Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Hà Nam năm 2025 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Trong không gian $O x y z$ , tâm của mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 3 x - y - 2 z - 2 = 0$ có toạ độ là:

A

$(1; \frac{1}{2}; \frac{3}{2})$

B

$(3; 1; 2)$

C

$(\frac{3}{2}; \frac{1}{2}; 1)$

D

$(- \frac{3}{2}; - \frac{1}{2}; - 1)$

Lời giải

Bước 1: Xác định hệ số

Đối chiếu phương trình với dạng tổng quát, ta có các hệ số $D$ , $E$ , $F$ .

D = - 3, E = - 1, F = - 2

Bước 2: Tính tọa độ tâm

Áp dụng công thức tọa độ tâm mặt cầu.

I (- \frac{D}{2}; - \frac{E}{2}; - \frac{F}{2}) = I (- \frac{- 3}{2}; - \frac{- 1}{2}; - \frac{- 2}{2}) = I (\frac{3}{2}; \frac{1}{2}; 1)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án C đúng; A sai do nhầm tọa độ $x, z$ , B do lấy nguyên hệ số, D do đổi dấu cả ba tọa độ.

Đáp án: C.

(\frac{3}{2}; \frac{1}{2}; 1)

— tâm được xác định bằng cách đổi dấu và chia đôi các hệ số bậc nhất.

Câu 2

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên tập $R$ và có bảng biến thiên như sau. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A

$(3; + \infty)$

B

$(- \infty; - 1)$

C

$(1; 3)$

D

$(0; + \infty)$

Lời giải

Bước 1: Đọc dấu đạo hàm

Từ bảng biến thiên, tìm các khoảng có $f^{'} (x) > 0$ .

f^{'} (x) > 0

Bước 2: Xác định khoảng đồng biến

Các khoảng thỏa mãn điều kiện là $(- 1; 1)$ và $(3; + \infty)$ .

(- 1; 1), (3; + \infty)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A: $(3; + \infty)$ ; B, C sai vì $f^{'} (x) < 0$ , còn D chứa cả khoảng nghịch biến.

Đáp án: A.

(3; + \infty)

— vì

f^{'} (x) > 0

trên khoảng này.

Câu 3

Nếu hai biến cố $A, B$ thoả mãn $P (A) = 0, 8; P (B) = 0, 5; P (A ∣ B) = 0, 4$ thì $P (B ∣ A)$ bằng

A

$0, 6$

B

$0, 25$

C

$0, 35$

D

$0, 7$

Lời giải

Bước 1: Tìm xác suất giao

Từ công thức $P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ , suy ra $P (A \cap B) = P (A ∣ B) P (B)$ .

P (A \cap B) = P (A ∣ B) P (B) = 0, 4 \cdot 0, 5 = 0, 2

Bước 2: Tính xác suất cần tìm

Áp dụng $P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ .

P (B ∣ A) = \frac{0 , 2}{0 , 8} = 0, 25

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $B$ đúng; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì không bằng giá trị $P (B ∣ A)$ đã tính.

Đáp án: Đáp án

B

:

0, 25

— tính từ

P (A \cap B) = 0, 2

và chia cho

P (A) = 0, 8

.

Câu 4

Trong không gian $O x y z$ , đường thẳng đi qua điểm $M (- 1; 1; 3)$ nhận $u = (- 2; 2; 1)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là

A

$\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 3}{- 2}$

B

$\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{- 2}$

C

$\frac{x + 1}{- 2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z + 3}{1}$

D

$\frac{x + 1}{- 2} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 3}{1}$

Lời giải

Bước 1: Ghi công thức

Với điểm $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và vectơ chỉ phương $u = (a; b; c)$ , dùng phương trình chính tắc.

\frac{x - x _{0}}{a} = \frac{y - y _{0}}{b} = \frac{z - z _{0}}{c}

Bước 2: Thay dữ kiện

Thay $M (- 1; 1; 3)$ và $u = (- 2; 2; 1)$ vào công thức.

\frac{x - ( - 1 )}{- 2} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 3}{1}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Rút gọn $x - (- 1) = x + 1$ , được phương trình ứng với phương án $D$ .

Các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt dùng sai vectơ chỉ phương, sai điểm đi qua và sai tọa độ điểm.

\frac{x + 1}{- 2} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 3}{1}

Đáp án:

D

— Phương trình có điểm đi qua

M (- 1; 1; 3)

và vectơ chỉ phương

(- 2; 2; 1)

.

Câu 5

Cho $\int_{0}^{1} [2 f (x) - 3] d x = 5$ . Tính $\int_{0}^{1} f (x) d x$ .

A

5

B

4

C

3

D

$\frac{5}{2}$

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn và tách tích phân

Đặt $I = \int_{0}^{1} f (x) d x$ rồi áp dụng tính tuyến tính.

\int_{0}^{1} [2 f (x) - 3] d x = 2 \int_{0}^{1} f (x) d x - 3 (1 - 0) = 2 I - 3 = 5

Bước 2: Giải phương trình

Giải phương trình theo $I$ .

2 I - 3 = 5 ⟹ 2 I = 8 ⟹ I = 4

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $B$ : $4$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho $7$ , $3$ , và $2$ trong biểu thức $2 I - 3$ .

Đáp án:

B

— Giá trị cần tìm là

\int_{0}^{1} f (x) d x = 4

.

Câu 6

Tìm điểm cực đại của hàm số $y = (x + 1)^{2} e^{- x}$ .

A

$\frac{4}{e}$

B

1

C

$e$

D

-1

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Dùng quy tắc đạo hàm tích và đặt $e^{- x}$ làm nhân tử chung.

y^{'} = 2 (x + 1) e^{- x} - (x + 1)^{2} e^{- x} = e^{- x} (x + 1) (1 - x)

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Vì $e^{- x} > 0$ , dấu của $y^{'}$ là dấu của $(x + 1) (1 - x)$ .

y^{'} = 0 ⟺ x = - 1 hoặc x = 1; y^{'} : -, +, - tr \overset{e}{ˆ} n (- \infty; - 1), (- 1; 1), (1; + \infty)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tại $x = 1$ , $y^{'}$ đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại; hoành độ là $1$ . Phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt là giá trị cực đại, một giá trị không liên quan và hoành độ cực tiểu.

Đáp án:

B

— hoành độ điểm cực đại là

x = 1

.

Câu 7

Khi thống kê chiều cao (đơn vị: centimet) của 130 học sinh nam lớp 12 tại một trường THPT được kết quả từ 158 cm đến 182 cm. Nếu sử dụng mẫu số liệu ghép nhóm để biểu diễn kết quả này thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu là:

A

170

B

182

C

158

D

24

Lời giải

Bước 1: Xác định giá trị đầu mút

Từ dữ kiện, $x_{m a x} = 182 cm$ và $x_{m i n} = 158 cm$ .

Bước 2: Tính khoảng biến thiên

Áp dụng công thức $R = x_{m a x} - x_{m i n}$ .

R = 182 - 158 = 24 cm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn D. $24$ ; A, B, C lần lượt là số không phải hiệu giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Đáp án: D.

24 cm

— là hiệu giữa chiều cao lớn nhất và nhỏ nhất.

Câu 8

Trong không gian cho hai vectơ $a, b$ tạo với nhau một góc $12 0^{\circ}$ và $∣ a ∣ = 3, ∣ b ∣ = 8$ . Khi đó $a \cdot b$ bằng

A

12

B

24

C

$123$

D

-12

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Thay độ dài và góc vào công thức tích vô hướng.

a \cdot b = 3 \cdot 8 \cdot cos 12 0^{\circ} = 24 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 12

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án D. $- 12$ ; A, B, C sai vì lần lượt nhầm dấu của $cos 12 0^{\circ}$ , bỏ hệ số cos và dùng sai giá trị lượng giác.

Đáp án: D.

- 12

— áp dụng

a \cdot b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos 12 0^{\circ}

.

Câu 9

Hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 2}$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[1; 2025]$ tại điểm

A

$x = 1$

B

$x = 2025$

C

$x = \frac{1}{3}$

D

$x = \frac{4049}{2027}$

Lời giải

Bước 1: Kiểm tra tập xác định

Mẫu số khác $0$ trên đoạn xét nên hàm số liên tục trên $[1; 2025]$ .

x + 2 \neq = 0 với mọi x \in [1; 2025]

Bước 2: Xét tính đơn điệu

Trên $[1; 2025]$ , ta có $f^{'} (x) > 0$ , nên hàm số đồng biến.

f^{'} (x) = \frac{2 ( x + 2 ) - ( 2 x - 1 )}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{5}{( x + 2 ) ^{2}} > 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Hàm đồng biến nên đạt giá trị nhỏ nhất tại đầu mút trái $x = 1$ . Chọn A; B cho đầu mút phải, C không thuộc đoạn, còn D thuộc đoạn nhưng không phải đầu mút trái.

x_{m i n} = 1

Đáp án: A.

x = 1

— vì hàm số đồng biến trên

[1; 2025]

.

Câu 10

Cho hai biến cố $A, B$ thoả mãn $P (A) = 0, 6; P (B) = 0, 8; P (A \cap B) = 0, 3$ . Tính xác suất $P (B ∣ A)$ .

A

$0, 5$

B

$0, 375$

C

$0, 65$

D

$0, 4$

Lời giải

Bước 1: Chọn công thức

Vì $P (A) = 0, 6 > 0$ , áp dụng công thức xác suất có điều kiện.

P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}

Bước 2: Thay số và tính

Thay các xác suất đã cho vào công thức.

P (B ∣ A) = \frac{0 , 3}{0 , 6} = 0, 5

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ : $0, 5$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt tính $P (A ∣ B)$ , cho kết quả không phù hợp, và tính sai công thức.

Đáp án: Phương án

A

:

0, 5

— áp dụng

P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Hà Nam năm 2025

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Xác định hệ số

Bước 2: Tính tọa độ tâm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Đọc dấu đạo hàm

Bước 2: Xác định khoảng đồng biến

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tìm xác suất giao

Bước 2: Tính xác suất cần tìm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Ghi công thức

Bước 2: Thay dữ kiện

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn và tách tích phân

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Xác định giá trị đầu mút

Bước 2: Tính khoảng biến thiên

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Kiểm tra tập xác định

Bước 2: Xét tính đơn điệu

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Chọn công thức

Bước 2: Thay số và tính

Bước 3: Đối chiếu phương án