Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Hải Dương năm 2025 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ cho ba điểm $A (2; 1; 3), B (1; 0; 1), C (- 1; 1; 2)$ . Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua $A$ và song song với đường thẳng $B C$ ?

A

$⎩ ⎨ ⎧ x = 2 - 2 t y = 1 + t z = 3 + t$ .

B

$\frac{x + 2}{- 2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 3}{1}$ .

C

$\frac{x - 2}{- 2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 3}{1}$ .

D

$\frac{x + 2}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{3}$ .

Lời giải

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương

Dùng vectơ $B C$ làm vectơ chỉ phương cho đường thẳng cần tìm.

B C = C - B = (- 1 - 1; 1 - 0; 2 - 1) = (- 2; 1; 1)

Bước 2: Lập phương trình chính tắc

Thay điểm đi qua $A (2; 1; 3)$ và vectơ chỉ phương $(- 2; 1; 1)$ vào công thức.

\frac{x - 2}{- 2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 3}{1}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ ; $A$ là phương trình tham số, $B$ không đi qua $A$ , còn $D$ có vectơ chỉ phương không cùng phương với $B C$ .

Đáp án: Đáp án

C

— đường thẳng đi qua

A

và có vectơ chỉ phương

B C = (- 2; 1; 1)

.

Câu 2

Tìm hiểu thời gian hoàn thành một bài tập (đơn vị: phút) của một nhóm học sinh thu được kết quả sau. Thời gian trung bình (đơn vị: phút) để hoàn thành bài tập của các em học sinh là

Hình minh họa

A

10,4.

B

7.

C

11,3.

D

12,5.

Lời giải

Bước 1: Tìm giá trị đại diện

Trung điểm các khoảng lần lượt là $2, 6, 10, 14, 18$ .

x_{i} = \frac{a _{i} + b _{i}}{2}

Bước 2: Tính số trung bình

Dùng các trung điểm và tần số tương ứng để tính trung bình có trọng số.

\overset{x}{ˉ} = \frac{2 \cdot 2 + 6 \cdot 4 + 10 \cdot 7 + 14 \cdot 4 + 18 \cdot 3}{2 + 4 + 7 + 4 + 3} = \frac{208}{20} = 10, 4

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì không cho kết quả trung bình có trọng số đúng.

Đáp án: A.

10, 4

— là thời gian trung bình tính từ trung điểm các lớp và tần số tương ứng.

Câu 3

Cho hình lập phương $A B C D . A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ (như hình vẽ). Gọi $φ$ là góc giữa đường thẳng $A C_{1}$ và mặt phẳng $(A_{1} B_{1} C_{1} D_{1})$ . Giá trị $tan φ$ bằng

Hình minh họa

A

$2$ .

B

2.

C

$- 2$ .

D

$\frac{2}{2}$ .

Lời giải

Bước 1: Xác định hai thành phần

Gọi cạnh hình lập phương là $a$

Thành phần vuông góc với mặt phẳng là $A A_{1}$ , còn hình chiếu của $A C_{1}$ là $A_{1} C_{1}$ .

A A_{1} = a, A_{1} C_{1} = a 2

Bước 2: Tính tang góc

Áp dụng công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

tan φ = \frac{A A _{1}}{A _{1} C _{1}} = \frac{a}{a 2} = \frac{2}{2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ : $\frac{2}{2}$ ; các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt cho $2$ , $2$ và $- 2$ .

Đáp án: Phương án

D

:

\frac{2}{2}

— vì

tan φ = \frac{A A _{1}}{A _{1} C _{1}}

.

Câu 4

Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ (như hình vẽ). Khi đó, $B A^{'} + B C$ bằng

Hình minh họa

A

$B D$ .

B

$B D^{'}$ .

C

$B C^{'}$ .

D

$B B^{'}$ .

Lời giải

Bước 1: Chọn vectơ cơ sở

Chọn $A$ làm gốc, đặt $A B = b$ , $A D = d$ , $A A^{'} = u$ .

B A^{'} = u - b, B C = d

Bước 2: Tính tổng vectơ

Cộng hai biểu diễn vừa có và nhận dạng vectơ đường chéo không gian.

B A^{'} + B C = u - b + d = u + d - b = B D^{'}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ lần lượt thiếu thành phần $u$ , thiếu $- b$ , và thiếu $d - b$ .

B A^{'} + B C = B D^{'}

Đáp án:

B . B D^{'}

— vì tổng bằng

u + d - b

, đúng với

B D^{'}

.

Câu 5

Nghiệm của phương trình $3^{3 x - 2} = 9^{x}$ là

A

$x = 1$ .

B

$x = 2$ .

C

$x = 4$ .

D

$x = 3$ .

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Đổi $9$ về lũy thừa cơ số $3$ .

9^{x} = (3^{2})^{x} = 3^{2 x}

Bước 2: So sánh số mũ

Hai vế cùng cơ số $3$ , nên số mũ bằng nhau.

3 x - 2 = 2 x \Rightarrow x = 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho $x = 1$ , $x = 4$ , $x = 3$ , không thỏa phương trình.

Đáp án:

B

— nghiệm của phương trình là

x = 2

.

Câu 6

Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = e^{x} - x, y = 0, x = 1, x = 2$ xung quanh trục $O x$ là

A

$e^{2} - e - \frac{5}{2}$ .

B

$e^{2} - e - \frac{3}{2}$ .

C

$π (e^{2} - e - \frac{3}{2})$ .

D

$π (e^{2} - e - \frac{5}{2})$ .

Lời giải

Bước 1: Lập công thức thể tích

Bán kính mặt đĩa tại $x$ là $R (x) = e^{x} - x$ .

V = π \int_{1}^{2} R^{2} (x) d x = π \int_{1}^{2} (e^{x} - x) d x

Bước 2: Tính tích phân

Dùng $\int (e^{x} - x) d x = e^{x} - \frac{x ^{2}}{2}$ .

\int_{1}^{2} (e^{x} - x) d x = [e^{x} - \frac{x ^{2}}{2}]_{1}^{2} = e^{2} - e - \frac{3}{2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Suy ra $V = π (e^{2} - e - \frac{3}{2})$ , chọn phương án $C$ ; $A$ , $B$ thiếu $π$ hoặc sai hằng số, còn $D$ sai hằng số.

V = π (e^{2} - e - \frac{3}{2})

Đáp án: Đáp án

C

—

V = π (e^{2} - e - \frac{3}{2})

theo công thức thể tích đĩa.

Câu 7

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} = 3$ và công sai $d = 4$ . Giá trị của $u_{2}$ bằng

A

$- 1$ .

B

7.

C

1.

D

12.

Lời giải

Bước 1: Tính số hạng thứ hai

Áp dụng công thức với $n = 2$ , $u_{1} = 3$ , $d = 4$ .

u_{2} = u_{1} + (2 - 1) d = 3 + (2 - 1) \cdot 4 = 7

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ vì $u_{2} = 7$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai do tính nhầm dấu hoặc phép tính.

Đáp án:

B

— Vì

u_{2} = 7

.

Câu 8

Số nghiệm nguyên của bất phương trình $lo g_{2} (x - 1) \leq 1$ là

A

1.

B

2.

C

3.

D

4.

Lời giải

Bước $1$ : Tìm điều kiện xác định

Đối số của logarit phải dương.

x - 1 > 0 ⟺ x > 1

Bước $2$ : Giải bất phương trình

Vì cơ số $2 > 1$ , bất đẳng thức giữ chiều.

lo g_{2} (x - 1) \leq 1 ⟺ x - 1 \leq 2^{1} = 2 ⟺ x \leq 3

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Kết hợp điều kiện và liệt kê các giá trị nguyên.

Chọn phương án $B$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì số nghiệm khác $2$ .

1 < x \leq 3 ⟹ x \in {2, 3} ⟹ N = 2

Đáp án:

B

— Có đúng

2

nghiệm nguyên là

x = 2

và

x = 3

.

Câu 9

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , cho các điểm $A (2; 1; - 1), B (2; - 2; - 1)$ . Tọa độ của điểm $M$ thỏa mãn hệ thức $M A + 2 M B = 0$ là

A

$(- 2; - 1; 2)$ .

B

$(1; - 3; - 1)$ .

C

$(1; 3; 1)$ .

D

$(2; - 1; - 1)$ .

Lời giải

Bước 1: Lập các vectơ

Tính các vectơ xuất phát từ $M$ đến $A$ và $B$ .

M A = (2 - x; 1 - y; - 1 - z), M B = (2 - x; - 2 - y; - 1 - z)

Bước 2: Giải theo từng tọa độ

Thay hai vectơ vào hệ thức; cho từng tọa độ bằng $0$ .

⎩ ⎨ ⎧ 3 (2 - x) = 0 - 3 - 3 y = 0 - 3 - 3 z = 0 ⟹ (x; y; z) = (2; - 1; - 1)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án D: $M (2; - 1; - 1)$ . Các phương án A, B, C sai vì không làm cho $M A + 2 M B = 0$ .

Đáp án: D.

M (2; - 1; - 1)

— tọa độ này thỏa mãn

M A + 2 M B = 0

.

Câu 10

Phương trình $sin x = 1$ có một nghiệm là

A

$x = \frac{π}{2}$ .

B

$x = - \frac{π}{2}$ .

C

$x = π$ .

D

$x = \frac{π}{3}$ .

Lời giải

Bước 1: Xác định nghiệm tổng quát

Áp dụng công thức phương trình $sin x = 1$ .

x = \frac{π}{2} + 2 k π, k \in Z

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn $k = 0$ được $x = \frac{π}{2}$ , nên A đúng; B, C, D sai vì lần lượt cho giá trị sin bằng $- 1$ , $0$ và $\frac{3}{2}$ .

sin \frac{π}{2} = 1

Đáp án: A.

x = \frac{π}{2}

— vì

sin \frac{π}{2} = 1

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Hải Dương năm 2025

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương

Bước 2: Lập phương trình chính tắc

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tìm giá trị đại diện

Bước 2: Tính số trung bình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định hai thành phần

Bước 2: Tính tang góc

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Chọn vectơ cơ sở

Bước 2: Tính tổng vectơ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Bước 2: So sánh số mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Lập công thức thể tích

Bước 2: Tính tích phân

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tính số hạng thứ hai

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 2: Giải bất phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Lập các vectơ

Bước 2: Giải theo từng tọa độ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xác định nghiệm tổng quát

Bước 2: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Tìm điều kiện xác định

Bước $2$ : Giải bất phương trình

Bước $3$ : Đối chiếu phương án