Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Bình Dương năm 2025 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : $\frac{x - 2}{- 3} = \frac{y + 5}{2} = \frac{z - 2}{- 2}$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d?

A

$u_{4} = (- 3; 2; 2)$

B

$u_{1} = (2; - 5; 2)$

C

$u_{3} = (2; 5; - 2)$

D

$u_{2} = (3; - 2; 2)$

Lời giải

Bước 1: Lấy vectơ chỉ phương

Ba mẫu số trong phương trình đối xứng cho vectơ chỉ phương cơ bản.

v = (- 3; 2; - 2)

Bước 2: Tạo vectơ tương đương

Nhân $v$ với $- 1$ để được vectơ có thể xuất hiện trong các phương án.

u = - v = (3; - 2; 2)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ : $u_{2} = (3; - 2; 2)$ . Các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì không cùng phương với $v$ .

Đáp án: Đáp án

D

—

u_{2} = (3; - 2; 2) = - v

nên là vectơ chỉ phương của

d

.

Câu 2

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{x} + x$ là

A

$ln ∣ x ∣ + \frac{1}{2} x^{2} + C$

B

$ln ∣ x ∣ + x^{2} + C$

C

$ln x + \frac{1}{2} x^{2} + C$

D

$ln x + x^{2} + C$

Lời giải

Bước 1: Tách và tính từng phần

Tách tổng thành hai nguyên hàm rồi áp dụng công thức cơ bản.

\int (\frac{1}{x} + x) d x = \int \frac{1}{x} d x + \int x d x

Bước 2: Đối chiếu phương án

Kết hợp hai kết quả và thêm hằng số $C$ .

Chọn phương án $A$ ; $B$ sai hệ số, còn $C$ và $D$ thiếu dấu giá trị tuyệt đối.

\int (\frac{1}{x} + x) d x = ln ∣ x ∣ + \frac{1}{2} x^{2} + C

Đáp án: Đáp án

A

— vì

\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣

và

\int x d x = \frac{1}{2} x^{2}

.

Câu 3

Một lớp học có 20 học sinh nam và 25 học sinh nữ. Tổng kết cuối năm học, lớp có 12 học sinh nữ đạt danh hiệu học sinh xuất sắc. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp. Tính xác suất để học sinh được chọn là học sinh xuất sắc, biết học sinh đó là nữ.

A

30%

B

48%

C

50%

D

60%

Lời giải

Bước 1: Xác định không gian xét

Gọi $A$ là biến cố học sinh được chọn xuất sắc, $B$ là biến cố học sinh được chọn là nữ.

Trong điều kiện $B$ , có $12$ trường hợp thuận lợi trên tổng số $25$ trường hợp.

Bước 2: Tính xác suất

Áp dụng xác suất có điều kiện:

P (A ∣ B) = \frac{12}{25} = 0, 48 = 48%

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $B$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì không bằng $48%$ .

Đáp án: B — Vì xác suất cần tìm là

\frac{12}{25} = 48%

.

Câu 4

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A

$(0; 2)$

B

$(2; + \infty)$

C

$(- 3; 1)$

D

$(- \infty; 0)$

Lời giải

Bước 1: Xác định điểm cực trị

Hai hoành độ cực trị là $x = 0$ và $x = 2$ .

x_{m a x} = 0, x_{m i n} = 2

Bước 2: Xét chiều biến thiên

Giữa hai hoành độ cực trị, đường cong đi xuống khi $x$ tăng nên hàm số nghịch biến.

(0; 2)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A: $(0; 2)$ ; B và D là các khoảng đồng biến, còn C không nằm trọn trên đoạn đi xuống.

Đáp án: A.

(0; 2)

— đồ thị đi xuống trên khoảng này.

Câu 5

Tập nghiệm của bất phương trình $4^{x + 1} \leq 16$ là

A

$\emptyset$

B

$[1; + \infty)$

C

$(0; 1)$

D

$(- \infty; 1]$

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Viết $16$ dưới dạng lũy thừa cơ số $4$ .

16 = 4^{2}

Bước 2: So sánh số mũ

Vì $4 > 1$ , ta so sánh trực tiếp các số mũ.

4^{x + 1} \leq 4^{2} ⟺ x + 1 \leq 2 ⟺ x \leq 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tập nghiệm là $(- \infty; 1]$ .

Phương án $D$ đúng; $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt cho tập rỗng, ngược chiều và bỏ mất nhiều nghiệm.

Đáp án:

D

:

(- \infty; 1]

— vì điều kiện tương đương là

x \leq 1

.

Câu 6

Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi các đường $y = x^{2} - 2 x - 3$ , $y = 0$ , $x = - 1$ , $x = 4$ (như hình minh họa). Diện tích của hình phẳng (H) là

A

13

B

12

C

8,3

D

11

Lời giải

Bước 1: Xét dấu hàm số

Ta có $x^{2} - 2 x - 3 = (x + 1) (x - 3)$ , nên các nghiệm là $x = - 1$ và $x = 3$ .

Hàm số âm trên $[- 1, 3]$ , dương trên $[3, 4]$ .

x^{2} - 2 x - 3 = (x + 1) (x - 3)

Bước 2: Tính diện tích

Đổi dấu phần đồ thị nằm dưới trục hoành rồi cộng hai diện tích.

S = \int_{- 1}^{3} (- x^{2} + 2 x + 3) d x + \int_{3}^{4} (x^{2} - 2 x - 3) d x = \frac{32}{3} + \frac{7}{3} = 13.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A: $13$ ; B, C, D sai vì lần lượt cho kết quả không đúng với tổng diện tích đã tính.

Đáp án: A.

13

— diện tích được tính bằng tổng hai phần tích phân theo dấu của hàm số.

Câu 7

Phương trình nào sau đây là phương trình mặt phẳng $(O y z)$ ?

A

$x = 0$

B

$z = 0$

C

$y = 0$

D

$x + y = 0$

Lời giải

Bước 1: Nhận diện mặt phẳng

Mặt phẳng $(O y z)$ chứa hai trục $O y$ , $O z$ ; mọi điểm thuộc đó có dạng $(0, y, z)$ .

x = 0

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn A: $x = 0$ . B, C, D sai vì lần lượt là $(O x y)$ , $(O x z)$ và một mặt phẳng nghiêng qua $O$ .

Đáp án: A — Mặt phẳng

(O y z)

có phương trình

x = 0

.

Câu 8

Cho $f (x)$ liên tục trên $[- 1; 3]$ . Biết $F (x)$ là một nguyên hàm của $f (x)$ trên $[- 1; 3]$ thỏa $F (- 1) = 3$ , $F (3) = 7$ . Khi đó $\int_{- 1}^{3} f (x) d x$ bằng

A

4

B

10

C

−6

D

−2

Lời giải

Bước 1: Áp dụng định lý

Vì $F$ là nguyên hàm của $f$ , áp dụng công thức Newton–Leibniz.

\int_{- 1}^{3} f (x) d x = F (3) - F (- 1)

Bước 2: Thay giá trị

Thay $F (3) = 7$ và $F (- 1) = 3$ vào công thức.

\int_{- 1}^{3} f (x) d x = 7 - 3 = 4

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A. $4$ ; B, C, D sai do cộng nhầm hoặc tính sai dấu, sai hiệu.

Đáp án: A.

4

— áp dụng

\int_{- 1}^{3} f (x) d x = F (3) - F (- 1) = 7 - 3 = 4

.

Câu 9

Đồ thị của hàm số $y = \frac{x + 1}{2 x - 3}$ có đường tiệm cận đứng là

A

$x = - \frac{3}{2}$

B

$x = \frac{3}{2}$

C

$x = - 1$

D

$x = \frac{1}{2}$

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình mẫu số

Cho mẫu số bằng $0$ để tìm hoành độ tiệm cận.

2 x - 3 = 0

Bước 2: Tìm hoành độ

Giải phương trình mẫu số bằng $0$ .

2 x = 3 ⟹ x = \frac{3}{2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $B$ đúng vì đường tiệm cận đứng là $x = \frac{3}{2}$ ; $A$ , $C$ , $D$ sai vì các giá trị tương ứng không làm mẫu số $2 x - 3$ bằng $0$ .

Đáp án: B — Đường tiệm cận đứng là

x = \frac{3}{2}

.

Câu 10

Phương sai của một mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng thống kê bên dưới gần nhất với giá trị nào sau đây?

A

14,84

B

18,84

C

15,74

D

13,24

Lời giải

Bước 1: Tính cỡ mẫu và trung bình

Cộng các tần số để được $n$ , sau đó tính $\overset{x}{ˉ}$ theo công thức.

n = 25 + 50 + 200 + 175 + 50 = 500; \overset{x}{ˉ} = \frac{25 \cdot 152 + 50 \cdot 156 + 200 \cdot 160 + 175 \cdot 164 + 50 \cdot 168}{500} = 161, 4

Bước 2: Tính phương sai mẫu

Thay các giá trị đại diện và tần số vào công thức phương sai mẫu.

\sum f_{i} (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2} = 7420; s^{2} = \frac{7420}{500 - 1} \approx 14, 87

Bước 3: Đối chiếu phương án

Giá trị $14, 87$ gần nhất với $14, 84$ ; các phương án $18, 84$ , $15, 74$ , $13, 24$ đều lệch xa hơn.

Đáp án: A.

14, 84

— vì phương sai mẫu tính được xấp xỉ

14, 87

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Bình Dương năm 2025

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Lấy vectơ chỉ phương

Bước 2: Tạo vectơ tương đương

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tách và tính từng phần

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định không gian xét

Bước 2: Tính xác suất

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Xác định điểm cực trị

Bước 2: Xét chiều biến thiên

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Bước 2: So sánh số mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Xét dấu hàm số

Bước 2: Tính diện tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Nhận diện mặt phẳng

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Áp dụng định lý

Bước 2: Thay giá trị

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình mẫu số

Bước 2: Tìm hoành độ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tính cỡ mẫu và trung bình

Bước 2: Tính phương sai mẫu

Bước 3: Đối chiếu phương án