Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Đồng Nai năm 2025 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = 9^{x}$ là

A

$\frac{9 ^{x + 1}}{x + 1} + C$

B

$\frac{9 ^{x}}{l n 9} + C$

C

$9^{x - 1} + C$

D

$9^{x} \cdot ln 9 + C$

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng công thức

Hàm số có dạng $a^{x}$ với cơ số $a = 9$ .

\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C

Bước 2: Áp dụng công thức

Thay $a = 9$ vào công thức nguyên hàm.

\int 9^{x} d x = \frac{9 ^{x}}{ln 9} + C

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B. Các phương án A, C, D sai vì lần lượt nhầm công thức lũy thừa, thiếu hệ số $ln 9$ và nhân sai hệ số.

Đáp án: B.

\frac{9 ^{x}}{ln 9} + C

— đúng theo công thức nguyên hàm hàm mũ.

Câu 2

Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = e^{x}$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 0, x = 2$ quanh trục $O x$ . Khi đó $V$ bằng

A

$π \int_{0}^{2} e^{x} d x$

B

$\int_{0}^{2} ∣ e^{x} ∣ d x$

C

$π \int_{0}^{2} e^{2 x} d x$

D

$\int_{0}^{2} e^{2 x} d x$

Lời giải

Bước 1: Lập công thức thể tích

Bán kính tiết diện là $r = y = e^{x}$ , với $x \in [0; 2]$ .

V = π \int_{0}^{2} (e^{x})^{2} d x = π \int_{0}^{2} e^{2 x} d x

Bước 2: Tính giá trị thể tích

Tính tích phân theo công thức nguyên hàm của $e^{2 x}$ .

V = π [\frac{1}{2} e^{2 x}]_{0}^{2} = \frac{π}{2} (e^{4} - 1)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $C$ : $π \int_{0}^{2} e^{2 x} d x$ . Các phương án $A$ , $B$ , $D$ lần lượt sai vì không bình phương bán kính, thiếu hệ số $π$ và thiếu hệ số $π$ .

Đáp án:

C

— Vì thể tích bằng

π \int_{0}^{2} e^{2 x} d x = \frac{π}{2} (e^{4} - 1)

.

Câu 3

Cho một mẫu số liệu ghép nhóm có tứ phân vị thứ nhất, thứ hai và thứ ba lần lượt là $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$ . Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó là

A

$Δ Q = Q_{1} - Q_{3}$

B

$Δ Q = Q_{3} - Q_{2}$

C

$Δ Q = Q_{2} - Q_{1}$

D

$Δ Q = Q_{3} - Q_{1}$

Lời giải

Bước 1: Nhớ công thức

Khoảng tứ phân vị đo độ rộng của $50%$ số liệu ở giữa.

Δ Q = Q_{3} - Q_{1}

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn D: $Δ Q = Q_{3} - Q_{1}$ ; A sai vì đảo thứ tự, B và C chỉ biểu diễn một nửa khoảng tứ phân vị.

Đáp án: D — Khoảng tứ phân vị được tính bởi

Δ Q = Q_{3} - Q_{1}

.

Câu 4

Trong không gian $O x y z$ , phương trình của mặt cầu có tâm $I (1; - 2; 3)$ và bán kính $R = 4$ là

A

$(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 4$

B

$(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16$

C

$(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 16$

D

$(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16$

Lời giải

Bước 1: Viết công thức

Dùng công thức mặt cầu tâm $I (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ , bán kính $R$ .

(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} + (z - z_{0})^{2} = R^{2}

Bước 2: Thay dữ kiện

Thay $x_{0} = 1$ , $y_{0} = - 2$ , $z_{0} = 3$ , $R = 4$ vào công thức.

(x - 1)^{2} + (y - (- 2))^{2} + (z - 3)^{2} = 4^{2} ⟹ (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ . Các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai lần lượt vì dùng $R$ thay cho $R^{2}$ , sai dấu của $y_{0}$ , và sai dấu của $x_{0}$ , $z_{0}$ .

Đáp án: Đáp án

D

— phương trình là

(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16

.

Câu 5

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $R$ có bảng biến thiên như sau. Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

A

1

B

2

C

3

D

4

Lời giải

Bước 1: Xác định điểm cực tiểu

Tại $x = 3$ , $f^{'} (x)$ đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu.

f^{'} (x) : - \to + tại x = 3

Bước 2: Đọc giá trị cực tiểu

Giá trị cực tiểu là tung độ tại điểm $x = 3$ .

f (3) = 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ lần lượt không phải giá trị cực tiểu; $4$ là giá trị cực đại.

Đáp án:

B

— Giá trị cực tiểu của hàm số là

f (3) = 2

.

Câu 6

Nghiệm của phương trình $lo g_{2} (x - 1) = 3$ là

A

9

B

7

C

10

D

8

Lời giải

Bước 1: Xác định điều kiện

Điều kiện xác định là $x - 1 > 0$ , suy ra $x > 1$ .

x - 1 > 0 ⟹ x > 1

Bước 2: Giải phương trình

Áp dụng định nghĩa logarit và tính $2^{3}$ .

lo g_{2} (x - 1) = 3 ⟺ x - 1 = 2^{3} ⟺ x = 9

Bước 3: Đối chiếu phương án

Vì $9 > 1$ , nghiệm thỏa điều kiện. Chọn phương án $A$ .

Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho $x = 7$ , $x = 10$ , $x = 8$ , không thỏa phương trình.

Đáp án: Phương án

A

(

9

) — vì

lo g_{2} (9 - 1) = lo g_{2} 8 = 3

.

Câu 7

Trong không gian $O x y z$ , cho đường thẳng $d$ có phương trình $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z}{4}$ . Vector nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ ?

A

$u_{1} (2; - 1; 4)$

B

$u_{2} (2; 1; 4)$

C

$u_{3} (1; - 3; 0)$

D

$u_{4} (- 1; 3; 0)$

Lời giải

Bước 1: Đặt tham số chung

Đặt giá trị chung của ba phân thức bằng $t$ .

\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z}{4} = t

Bước 2: Xác định vectơ

Viết phương trình tham số và lấy các hệ số của $t$ .

⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 2 t y = - 3 - t z = 4 t \Rightarrow u = (2; - 1; 4)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A; B, C, D sai vì lần lượt sai dấu thành phần $y$ hoặc không cùng phương với $(2; - 1; 4)$ .

Đáp án: A — Vì vectơ chỉ phương là

u = (2; - 1; 4)

.

Câu 8

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông và $S A ⊥ (A B C D)$ . Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng $(S A C)$ ?

A

SB

B

BD

C

AB

D

CD

Lời giải

Bước 1: Chọn hai đường trong mặt phẳng

Đặt $O = A C \cap B D$ . Qua $O$ kẻ $d ∥ S A$ ; khi đó $d \subset (S A C)$ .

O = A C \cap B D, d ∥ S A, d \subset (S A C)

Bước 2: Chứng minh vuông góc

Vì $S A ⊥ (A B C D)$ và $d ∥ S A$ nên $d ⊥ B D$ . Hình vuông có $A C ⊥ B D$ .

Hai đường $A C$ và $d$ cắt nhau tại $O$ , cùng thuộc $(S A C)$ .

B D ⊥ A C, B D ⊥ d \Rightarrow B D ⊥ (S A C)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $B$ . Các phương án $S B$ , $A B$ , $C D$ sai vì không đồng thời vuông góc với hai đường $A C$ và $d$ .

Đáp án: B —

B D

vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau

A C

và

d

thuộc

(S A C)

.

Câu 9

Tập hợp các nghiệm của bất phương trình $(\frac{2}{3})^{x - 2} \geq \frac{4}{9}$ là

A

$[0; + \infty)$

B

$[4; + \infty)$

C

$(- \infty; 0]$

D

$(- \infty; 4]$

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Viết vế phải dưới dạng lũy thừa cơ số $\frac{2}{3}$ .

\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^{2}

Bước 2: So sánh số mũ

Vì $\frac{2}{3} \in (0; 1)$ nên bất đẳng thức đổi chiều khi so sánh số mũ.

(\frac{2}{3})^{x - 2} \geq (\frac{2}{3})^{2} ⟺ x - 2 \leq 2 ⟺ x \leq 4

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tập nghiệm là $(- \infty; 4]$ , chọn $D$ . Các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt không biểu diễn đúng điều kiện $x \leq 4$ , đổi ngược chiều hoặc thu hẹp tập nghiệm.

S = (- \infty; 4]

Đáp án:

D

— tập nghiệm là

(- \infty; 4]

vì

x \leq 4

.

Câu 10

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{6} = 3$ và $u_{7} = 9$ . Công sai $d$ của cấp số cộng đã cho bằng

A

6

B

3

C

12

D

27

Lời giải

Bước 1: Lập công thức

Áp dụng hệ thức giữa hai số hạng liên tiếp $u_{6}$ và $u_{7}$ .

u_{7} = u_{6} + d

Bước n: Đối chiếu phương án

Thay số và tính công sai:

Phương án $A$ đúng vì $d = 6$ ; các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì không bằng hiệu $u_{7} - u_{6}$ .

9 = 3 + d \Rightarrow d = 9 - 3 = 6

Đáp án:

A . 6

— công sai là

d = u_{7} - u_{6} = 6

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Đồng Nai năm 2025

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng công thức

Bước 2: Áp dụng công thức

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Lập công thức thể tích

Bước 2: Tính giá trị thể tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Nhớ công thức

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Viết công thức

Bước 2: Thay dữ kiện

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Xác định điểm cực tiểu

Bước 2: Đọc giá trị cực tiểu

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Xác định điều kiện

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Đặt tham số chung

Bước 2: Xác định vectơ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Chọn hai đường trong mặt phẳng

Bước 2: Chứng minh vuông góc

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Bước 2: So sánh số mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Lập công thức

Bước n: Đối chiếu phương án