Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Hải Phòng năm 2025 - Mã đề 0101 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Trong không gian toạ độ $O x y z$ , vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P) : 3 x - 5 y - 2 z + 1 = 0$ ?

A

$n_{1} = (- 3; - 5; 2)$

B

$n_{2} = (- 3; 5; 2)$

C

$n_{4} = (3; 5; 2)$

D

$n_{3} = (- 3; 5; - 2)$

Lời giải

Bước 1: Xác định các hệ số

Đối chiếu phương trình với dạng $a x + b y + cz + d = 0$ .

a = 3, b = - 5, c = - 2

Bước 2: Lập vectơ pháp tuyến

Lấy các hệ số của $x, y, z$ làm tọa độ vectơ pháp tuyến; vectơ đối cũng hợp lệ.

n = (a; b; c) = (3; - 5; - 2) \Rightarrow - n = (- 3; 5; 2)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $B$ vì $n_{2} = (- 3; 5; 2)$ là vectơ đối của $n$ . Các phương án $A, C, D$ lần lượt sai dấu tọa độ $y$ , $y$ và $z$ .

n_{2} = (- 3; 5; 2)

Đáp án: B —

n_{2} = (- 3; 5; 2)

là một vectơ pháp tuyến của

(P)

.

Câu 2

Phương trình $sin x = \frac{1}{2}$ có nghiệm là

A

$x x = \frac{1}{6} + k 2 π = \frac{5}{6} + k 2 π, k \in Z .$

B

$x x = \frac{π}{6} + k 2 π = \frac{5 π}{6} + k 2 π, k \in Z .$

C

$x x = \frac{1}{2} + k 2 π = π - \frac{1}{2} + k 2 π, k \in Z .$

D

$x x = \frac{π}{6} + k 2 π = - \frac{π}{6} + k 2 π, k \in Z .$

Lời giải

Bước 1: Xác định hai góc cơ sở

Với giá trị sin dương, hai góc thuộc góc phần tư $I$ và $I I$ .

sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}, π - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}

Bước 2: Viết nghiệm tổng quát

Hàm số sin có chu kỳ $2 π$ , nên cộng thêm $2 k π$ vào mỗi nghiệm cơ sở.

x = \frac{π}{6} + 2 k π hoặc x = \frac{5 π}{6} + 2 k π, k \in Z

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B. A và C sai giá trị góc; D bỏ sót nghiệm $\frac{5 π}{6}$ .

Đáp án: B — nghiệm là

x = \frac{π}{6} + 2 k π

hoặc

x = \frac{5 π}{6} + 2 k π

, với

k \in Z

.

Câu 3

Cho bảng biến thiên của hàm số $y = f (x)$ . Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A

$(1; 2)$

B

$(0; 1)$

C

$(- 2; 0)$

D

$(- 1; 1)$

Lời giải

Bước 1: Xác định khoảng đồng biến

Từ bảng biến thiên, các khoảng có $f^{'} (x) > 0$ là $(- 2; - 1)$ và $(1; 2)$ .

f^{'} (x) > 0 tr \overset{e}{ˆ} n (- 2; - 1) v \overset{a}{ˋ} (1; 2)

Bước 2: Đối chiếu các khoảng

Trong các phương án, chỉ $(1; 2)$ trùng với một khoảng có $f^{'} (x) > 0$ trên toàn khoảng.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $A . (1; 2)$ . Các phương án $B, C, D$ sai vì lần lượt có $f^{'} (x) < 0$ , chứa cả đoạn $f^{'} (x) > 0$ và $f^{'} (x) < 0$ , hoặc có $f^{'} (x) < 0$ trên toàn khoảng.

Đáp án:

A . (1; 2)

— vì

f^{'} (x) > 0

trên toàn khoảng này.

Câu 4

Cho bảng biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về việc theo dõi cân nặng của 45 em học sinh lớp 1 tại trường Tiểu học ở địa phương cho kết quả. Khoảng biến thiên $R$ cho mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng

A

$5$

B

$20$

C

$45$

D

$21$

Lời giải

Bước 1: Xác định hai đầu mút

Cận dưới lớp đầu là $x_{m i n} = 16$ , cận trên lớp cuối là $x_{m a x} = 36$ .

x_{m i n} = 16, x_{m a x} = 36

Bước 2: Tính khoảng biến thiên

Áp dụng công thức khoảng biến thiên.

R = x_{m a x} - x_{m i n} = 36 - 16 = 20

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ lần lượt là độ rộng lớp $5$ , số quan sát $45$ và giá trị không đúng $21$ .

Đáp án:

B

—

R = 36 - 16 = 20

.

Câu 5

Tổng của tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình $lo g_{2} (3 x - 2) > lo g_{2} (5 - x)$ bằng

A

$3$

B

$7$

C

$9$

D

$0$

Lời giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Các biểu thức trong lôgarit phải dương.

3 x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{2}{3}, 5 - x > 0 \Leftrightarrow x < 5

Bước 2: Giải bất phương trình

Vì cơ số $2 > 1$ , hàm lôgarit đồng biến nên giữ nguyên chiều bất phương trình.

3 x - 2 > 5 - x \Leftrightarrow 4 x > 7 \Leftrightarrow x > \frac{7}{4}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Các nghiệm nguyên là $2, 3, 4$ , nên tổng bằng $9$ . Chọn C; A, B, D sai vì lần lượt là số nghiệm, kết quả cộng sai và giá trị không phù hợp.

2 + 3 + 4 = 9

Đáp án: C — Các nghiệm nguyên

2, 3, 4

có tổng bằng

9

.

Câu 6

Trong không gian $O x y z$ , cho đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $M (1; 2; 3)$ và có một vectơ chỉ phương $u = (- 1; 4; 3)$ . Phương trình tham số của $Δ$ là

A

$⎩ ⎨ ⎧ x = 1 - t y = 2 - 4 t, t \in R z = 3 + 3 t$

B

$⎩ ⎨ ⎧ x = - 1 + t y = 4 + 2 t, t \in R z = 3 + 3 t$

C

$⎩ ⎨ ⎧ x = 1 - t y = 2 - 4 t, t \in R z = 3 - 3 t$

D

$⎩ ⎨ ⎧ x = 1 - t y = 2 + 4 t, t \in R z = 3 + 3 t$

Lời giải

Bước $1$ : Thay dữ kiện vào công thức

Với $M (1; 2; 3)$ và $u = (- 1; 4; 3)$ , thay trực tiếp vào công thức.

⎩ ⎨ ⎧ x = 1 - t y = 2 + 4 t z = 3 + 3 t, t \in R

Bước $2$ : Đối chiếu phương án

Chọn $D$ . Các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai lần lượt do đổi dấu thành phần $y$ , sai điểm đi qua và đổi dấu các thành phần $y, z$ .

Đáp án:

D

— Phương trình có điểm gốc

M (1; 2; 3)

và vectơ chỉ phương

(- 1; 4; 3)

.

Câu 7

Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , góc giữa hai đường thẳng $A^{'} B$ và $B^{'} C$ bằng

A

$4 5^{\circ}$

B

$6 0^{\circ}$

C

$3 0^{\circ}$

D

$9 0^{\circ}$

Lời giải

Bước 1: Lập vectơ chỉ phương

Đặt $A (0, 0, 0)$ , $B (a, 0, 0)$ , $C (a, a, 0)$ , $A^{'} (0, 0, a)$ , $B^{'} (a, 0, a)$ .

A^{'} B = (a, 0, - a), B^{'} C = (0, a, - a)

Bước 2: Tính tích vô hướng

Hai vectơ có cùng độ dài, thuận tiện áp dụng trực tiếp công thức góc.

A^{'} B \cdot B^{'} C = a^{2}, ∣ A^{'} B ∣ = ∣ B^{'} C ∣ = a 2

Bước 3: Suy ra số đo góc

Gọi $θ$ là góc giữa hai đường thẳng.

cos θ = \frac{a ^{2}}{a 2 \cdot a 2} = \frac{1}{2} \Rightarrow θ = 6 0^{\circ}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn $B . 6 0^{\circ}$ ; $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt tương ứng với các giá trị cosin không bằng $\frac{1}{2}$ .

Đáp án: B.

6 0^{\circ}

— vì

cos θ = \frac{1}{2}

.

Câu 8

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{9} = 5 u_{2}$ và $u_{13} = 2 u_{6} + 5$ . Số hạng đầu $u_{1}$ và công sai $d$ của cấp số cộng đó là

A

$u_{1} = 3, d = 4$

B

$u_{1} = 4, d = 3$

C

$u_{1} = - 4, d = 3$

D

$u_{1} = - 3, d = 4$

Lời giải

Bước 1: Lập hệ phương trình

Dùng $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ và thay các chỉ số vào hai điều kiện.

u_{1} + 8 d = 5 (u_{1} + d) ⟹ 3 d = 4 u_{1}; u_{1} + 12 d = 2 (u_{1} + 5 d) + 5 ⟹ 2 d = u_{1} + 5

Bước 2: Giải hệ

Từ $3 d = 4 u_{1}$ , suy ra $u_{1} = \frac{3 d}{4}$ ; thay vào phương trình còn lại.

2 d = \frac{3 d}{4} + 5 ⟹ 8 d = 3 d + 20 ⟹ d = 4 ⟹ u_{1} = 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án A đúng với $u_{1} = 3$ , $d = 4$ ; các phương án B, C, D đều không thỏa hệ điều kiện đã lập.

Đáp án: A.

u_{1} = 3

,

d = 4

— nghiệm của hệ hai điều kiện.

Câu 9

Cho các biến cố $A$ và $B$ thỏa mãn $P (A) > 0, P (B) > 0$ . Khi đó $P (A ∣ B)$ bằng biểu thức nào dưới đây?

A

$\frac{P ( B )}{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}$

B

$\frac{P ( A )}{P ( B ) \cdot P ( B ∣ A )}$

C

$\frac{P ( B ) \cdot P ( B ∣ A )}{P ( A )}$

D

$\frac{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}{P ( B )}$

Lời giải

Bước 1: Dùng định nghĩa

Theo định nghĩa xác suất có điều kiện, ta biểu diễn $P (A ∣ B)$ qua $P (A \cap B)$ và $P (B)$ .

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

Bước 2: Dùng quy tắc nhân

Biểu diễn xác suất giao theo $P (A)$ và $P (B ∣ A)$ .

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Thay vào công thức định nghĩa, được $P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}{P ( B )}$ , khớp phương án D.

A, B, C sai vì lần lượt đảo phân thức, đặt sai mẫu và đổi vị trí tử–mẫu.

P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}{P ( B )}

Đáp án: Đáp án D:

\frac{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}{P ( B )}

— áp dụng định nghĩa và quy tắc nhân xác suất.

Câu 10

Nghiệm của phương trình $(\frac{1}{3})^{x + 1} = 9^{2 x}$ là

A

$x = 3$

B

$x = 1$

C

$x = - \frac{1}{5}$

D

$x = - 1$

Lời giải

Bước 1: Đổi về cơ số chung

Chọn cơ số $3$ vì $\frac{1}{3} = 3^{- 1}$ và $9 = 3^{2}$ .

\frac{1}{3} = 3^{- 1}, 9 = 3^{2}

Bước 2: So sánh số mũ

Hai vế cùng cơ số $3$ , với $3 > 0$ và $3 \neq = 1$ , nên các số mũ bằng nhau.

(3^{- 1})^{x + 1} = (3^{2})^{2 x} ⟺ 3^{- (x + 1)} = 3^{4 x} ⟺ - (x + 1) = 4 x ⟺ x = - \frac{1}{5}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án C: $x = - \frac{1}{5}$ ; A, B, D sai vì giá trị tương ứng không thỏa mãn phương trình.

Đáp án: C — vì nghiệm của phương trình là

x = - \frac{1}{5}

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Hải Phòng năm 2025 - Mã đề 0101

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Xác định các hệ số

Bước 2: Lập vectơ pháp tuyến

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Xác định hai góc cơ sở

Bước 2: Viết nghiệm tổng quát

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định khoảng đồng biến

Bước 2: Đối chiếu các khoảng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Xác định hai đầu mút

Bước 2: Tính khoảng biến thiên

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 2: Giải bất phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Thay dữ kiện vào công thức

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Lập vectơ chỉ phương

Bước 2: Tính tích vô hướng

Bước 3: Suy ra số đo góc

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Lập hệ phương trình

Bước 2: Giải hệ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Dùng định nghĩa

Bước 2: Dùng quy tắc nhân

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Đổi về cơ số chung

Bước 2: So sánh số mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Thay dữ kiện vào công thức

Bước $2$ : Đối chiếu phương án