2: Đọc đồ thị

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Lập công thức cho u6​

Bước 2: Thay số và tính d

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Bước 2: So sánh số mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Biểu diễn các vectơ

Bước 2: Kiểm tra phương án C

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng công thức

Bước 2: Thay số mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Xác định hệ số pháp tuyến

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Khai triển logarit

Bước 2: Thay dữ kiện

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Xác định mặt phẳng

Bước $2$ : Chọn đường thích hợp

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước 1: Lập công thức cho $u_{6}$

Bước 2: Thay số và tính $d$