Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Hà Tĩnh năm 2025 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ ?

A

$y = - x^{3} - 2 x + 1$

B

$y = \frac{x - 2}{x + 1}$

C

$y = 3 x^{3} + 3 x - 2$

D

$y = 2 x^{3} - 5 x + 1$

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Tính đạo hàm từng hàm số bằng quy tắc đa thức và quy tắc thương.

y_{A}^{'} y_{B}^{'} y_{C}^{'} y_{D}^{'} = - 3 x^{2} - 2, = \frac{3}{( x + 1 ) ^{2}}, = 9 x^{2} + 3, = 6 x^{2} - 5.

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Các dấu cần xét trên miền thực là:

- 3 x^{2} - 2 < 0 (\forall x \in R), \frac{3}{( x + 1 ) ^{2}} > 0 (x \neq = - 1), 9 x^{2} + 3 > 0 (\forall x \in R), 6 x^{2} - 5 < 0 khi ∣ x ∣ < \frac{5}{6} .

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $C$ vì $y_{C}^{'} = 9 x^{2} + 3 > 0$ với mọi $x \in R$ ; $A$ sai vì đạo hàm âm, $B$ sai vì không xác định tại $x = - 1$ , còn $D$ sai vì đạo hàm đổi dấu.

Đáp án:

C

— Hàm số

y = 3 x^{3} + 3 x - 2

có đạo hàm

9 x^{2} + 3 > 0

với mọi

x \in R

.

Câu 2

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x) = (x^{2} - 4) (x + 2) (x - 3)$ và liên tục trên $R$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A

$5$

B

$2$

C

$3$

D

$1$

Lời giải

📃 Thông tin đề bài cho

Đạo hàm: $f^{'} (x) = (x^{2} - 4) (x + 2) (x - 3)$
Hàm số: liên tục trên $R$

❓ Hiểu câu hỏi

Yêu cầu: Xác định số điểm cực trị của hàm số.
Kiến thức cần dùng: Nghiệm của đạo hàm và quy tắc đổi dấu.

📖 Kiến thức trọng tâm

Điểm cực trị xuất hiện khi $f^{'} (x)$ đổi dấu qua nghiệm.
Nghiệm bội chẵn không đổi dấu; nghiệm bội lẻ đổi dấu.

💡 Mẹo ghi nhớ

Đừng đếm mọi nghiệm của $f^{'} (x) = 0$ ; phải kiểm tra sự đổi dấu.

Bước 1: Tìm nghiệm của đạo hàm

Phân tích $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ để xác định nghiệm và bội.

f^{'} (x) = (x - 2) (x + 2)^{2} (x - 3), f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = - 2, 2, 3

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Dấu của $f^{'} (x)$ trên các khoảng được sắp theo các mốc $- 2, 2, 3$ .

Qua $x = - 2$ dấu không đổi; qua $x = 2$ và $x = 3$ dấu đổi.

x f^{'} (x) (- \infty, - 2) + (- 2, 2) + (2, 3) - (3, + \infty) +

Bước 3: Đối chiếu phương án

Có cực trị tại $x = 2$ và $x = 3$ , nên số điểm cực trị là $2$ . Chọn B.

N = 2

Đáp án: B — Hàm số có $2$ điểm cực trị.

Câu 3

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như hình. Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[- 2; 4]$ bằng

Hình minh họa

A

$- 1$

B

$10$

C

$1$

D

$8$

Lời giải

Bước 1: Xác định các điểm cần xét

Các điểm cần xét gồm hai đầu mút và các điểm cực trị nằm trong đoạn.

x \in {- 2, - 1, 1, 3, 4}

Bước 2: So sánh các giá trị

Dựa vào tính đơn điệu trên bảng biến thiên, giá trị tại hai đầu mút được so sánh với các cực trị tương ứng.

f (- 2) < f (- 1) = 10, f (1) = - 4, f (4) < f (3) = 8

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ ; $A$ sai vì $- 1$ là hoành độ, $C$ sai vì $f (1) = - 4$ , còn $D$ sai vì $f (3) = 8 < 10$ .

x \in [- 2, 4] max f (x) = 10

Đáp án:

B

— Giá trị lớn nhất của hàm số là

10

tại

x = - 1

.

Câu 4

Cho hàm số đã thức bậc bốn $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ. Phương trình $f (x) - 1 = 0$ có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Hình minh họa

A

$3$

B

$1$

C

$2$

D

$4$

Lời giải

Bước 1: Đưa về giao điểm

Phương trình cần giải tương đương với việc tìm giao điểm của đồ thị với đường thẳng $y = 1$ .

f (x) - 1 = 0 ⟺ f (x) = 1

Bước 2: Đếm nghiệm trên từng khoảng

Trên $(- \infty, x_{1})$ và $(x_{1}, x_{2})$ , do giá trị hàm đổi phía với $1$ , mỗi khoảng có đúng một nghiệm.

Trên $(x_{2}, 1]$ , nghiệm duy nhất là $x = 1$ ; trên $(1, + \infty)$ không có nghiệm mới.

(- \infty, x_{1}) (x_{1}, x_{2}) (x_{2}, 1] (1, + \infty) : 1, : 1, : 1, : 0.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tổng số nghiệm là $3$ , chọn phương án $A$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt bỏ sót hai nghiệm, bỏ sót một nghiệm và đếm thừa một nghiệm.

1 + 1 + 1 = 3

Đáp án:

A . 3

— Đồ thị cắt đường thẳng

y = 1

tại đúng

3

điểm phân biệt.

Câu 5

Đồ thị hàm số nào sau đây có hình dạng như hình vẽ?

Hình minh họa

A

$y = x^{3} + 3 x$

B

$y = x^{3} - 3 x$

C

$y = x^{3} - 3 x^{2}$

D

$y = x^{3} + 3 x^{2}$

Lời giải

📃 Thông tin đề bài cho

Biến thiên: đồng biến trên $(- \infty; 0)$ , nghịch biến trên $(0; 2)$ , đồng biến trên $(2; + \infty)$ .
Cực trị: cực đại $(0; 0)$ , cực tiểu $(2; - 4)$ .
Điểm thuộc đồ thị: $(1; - 2)$ .

❓ Hiểu câu hỏi

Yêu cầu: Chọn hàm số có đồ thị phù hợp.
Kiến thức cần dùng: Đạo hàm và dấu của đạo hàm.

📖 Kiến thức trọng tâm

$f^{'} (x) > 0$ : hàm số đồng biến; $f^{'} (x) < 0$ : hàm số nghịch biến.
Hoành độ cực trị thường là nghiệm của $f^{'} (x) = 0$ .

💡 Mẹo ghi nhớ

Nhìn hoành độ hai cực trị trước: chúng phải trùng nghiệm của đạo hàm.

Bước 1: Xác định nghiệm đạo hàm

Đồ thị có cực trị tại hoành độ $0$ và $2$ , nên đạo hàm bằng không tại hai giá trị này.

f^{'} (0) = f^{'} (2) = 0

Bước 2: Kiểm tra phương án C

Với $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ , đạo hàm có dấu $+, -, +$ trên ba khoảng tương ứng, đúng với đồ thị.

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn C: $y = x^{3} - 3 x^{2}$ ; A sai vì $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 3$ không có nghiệm thực, B có nghiệm đạo hàm $x = \pm 1$ , D có nghiệm $x = 0, - 2$ .

f_{A}^{'} (x) = 3 x^{2} + 3; f_{B}^{'} (x) = 3 x^{2} - 3; f_{D}^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x

Đáp án: C. $y = x^{3} - 3 x^{2}$ — đạo hàm $3 x (x - 2)$ có nghiệm $0, 2$ và đúng dấu biến thiên.

Câu 6

Tập nghiệm của bất phương trình $(\frac{1}{2})^{x} < \frac{1}{8}$ là

A

$(3; + \infty)$

B

$(- \infty; 3)$

C

$[3; + \infty)$

D

$(- \infty; 3]$

Lời giải

Bước $1$ : Đưa về cùng cơ số

Viết vế phải dưới dạng lũy thừa cơ số $\frac{1}{2}$ .

\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}

Bước $2$ : Đổi chiều bất đẳng thức

Do $0 < \frac{1}{2} < 1$ , khi so sánh số mũ phải đổi chiều.

(\frac{1}{2})^{x} < (\frac{1}{2})^{3} \Leftrightarrow x > 3

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Chọn $A$ : $(3; + \infty)$ ; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt đảo chiều, lấy cả $x = 3$ , và vừa đảo chiều vừa lấy cả $x = 3$ .

Đáp án:

A

:

(3; + \infty)

— vì bất phương trình tương đương

x > 3

.

Câu 7

Trong không gian $O x y z$ , cho $a = 2 i - 3 j + k$ . Toạ độ của $a$ là

A

$(- 2; - 3; 1)$

B

$(2; - 3; 1)$

C

$(2; 3; 1)$

D

$(2; 1; - 3)$

Lời giải

Bước 1: Đưa về dạng tọa độ

Đối chiếu biểu thức đã cho với dạng $a = x i + y j + z k$ .

a = 2 i + (- 3) j + 1 k

Bước 2: Xác định các tọa độ

Các hệ số tương ứng là $x = 2$ , $y = - 3$ , $z = 1$ .

x = 2, y = - 3, z = 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án B: $a = (2; - 3; 1)$ . Các phương án A, C, D sai lần lượt do sai dấu thành phần thứ nhất, sai dấu thành phần thứ hai và sai thứ tự các thành phần.

a = (2; - 3; 1)

Đáp án: B.

(2; - 3; 1)

— các tọa độ là các hệ số của

i, j, k

.

Câu 8

Trong không gian $O x y z$ , cho tam giác $A B C$ với $A (1; 3; 4)$ , $B (2; - 1; 0)$ , $C (3; 1; 2)$ . Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $A B C$ là

A

$G (3; \frac{2}{3}; 3)$

B

$G (2; - 1; 2)$

C

$G (2; 1; 2)$

D

$G (6; 3; 6)$

Lời giải

Bước 1: Viết công thức

Áp dụng công thức trọng tâm cho tam giác $A B C$ .

G (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}; \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3}; \frac{z _{A} + z _{B} + z _{C}}{3})

Bước 2: Tính tọa độ

Thay tọa độ ba đỉnh vào công thức.

G (\frac{1 + 2 + 3}{3}; \frac{3 + ( - 1 ) + 1}{3}; \frac{4 + 0 + 2}{3}) = G (2; 1; 2)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ . Các phương án $A$ , $B$ , $D$ lần lượt sai do tính sai tọa độ, nhầm tung độ và quên chia tổng tọa độ cho $3$ .

Đáp án:

C

— Trọng tâm là

G (2; 1; 2)

.

Câu 9

Trong không gian $O x y z$ , cho $a = (1; - 2; 2)$ , $b = (- 1; 2; 1)$ . Giá trị của tích vô hướng $a \cdot b$ bằng

A

$3$

B

$- 3$

C

$2$

D

$- 2$

Lời giải

Bước 1: Viết công thức

Áp dụng công thức tích vô hướng cho ba tọa độ tương ứng.

a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}

Bước 2: Thay tọa độ và tính

Thay các tọa độ đã cho vào công thức.

a \cdot b = 1 \cdot (- 1) + (- 2) \cdot 2 + 2 \cdot 1 = - 1 - 4 + 2 = - 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì không bằng kết quả $- 3$ .

Đáp án:

B

— vì

a \cdot b = - 3

.

Câu 10

Có hình chóp $S . A B C D$ có ABCD là hình vuông cạnh $a$ , tam giác $S A D$ đều. Góc giữa hai đường thẳng $B C$ và $S A$ bằng

A

$6 0^{\circ}$

B

$3 0^{\circ}$

C

$9 0^{\circ}$

D

$4 5^{\circ}$

Lời giải

📃 Thông tin đề bài cho

Đáy: hình vuông $A B C D$ , cạnh $a$
Tam giác: $S A D$ đều

❓ Hiểu câu hỏi

Yêu cầu: Tính góc giữa $B C$ và $S A$
Kiến thức cần dùng: Quan hệ song song và tam giác đều

📖 Kiến thức trọng tâm

Trong hình vuông $A B C D$ , có $B C ∥ A D$ .
Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa một đường và đường song song với đường kia.
Mỗi góc của tam giác đều bằng $6 0^{\circ}$ .

💡 Mẹo ghi nhớ

Thấy $B C ∥ A D$ thì đổi góc giữa $B C$ và $S A$ thành góc trong tam giác $S A D$ .

Bước 1: Dùng quan hệ song song

Vì $A B C D$ là hình vuông nên $B C ∥ A D$ .

B C ∥ A D

Bước 2: Tính góc cần tìm

Thay $B C$ bằng đường thẳng song song $A D$ , rồi dùng tính chất tam giác $S A D$ đều.

∠ (B C, S A) = ∠ (A D, S A) = ∠ S A D = 6 0^{\circ}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho $3 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ , trái với kết quả trên.

Đáp án: $A$ — Vì góc giữa $B C$ và $S A$ bằng $∠ S A D = 6 0^{\circ}$ .

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Hà Tĩnh năm 2025

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

📃 Thông tin đề bài cho

❓ Hiểu câu hỏi

📖 Kiến thức trọng tâm

💡 Mẹo ghi nhớ

Bước 1: Tìm nghiệm của đạo hàm

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định các điểm cần xét

Bước 2: So sánh các giá trị

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Đưa về giao điểm

Bước 2: Đếm nghiệm trên từng khoảng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

📃 Thông tin đề bài cho

❓ Hiểu câu hỏi

📖 Kiến thức trọng tâm

💡 Mẹo ghi nhớ

Bước 1: Xác định nghiệm đạo hàm

Bước 2: Kiểm tra phương án C

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Bước 2: Đổi chiều bất đẳng thức

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Đưa về dạng tọa độ

Bước 2: Xác định các tọa độ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Viết công thức

Bước 2: Tính tọa độ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Viết công thức

Bước 2: Thay tọa độ và tính

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

📃 Thông tin đề bài cho

❓ Hiểu câu hỏi

📖 Kiến thức trọng tâm

💡 Mẹo ghi nhớ

Bước 1: Dùng quan hệ song song

Bước 2: Tính góc cần tìm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Đưa về cùng cơ số

Bước $2$ : Đổi chiều bất đẳng thức

Bước $3$ : Đối chiếu phương án